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[ Baccalauréat C groupe 4^1 juin 1988 \
EXERCICE 1 4 POINTS
θ étant un nombre réel de l’intervalle ]0 ; 2 π [, on considère les deux nombres com- plexes :
z = ei θ , (ou encore z = cos θ + i sin θ ) et Z =
1 + z 1 − z et on note | Z | le module de Z.
1. Montrer que Z = icotan
θ 2
où cotan
θ 2
cos θ 2 sin θ 2
2. Pour quelles valeurs de θ l’argument de Z est-il défini? À quoi est-il alors égal? (On distinguera deux cas suivant les valeurs de θ .) 3. A quoi est égal | Z |? 4. On pose I =
∫ π π 2 | Z^ |^ d θ. Justifier l’existence de cette intégrale et la calculer (on
pourra mettre | Z | sous la forme k u ′( θ ) u ( θ )
où k est un nombre réel et u une fonc- tion de θ.
EXERCICE 2 4 POINTS
On considère dans le plan orienté deux cercles C 1 et C 2 de même rayon r , de centres respectifs O 1 et O 2 et tangents extérieurement en A. On appelle f la transformation obtenue en effectuant d’abord la translation T de
vecteur
O 1 O 2 puis la rotation R de centre O 2 et d’angle +
π 3 (modulo 2 π ), (on donne
donc f = R ◦ T).
1. Dessiner la figure F formée par C 1 et C 2 en prenant r = 4 cm. 2. Soit M 1 un point quelconque de C 1. Montrer que M 2 = f (M 1 ) est un point de C 2. Faire apparaître M 1 et M 2 sur la figure F. 3. Déterminer l’image de O 1 par f. 4. On pose A′^ = f (A) et on appelle B le symétrique de A par rapport à O 2 , Que peut-on dire du triangle O 2 A′B? Placer le point A′^ sur la figure F. 5. Montrer que f est une rotation dont on précisera l’angle α et le centre I. Placer I sur la figure F. Que peut-on dire du triangle O 1 O 2 I? Exprimer AI en fonction de r.
PROBLÈME 12 POINTS
Sans être totalement indépendantes, les trois parties du problème peuvent abordées dans un ordre quelconque
I. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
f ( x ) =
x p 3
p 3 2 x
et soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé
O,
ı ,
- Aix-Marseille - Nice - Corse - Montpellier - Toulouse
Le baccalauréat de 1988 A. P. M. E. P.
1. a. Étudier les variations de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[. b. Préciser les équations des asymptotes de C (pour déterminer l’une ces asymptotes, on étudiera lim x →+∞
f ( x ) − x p 3
c. Tracer la courbe C.
2. a. Soit m un nombre réel et soit ∆ la droite d’équation y = m. Discuter, suivant les valeurs de m , le nombre de points d’intersection de ∆ et de C. b. Pour tout m >
p 2, on appelle A et B les points d’intersection de ∆ et de C. Soit I le milieu du segment [AB]. Montrer que, quand m décrit l’intervalle ]
p 2 ; +∞[, I décrit une partie,
que l’on précisera, de la droite D d’équation x =
p 3 2
y.
3. On construit une suite de points ( An ) n ∈N de la façon suivante : A 0 est le point de C d’abscisse 2 ;
pour tout n > 0, à partir du point An de C , on détermine Bn , deuxième point
d’intersection de C avec la parallèle à x ′^ x passant par An , puis In , milieu du segment [ An Bn ] ; An + 1 est alors le point de C de même abscisse que In. [On admet, et. n’est donc pas demandé de le démontrer, que le procédé décrit , ci-dessus définit bien la suite ( An ) n ∈N. Placer sur la figure les points A 0 , B 0 , I 0 , A 1 , B 1 , I 1. On appelle xn l’abscisse de An.
Montrer que pour tout n > 0,
xn + 1 =
xn +
2 xn
; x 0 = 2
(On utilisera la question 2. b.)
II. Cette deuxième partie est consacrée à l’étude de la suite ( xn ) n ∈N définie à la fin de la partie précédente.
1. Montrer que, pour tout n > 0, xn est défini et strictement positif.
2. Montrer que, pour tout n > 0, xn + 1 −
3 2 =
( xn −
√ 32 )^2 2 xn.
3. En déduire que, pour tout n > 0, xn >
3 2 et ensuite que :
0 6 xn + 1 −
xn −
4. Montrer, à l’aide des questions précédentes, que pour tout n > 0 :
0 6 xn −
x 0 −
)(2 n ).
( pour démontrer la deuxième inégalité de cette double inégalité, on procèdera
par récurrence et l’on pourra poser, pour simplifier, pour tout n > 0,
un = xn −
3
5. En utilisant l’égalité
x 0 −
3 2
)(2 n^ ) = e(
n (^) )ln^ ( x 0 − √ 32 ) , montrer que la suite ( xn ) n ∈N converge et déterminer sa limite.
Aix-Marseille 2 juin 1988
