[Baccalauréat C Bordeaux juin 1973 \
EXER CIC E 1
Calculer : Zπ
2
0
xcos2xdx(intégrer par parties).
EXER CIC E 2
Deux personnes, A et B, écrivent chacune, au hasard, un nombre entier de deux
chiffres (en numération décimale).
Soit xle nombre écrit par A, yle nombre écrit par B. Tous les couples d’entiers (m;n)
(10 6m699, 10 6n699) sont supposés équiprobables.
En d’autres termes, on considère l’espace probabilisé( Ω,Ω,p),où Ωest l’ensemble
des couples d’entiers (m;n) tels que 10 6m699, 10 6n699, et pest la probabilité
pour laquelle toutes les parties à un élément ont la même probabilité.
1. Quelle est la probabilité pour que A et B écrivent le même nombre? En d’autres
termes, calculer la probabilité de l’ensemble ∆des couples (m;n)∈Ωtels que
m=n.
2. Soit E l’ensemble des couples (m;n)∈Ωtels que 10 6m<50 et 10 6n<50.
Calculer p(E) .
3. Soit F l’ensemble des couples (m;n)∈Ωtels que 10 6m<50 ou 10 6n<50.
Calculer p(F).
4. Soit G l’ensemble des couples (m;n)∈Ωtels que m<n. Soit G′l’ensemble
des couples (m;n)∈Ω, tels que m>n. Calculer p(G) et p(G′).
PROB LÈM E
Soient E le plan vectoriel, et B=³−→
ı,−→
´une base de E. On désigne par Ele plan
affine associé à E, et on considère un repère R=³O, −→
ı,−→
´de E.
On appellera ϕl’endomorphisme de E dont la matrice, relativement à B, est :
µ4−3
7−5¶
Soit fl’application affine de Edans E, dont l’application linéaire associée est ϕ,
et qui, au point O, de coordonnées (0; 0) par rapport à R, associe le point A, de
coordonnées (3 ; 4), par rapport à R.
Si M est un point de E, de coordonnées (x;y), on notera M1=f(M), M2=f(M1),
et M3=f(M2), et on désignera par ¡x1;y1¢,¡x2;y2¢,¡x3;y3¢respectivement, les
coordonnées des points M1,M2,M3.
1. Montrer que fest bijective, et que :
½x1=4x−3y+3
y1=7x−5y+4
2. Montrer que l’image de toute droite vectorielle ∆de E, par l’application li-
néaire ϕ, est une droite vectorielle ∆′de E. Si ∆a pour équation dans la base
B:ux +v y =0 ((u;v)6= (0 ; 0)), quelle est l’équation de ∆′? (Désigner par
¡x′;y′¢les coordonnées, dans B, de l’image par ϕdu vecteur de coordonnées
(x;y) dans B).
Peut-on avoir ∆=∆′? En déduire que si Dest une droite affine du plan, D1=
f(D) est une droite affine, non parallèle à D.
