[Baccalauréat C Besançon juin 1973 \
EXER CIC E 1
Soit fla restriction à i−π
2;+π
2hde la fonction de Rdans Rdéfinie par
x7−→ tan x−x.
Définir la fonction dérivée de f, en déduire le sens de variation de fet montrer que
fest une bijection de i−π
2;+π
2hsur R.
Soit Fla fonction réciproque de f. Construire, dans un repère orthonormé, les re-
présentation graphiques de fet F.
EXER CIC E 2
Soit Sl’ensemblede tousles entiers relatifs vérifiant simultanément les deux congruences
x≡1 [3] et x≡2 [5].
Trouver un entier relatif plus petit que 10 appartenant à S.
Montrer, en précisant les théorèmes utilisés, que ∀(a,b)∈S×S,a≡a b [15].
En déduire l’expression générale des éléments de l’ensemble S.
PROB LÈM E
Partie A
Soit E le plan vectoriel euclidien rapporté à la base orthonormée ³−→
e1,−→
e2´et Tl’ap-
plication linéaire de E dans E définie par
T³−→
e1´=−→
e2et T³−→
e2´=λ−→
e1+µ−→
e2.
(λet µsont deux réels).
1. Donner la matrice de Tdans la base ³−→
e1,−→
e2´. Déterminer les couples (λ,µ)
de réels pour lesquels Test bijective.
Trouver tous les couples (λ,µ) tels que Tsoit une isométrie vectorielle de E ;
préciser alors si Test une rotation ou une symétrie vectorielle par rapport à
un droite vectorielle (dont on précisera une base).
2. λet µqui interviennent dans la définition de Tétant quelconques, on consi-
dère la suite
−→
e1,−→
e2,−→
e3=T³−→
e2´,..., −→
en=T³−−−→
en−1´,. . .
−→
enétant le transformé de −−−→
en−1par T.
On pose
−→
en=xn
−→
e1+yn
−→
e2.
Donner ¡x1,y1¢, ainsi que ¡x2,y2¢et montrer que ∀n>2, xn=λyn−1et
∀n>2, yn=µyn−1+λyn−2.
3. αet βdésignent les racines distinctes, réelles ou complexes, de l’équation :
x2−µx−λ=0,
avec
