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[ Baccalauréat C Caen juin 1973 \
EXERCICE 1
Le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthonormé
O,
ı ,
. Un point
M se déplace dans ce plan. À la date t = 0, où commence le mouvement, le point M est en O et son vecteur vitesse est nul. À toute date t positive le vecteur accélération du point M a pour coordonnées (6 t ; 2).
1. Donner, en fonction de t , les expressions des coordonnées de M à la date t. 2. Tracer la trajectoire de M et discuter l’existence d’une tangente à cette trajec- toire ayant une direction donnée.
EXERCICE 2
1. Soit X 1 , X 2 , ... , X n , n variables aléatoires réelles définissant un même espace probabilisé (Ω, B, P ). On les suppose indépendantes et de même loi donnée explicitement par :
∀ i ∈ {1, 2, ... , , n } : P ({ Xi = 1}) = p , P ({ Xi = 0}) = 1 − p
On définit alors une variable aléatoire S telle que :
S = 0 si toute variable Xi est nulle S = 1 si l’une au moins des n variables aléatoires Xi est non nulle.
Déterminer les valeurs de n telles que : P ({S = 0}) 6 10 −^3.
2. Un texte comporte une erreur. On relit ce texte n fois ; à chaque lecture, la pro- babilité de remarquer cette erreur est 1/2. Déterminer n de telle sorte qu’on ait une probabilité inférieure à 1/1000 de ne pas avoir remarqué cette erreur après n relectures.
PROBLÈME
Soit C l’ensemble des nombres complexes. On rappelle que C est un espace vectoriel de dimension 2 sur le corps R des nombres réels et que 1 et i forment une base de cet espace vectoriel. Soit α et β deux nombres complexes, on désigne par Fα , β l’application de C dans C définie par :
z 7 −→ Fα , β ( z ) = αz + βz
où z désigne le complexe conjugué de z.
1. a. Montrer que Fα , β est une application linéaire. Soit x et y deux nombres réels, calculer F 1 2 ,^ 1 2 ( x + i y ) et F 1 2 ,^ −^ 1 2 ( x + i y ). b. Soit L (C) l’ensemble des endomorphismes de C. On désigne par Φ l’ap- plication de C^2 dans L (C) définie par :
( α , β ) 7 −→ Fα , β
Montrer que Φ est injective.
Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.
c. On se propose dans cette question de montrer que Φ est aussi surjective. ϕ étant un endomorphisme de C dont la matrice dans la base (1, i) est ( a c b d
Montrer, en calculant 2 ϕ ( z ) en fonction de z et de z , qu’il existe un couple de nombres complexes ( α , β ) tel que :
ϕ = Fα , β
Calculer les nombres réels a , b , c et d en fonction des parties réelles et imaginaires de α + β et de α − β.
2. On définit une application de C^2 dans R par :
( z 1 , z 2 ) 7 −→< z 1 , z 2 >= x 1 x 2 + y 1 y 2.
où on a posé
z 1 = x 1 + i y 1 et z 2 = x 2 + i y 2
x 1 , x 2 , y 1 et y 2 étant des nombres réels. a. Montrer que pour tout nombre complexe z on a :
< z , z >= zz = | z |^2
où | z | désigne le module de z. Montrer que pour tout couple de nombres ( z 1 ; z 2 ) de complexes on a :
< z 1 , z 2 >=
z 1 z 2 + z 1 z 2
b. Montrer que <, > est un produit scalaire. Quelle interprétation peut-on donner de la norme associée à ce produit scalaire? Montrer que C muni de ce produit scalaire est un plan vectoriel euclidien dont 1 et i forment une base orthonormée. c. On désigne par m et n les images respectives de 1 et i par l’application Fα , β. Montrer que m et n sont orthogonaux si et seulement si :
αβ − αβ = 0.
Montrer que m et n sont tous les deux unitaires si et seulement si : { | α |^2 + | β |^2 = 1 αβ + αβ = 0
En déduire que Fα , β est une isométrie vectorielle si et seulement si
| α | = 1 et β = 0 ou α = 0 et | β | = 1
Écrire dans· chacun de ces cas les matrices associées à Fα , β dans la base (1, i) ; (on rappelle qu’un nombre complexe de module 1 peut s’écrire sous la forme cosθ + i sin θ où θ est un nombre réel). Définir géométri- quement les isométries obtenues en précisant leurs éléments. Étudier en particulier F i, 0 et F 0, − 1.
Caen 2 juin 1973
