[Baccalauréat C Alger–Tunis juin 1973 \
EXER CIC E 1
On considère les entiers naturels nvérifiant la condition :
nest le produit de trois naturels premiers a,b,c, (a<b<c), dont l’un est la somme
des deux autres ; par exemple 286 est un tel nombre : 286 =2×11 ×13.
1. Déterminer a; encadrer bde sorte que N16n6N2,N1et N2étant deux na-
turels donnés.
2. En déduire les naturels npour lesquels N1=6·104et N2=8·104.
N. B. - L’emploi de tables numériques est autorisé (circulaire du 1er mars 1972) ;
aussi les candidats peuvent, mais ce n’est nullement nécessaire, utiliser une table
de nombres premiers; ils affirmeront donc, sans avoir à le justifier, que tel naturel
envisagé est premier ou non.
EXER CIC E 2
Soit fla fonction définie par :
x∈R,x7−→ f(x)=x−2+(x+2)e−x.
et soit Csa courbe représentative (repère orthonormé, unité 1 cm).
1. Calculer f′(x) et f′′(x) ; noter dans un même tableau le signe de f′′(x), puis le
sens de variation de f′(x) et son signe, enfin le sens de. variation de fet ses
valeurs aux limites.
2. TracerC, d onner sans calcul son asymptote ∆. Soit λun réel positif ; ∆,Cet la
droite x=λlimitent une région fermée du plan, dont on calculera l’aire A(λ) ;
trouver la limite de A(λ) pour λinfini.
PROB LÈM E
Un espace vectoriel euclidien orienté E est rapporté à la base orthonormée directe
³−→
I,−→
J,−→
K´.
R1,R2,R3sont des rotations vectorielles, dont les axes respectifs ont pour vecteurs
unitaires −→
I,−→
J,−→
Ket dont l’angle commun a une mesure donnée α(radians).
On pose R=R3◦R2◦R1.
1. Soit −→
V(x;y;z) un vecteur de E ; calculer les coordonnées de :
R1³−→
V´,R2³−→
V´,R3³−→
V´,R−1
1³−→
V´
le calcul des coordonnees de R³−→
V´est exclu.
Calculer les coordonnées de −→
A=R−1
1(−→
J) et de −→
A′=R³−→
A´.
En déduire les cas où Rest l’identité de E ; ces cas dorénavant écartés, Rest
une rotation vectorielle déterminée.
2. On pose u=α
2+π
4; soit Ω(cosu; sinu; cos u), vérifier que :
R(Ω).
L’axe de Rporte −→
Ω, on l’oriente dans le sens de −→
Ω; l’angle de Rayant alors
pour mesure ϕ, ce qui suit vise à calculer ϕen utilisant −→
Aet −→
A′.
Reconnaître d’abord −→
Ωet ϕpour α=π
2, puis pour α=−π
2
