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[ Baccalauréat S Asie juin 2007 \
EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à proposer un contre-exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
1. Si f est la fonction définie pour tout nombre réel x par : f ( x ) = sin^2 x , alors sa fonc- tion dérivée vérifie, pour tout nombre réel x , f ′( x ) = sin 2 x. 2. Soit f est une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [−1 ; 1], dont la dérivée est continue sur cet intervalle. Si f (−1) = − f (1), alors : ∫ 1
− 1
t f ′( t ) d t = −
− 1
f ( t ) d t.
3. Soit f une fonction définie et continue sur l’intervalle [0 ; 3].
Si
0
f ( t )d t 6
0
g ( t )d t , alors pour tout nombre réel x appartenant à [0 ; 3] : f ( x ) 6
g ( x ).
4. Si f est solution de l’équation différentielle y ′^ = − 2 y +2 et si f n’est pas une fonction constante, alors la représentation de f dans un repère du plan, n’admet aucune tangente parallèle à l’axe des abscisses.
EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
. L’unité gra-
phique est 4 cm. Soit λ un nombre complexe non nul et différent de 1. On définit, pour tout entier naturel n , la suite ( zn ) de nombres complexes par :
{ z 0 = 0 zn + 1 = λ · zn + i
On note Mn le point d’affixe zn.
1. Calcul de zn en fonction de n et de λ. a. Vérifier les égalités : z 1 = i ; z 2 = ( λ + 1)i ; z 3 = ( λ^2 + λ + 1)i.
b. Démontrer que, pour tout entier n positif ou nul : zn = λn^ − 1 λ − 1
· i.
2. Étude du cas λ = i. a. Montrer que z 4 = 0. b. Pour tout entier naturel n , exprimer zn + 4 en fonction de zn. c. Montrer que Mn + 1 est l’image de Mn par une rotation dont on précisera le centre et l’angle. d. Représenter les points M 0 , M 1 , M 2 , M 3 et M 4 dans le repère
O,
u ,
v
3. Caractérisation de certaines suites ( zn ). a. On suppose qu’il existe un entier naturel k tel que λk^ = 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n , on a l’égalité : zn + k = zn.
b. Réciproquement, monter que s’il existe un entier naturel k tel que, pour tout entier naturel n on ait l’égalité zn + k = zn alors : λk^ = 1.
EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Le but de cet exercice est d’étudier une même configuration géométrique à l’aide de deux méthodes différentes. I À l’aide des nombres complexes, sur un cas particulier
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct
O,
u ,
v
. L’unité graphique est 1 cm. 1. On considère les points A et B d’affixes respectives 10 et 5i. a. Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe s qui transforme O en A et B en O. b. Déterminer les éléments caractéristiques de s. On note Ω son centre. c. Déterminer le point s ◦ s (B) ; en déduire la position du point Ω par rapport aux sommets du triangle ABO. 2. On note D la droite d’équation x − 2 y = 0, puis A′^ et B′^ les points d’affixes respectives 8 + 4i et 2 + i. a. Démontrer que les points A′^ et B′^ sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et de B sur la droite D. b. Vérifier que s
B′
= A′.
c. En déduire que le point Ω appartient au cercle de diamètre
[
A′B′
]
II À l’aide des propriétés géométriques des similitudes
OAB est un triangle rectangle en O tel que
OA ,
OB
π 2
1. On note encore s la similitude directe telle que s (O) = A et s (B) = O. Soit Ω son centre. a. Justifier le fait que l’angle de s est égal à
π 2
b. Démontrer que Ω appartient au cercle de diamètre [OA]. (On admet de même que Ω appartient aussi au cercle de diamètre [OB].) En déduire que Ω est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB.
2. On désigne par D une droite passant par O, distincte des droites (OA) et (OB). On note A′^ et B′^ les projetés orthogonaux respectifs des points A et B sur la droite D. a. Déterminer les images des droites
BB′
et D par la similitude s. b. Déterminer le point s
B′
c. En déduire que le point Ω appartient au cercle de diamètre
[
A′B′
]
EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats
Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa com- mercialisation. Chaque jouet produit par l’entreprise est soumis à deux contrôles : d’une part l’aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu’il ne présente pas de défaut de fini- tion, d’autre part sa solidité est testée. Il s’avère, à la suite d’un grand nombre de vérifications, que :
- 92 % des jouets sont sans défaut de finition ;
- parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95 % réussissent le test de solidité ;
d. Dresser le tableau des variations de h et conclure quant aux solutions de l’équa- tion E e.
II Résolution de l’équation Ea
1. Soit x un réel strictement positif. Montrer que x est solution de l’équation Ea si et seulement si x est solution de l’équation : ln x x
ln a a
2. On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f ( x ) = ln x x
a. Déterminer les limites de f en 0 et +∞. Donner une interprétation graphique de ces deux limites. b. Étudier les variations de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[. c. Dresser le tableau des variations de la fonction f. d. Tracer la courbe( C représentative de la fonction f dans un repère orthonormal O,
ı ,
. (Unité : 2 cm). 3. Justifier à l’aide des résultats précédents les propositions ( P 1 ) et ( P 2 ) suivantes : ( P 1 ) : si a ∈]0 ; 1], alors Ea admet l’unique solution a ; ( P 2 ) : si a ∈]1 ; e[ ∪ ]e ; +∞[, alors Ea admet deux solutions a et b , l’une appar- tenant à l’intervalle ]1 ; e[ et l’autre appartenant à l’intervalle ]e ; +∞[.
