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3.5. Sumas no ordenadas 61
3.5. Sumas no ordenadas
Iniciemos el estudio de las sumas infinitas ordenadas. El estudio de sumas finitas no implica ningún análisis, ningún límite, ningún ", en resumen ninguno de los procesos que son especiales para el análisis. Definir y estudiar las sumas infinitas requiere muchas de nuestras habilidades en el análisis.
Para comenzar nuestro estudio consideremos un conjunto no vacío de índices y denotemos por F := F() la colección de todos los subconjuntos finitos de .
Definición 3.5.1. Sean (X; ∥∥) un espacio vectorial normado y ̸= ∅ un conjunto de índices. Una colección fx g (^2) Λ de elementos de X se dice sumable (o conmutativamente convergente) a x 2 X, escrito ∑ 2 Λ
x = x;
si para todo " > 0 , existe H finito tal que para todo J H, J finito
∑ 2 J
x x < ":
Ejemplo 3.5.2. Demuestre que ∑ k 2 Z 2 jkj^ = 3.
Proposición 3.5.3. (a) Si ∑ 2 Λ x = x y 2 K, entonces ∑ 2 Λ x = x.
(b) Si ∑ 2 Λ x = x y ∑ 2 Λ y = y, entonces ∑ 2 Λ (x + y ) = x + y.
Demostración. (a) Suponga que ̸= 0. Sea " > 0 dado, existe H 2 F tal que para todo J 2 F y H J se tiene ∑ 2 J
x x < (^) j "j :
Luego para todo J H finito: ∑ 2 J x x = j j ∑ 2 J x x < ".
(b) Ejercicio.
Teorema 3.5.4. Sea (X; ∥ ∥) un espacio vectorial normado, si fx g (^2) Λ es sumable, entonces
:= f 2 : x ̸= 0g es contable.
Demostración. Supongamos que ∑ 2 Λ x = x para algún x 2 X. Si " > 0 entonces existe H" 2 F tal que para todo I H" finito: ∑ 2 I
x x < " 2 :
Ahora bien, si J 2 F tal que J \ H" = ∅ entonces
∑ 2 J
x =
2 J[Hε
x
2 Hε
x
2 J[Hε
x x +
2 Hε
x x < ":
62 Capítulo 3. Espacios de Hilbert
Hemos mostrado que para todo " > 0 existe H" 2 F tal que si J 2 F J \ H" = ∅ entonces
∑ 2 J
x < ": (3.9)
En particular para "n = 1=n > 0 , n 2 N existe Hn 2 F tal que si J 2 F y J \ Hn = ∅ entonces
∑ 2 J
x < (^) n^1 :
Sea H :=
n= Hn. Nótese que H es contable. Ahora fijemos 2 tal que 2 =
∪^1
n= Hn = H, entonces f g \ Hn = ∅ para todo n 2 N. Así, ∥x ∥ < 1 =n, por lo tanto x = 0. Luego H.
Definición 3.5.5. Una suma no ordenada ∑ 2 Λ x en un espacio normado X se dice de Cauchy si para todo " > 0 existe I 2 F tal que para todo J; K 2 F y J; K I se tiene
∑ 2 J
x
2 K
x < ":
Teorema 3.5.6. Sea X un espacio normado, entonces ∑ 2 Λ x es de Cauchy si y sólo si para todo " > 0
existe I 2 F tal que para todo J 2 F y I \ J = ∅ se tiene ∑ 2 J x < ".
Demostración. Sea " > 0 dado, existe I 2 F tal que para todo J; K 2 F y J; K I tales que
∑ 2 J
x
2 K
x < ":
Sea J 2 F y I \ J = ∅, entonces
∑ 2 J
x =
2 I[J
x
2 I
x < ":
Recíprocamente, sea " > 0 dado; por hipótesis existe I 2 F y I \ J = ∅
∑ 2 J
x < " 2 :
Sea J; K 2 F y J; K I, entonces
∑ 2 J
x
2 K
x =
2 (J∖I)
x +
2 I
x
2 (K∖I)
x
2 I
x
2 (J∖I)
x
2 (K∖I)
x
2 (J∖I)
x +
2 (K∖I)
x < ":
Proposición 3.5.7. Si ∑ 2 Λ x es sumable en un espacio normado X, entonces ∑ 2 Λ x es de Cauchy.
64 Capítulo 3. Espacios de Hilbert
Demostración. Es suficiente probar que ∑ 2 Λ x es de Cauchy. En efecto, sea " > 0 dado. Existe I 2 F tal que para todo J 2 F y J \ I = ∅: ∑ 2 J
x
2 J
∥x ∥ < ":
Proposición 3.5.11. Sea fx g (^2) Λ una colección de números reales no negativos y M 2 [0; 1 ] dada por
M := sup
2 I
x : I 2 F
Entonces si la suma ordenada ∑ 2 Λ x converge o es sumable, se tiene que M < 1 y ∑ 2 Λ x = M.
Demostración. Digamos que ∑ 2 J x = x para algún x 2 R. Existe I 0 2 F tal que para todo J 2 F y J I 0
∑ 2 J
x x < 1
Sea J 2 F. Entonces (^) ∑
2 J
x < 1 + jxj:
Por lo tanto M < 1. Veamos que ∑ 2 Λ x = M. Sea " > 0. Por la propiedad del supremo existe I 2 F tal que
M " <
2 I
x M:
Sea J 2 F con J I. Entonces
M " <
2 I
x
2 J
x M < M + ":
Por lo tanto ∑ 2 Λ x = M.
