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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Pondichéry juin 1991 \
EXERCICE 1 4 points
Soit O un point du plan orienté. À chaque point M du plan on associéé le point G défini de la façon suivante :
- Si M est en O, G est en O ;
- Si M est distinct de O, on considère le triangle O M M ′^ rectangle en M tel que : (−− á−→ O M ,
O M ′^
π 4
Le point G est alors le centre de gravité du triangle O M M ′.
1. Montrer que si M est distinct de O,
a. cos
(−−á−→ O M ,
O G
p 5 5
b. sin
(−−á−→ O M ,
O G
p 5 5
c.
O G
O M
p 5 3
2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation S du plan qui à chaque point M associe G. 3. Soit D une droite ne passant pas par O. On suppose que M décrit D. a. Quel est le lieu L du point G quand M décrit D? b. Indiquer une construction géométrique de L.
EXERCICE 2 4 points
A B
C
D
E
F
H G
I
K
Soit le cube ABCDEFGH représenté par la figure ci-dessus.
L’espace est orienté par le repère orthonormal direct
A ;
AB ,
AD ,
AE
On désigne par I le milieu de [EF] et par K le centre du carré ADHE.
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
1. a. Vérifier que
BK =
IG ∧
IA.
b. En déduire l’aire du triangle IGA.
2. Calculer le volume du tétraèdre ABIG et en déduire la distance du point B au plan AIG
PROBLÈME 4 points
Le plan est rapporté au repère orthonormal R =
O,
ı ,
(unité graphique 2 cm).
Soit f la fonction définie sur R par :
f ( x ) = e x −^1 − 1.
Le but du problème est de trouver une approximation de l’une des solutions de l’équation f ( x ) = x. Les parties B et C sont indépendantes.
A.
On se propose d’étudier la fonction f et les solutions de l’équation f ( x ) = x
1. Établir le tableau de variation de f et tracer sa courbe représentative C dans le repère R. 2. On pose ϕ ( x ) = f ( x ) − x. a. Déterminer la limite de ϕ ( x ) lorsque x tend vers +∞. b. Dresser le tableau de variation de ϕ et démontrer que l’équation ϕ ( x ) = 0 admet deux solutions qu’on notera a et b ( a < b ). c. En déduire que l’équation f ( x ) = x admet comme seules solutions a et b et établir que : 2 < b <
B.
On se propose d’étudier une méthode d’approximation du nombre b.
Pour ce faire on introduit les deux suites ( un ) n > 0 et ( vn ) n > 0 définies comme suit :
u 0 = 2 ; v 0 =
et pour tout entier n > 1 :
Si ϕ
( (^) un − 1 + vn − 1 2
> 0, alors un = un − 1 et vn =
un − 1 + vn − 1 2
Si ϕ
( (^) u n − 1 +^ vn − 1 2
> 0, alors un =
un − 1 + vn − 1 2
et vn = vn − 1.
1. Calculer u 1 , v 1 , u 2 , v 2. 2. Soit I =
[
]
. Montrer en raisonnant par récurrence que pour tout entier naturel n , un et vn sont éléments de I. 3. En utilisant le tableau de variation de la fonction ϕ sur l’intervalle I et en rai- sonnant par récurrence, montrer que ( un ) est majorée par b et que ( vn ) est minorée par b. 4. Établir que la suite ( un ) est croissante et que la suite ( vn ) est décroissante. Que peut-on en conclure? 5. Démontrer par récurrence que :
vn − un =
) n + 1 .
6. Montrer que les deux suites ( un ) n > 0 et ( vn ) n > 0 convergent vers b.
Pondichéry 2 juin 1991
