[Baccalauréat C Lyon juin 1973 \
EXER CIC E 1
On considère le polynôme à variable complexe :
f(z)=z4−4(1 +i)z3+12iz2−8i(1 +i)z−5
1. Calculer f(z) pour les valeurs z=1 et z=i puis factoriser le polynome f(z).
2. Résoudre l’équation f(z)=0 ; on notera z1,z2,z3,z4les solutions de cette
équation et on construira les images m1,m2,m3,m4de ces complexes dans le
plan affine muni d’un repère ³O, −→
ı,−→
´orthonormé.
EXER CIC E 2
Résoudre dans R2le système
½2logxy+2logyx= −5
x y =e
dont l’inconnue est le couple de réels (x;y).
PROB LÈM E
aet bdésignent deux nombres réels. V est un espace vectoriel de dimension 2 muni
d’une base B=n−→
ı,−→
o.
Soit Eun espace affine admettant V pour espace vectoriel associé. O est un point de
E. On munit Edu repère cartésien ³O, −→
ı,−→
´.
Partie A
Pour chaque valeur du couple (a;b), on considère l’endomorphisme de V noté
ϕ(a,b)dont la matrice dans la base Best :
µa−1−2a
2ab b(a−1)¶
1. Quels sont tous les endomorphismes ϕ(a,b)bijectifs? Déterminer le noyau de
ϕ(a,b). On discutera suivant les valeurs du couple (a;b).
Préciser en particulier le noyau de ϕ(1, 0) et donner une base de ce sous-espace.
2. best supposé non nul dans cette question. Quel est l’ensemble des vecteurs
−→
ude V pour lesquels il existe un réel λtel que ϕ(0, b)³−→
u´=λ−→
u?
3. On suppose dans cette question V euclidien et la base Borthonormée.
Déterminer tous les endomorphismes ϕ(a,b)qui sont des isométries vecto-
rielles et en préciser la nature.
Partie B
On se place maintenant dans l’espace affine Eet on considère toutes les applica-
tions affines notées f(a,b)dont l’endomorphisme associé est ϕ(a,b)et admettant O
pour point invariant.
1. aest un réel donné. Déterminer toutes les droites de b dont l’image par f(a, 0)
n’est pas une droite.
