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[ Baccalauréat C novembre 1988 \
Nouvelle-Calédonie
EXERCICE 1
L’espace (E ) est rapporté à un repère orthonormal
O,
ı ,
k
. On considère le
plan (P) d’équation 3 x + 4 z − 5 = 0 et l’ensemble (Γ) des points du plan ( x O y ) équi- distants du plan (P) et de l’origine.
1. Calculer la distance au plan (P) d’un point M 0 de (E ) de coordonnées
x 0 ; y 0 ; z 0
En déduire que (Γ) admet une équation dans
O,
ı ,
x^2 + y^2 =
3 x − 5 5
2. Soit (D) la droite d’intersection des plans (P) et ( x O y ). Montrer que (Γ) est une conique de foyer O et de directrice associée (D). Déterminer son excentricité. 3. Préciser la nature de (Γ), les sommets de l’axe focal, le centre et les autres som- mets. On donnera les coordonnées de ces points dans le repère
O,
ı ,
du plan ( x O y ). Représenter (Γ) dans ce même repère.
EXERCICE 2
On considère le triangle équilatéral ABC dans l’espace (E ). Soient :
- O le centre de gravité du triangle ABC ;
- I un point extérieur au plan (ABC), équidistant de A, B et C ;
- J le symétrique de I par rapport au plan (ABC).
On suppose l’espace orienté et le plan (ABC) orienté de telle sorte que l’angle
OA ,
OB
soit de sens direct. On se propose de déterminer l’ensemble (R) des réflexions de l’espace qui trans- forment l’ensemble {A, B, C} en lui-même.
1. Soit S un élément de (R). On note P le plan de S. a. Montrer que P passe nécessairement par O. b. Montrer que I a pour image I ou J par S. Que peut-on en déduire pour P? c. On se place dans le cas où S (I) = I. Déterminer alors le plan P en consi- dérant les différentes possibilités pour l’image de A. 2. En déduire l’ensemble (R). 3. Déterminer l’ensemble obtenu en composant 2 à 2 les éléments de (R). Com- bien de transformations distinctes trouve-t-on ainsi? Préciser les demi-tours obtenus.
PROBLÈME (extrait)
L’objet de ce problème est l’étude d’une fonction f et la recherche d’une valeur ap- prochée de la solution x 0 de l’équation f ( x ) = 0.
Partie I
Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par
f ( x ) =
x
− ln x.
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
1. a. Étudier le sens de variation de f et déterminer les limites de f en 0 et en +∞. b. Tracer la courbe représentative
C (^) f
( de^ f^ dans un repère orthonormal O,
ı ,
(on prendra 2 cm pour unité).
c. Déterminer la limite de f ( x ) x
quand x tend vers +∞. La branche infinie correspondante de la courbe
C (^) f
a-t-elle une asymptote?
2. a. Démontrer l’existence et l’unité de la solution de l’équation f ( x ) = 0 dans ]0 ; +∞[. On note x 0 cette solution. b. Montrer que 1 < x 0 < 2. 3. Soit (D) la tangente à la courbe
C (^) f
au point d’abscisse 1. a. Déterminer une équation de (D) de la forme y = αx + β. Calculer l’abscisse x 1 du point d’intersection de (D) avec l’axe des abs- cisses. Tracer (D) sur la figure précédente. b. Étudier le sens de variation de la fonction ϕ définie sur ]0 ; +∞[ par
ϕ ( x ) = f ( x ) − αx − β. En déduire le signe de ϕ et les positions relatives de
C (^) f
et de (D). c. Comparer x 0 et x 1.
4. Pour tout x de ]0 ; +∞[, on pose F ( x ) =
∫ x
1
f ( t ) d t.
a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer F ( x ). En déduire que la valeur en cm^2 de l’aire de la partie du plan délimitée par
C (^) f
, l’axe des abscisses, et la droite d’équation x = 1 et la droite
d’équation x = x 0 , est égale à
4( x 0 − 1)^2 x 0
Partie II
On se propose de déterminer une valeur approchée de x 0. Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par
g ( x ) = exp
x
1. a. Montrer que g ( x 0 ) = x 0. b. Déterminer le sens de variation de g. c. Montrer que
6 x 6 2 implique
6 g ( x ) 6 2.
2. Il résulte de l’étude précédente que l’on peut définir une suite ( Un ) d’éléments de
[
]
, en posant U 0 =
et Un + 1 = g ( Un ) pour tout entier naturel n.
a. Montrer que
6 x 6 2 entraîne
g ′( x )
b. En déduire pour tout entier naturel n ,
| Un + 1 − x 0 | 6 (0,9) | Un − x 0 |.
c. Démontrer que pour tout entier naturel n ,
| Un − x 0 | 6 (0,9) | U 0 − x 0 |.
d. En déduire que la suite ( Un ) converge vers x 0.
3. a. À l’aide du sens de variation de g , montrer que x 0 est compris entre Un et Un + 1.
b. Calculer Un pour n 6 5 et en déduire un encadrement de x 0.
Nouvelle-Calédonie 2 novembre 1988
