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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Sportifs de haut-niveau \
septembre 1992
EXERCICE 1 5 points
On considère la suite u de premier terme u 0 = 0 et définie pour tout entier positif par la relation de récurrence :
un + 1 =
p 2 2
1 + un.
1. a. Montrer que pour tout entier n strictement positif on a l’encadrement : p 2 2
6 un 6 1.
b. Étudier le sens de variation de la suite u et en déduire que la suite u est convergente. c. Déterminer la limite a de la suite u.
2. a. Montrer que pour tout nombre x de l’intervalle [0 ; u ], on a : √ 1 + cos x 2 = cos
( (^) x 2
b. Montrer alors que pour tout entier naturel n on a :
un = cos
( (^) π 2 n +^1
c. Retrouver ainsi la limite a de la suite u.
EXERCICE 2 5 points
Dans le plan orienté on considère un cercle ( C ) de centre O et de rayon 1,5 et un cercle ( C ′) de centre O’et de rayon 3. On suppose de plus que la distance de O à O′ est égale à 6. Faire une figure (unité graphique : 1 cm).
1. On appelle (Γ) l’ensemble des points M du plan tels que
M O′
M O
a. Montrer que si I est le centre d’une similitude directe qui transforme ( C ) en ( C ′) alors I est un point de (Γ). b. Montrer que (Γ) coupe la droite (OO′) en deux points A et B que l’on ca- ractérisera comme barycentres des points O et O′. c. Montrer que M est élément de (r) si et seulement si
M A ·
M B = 0.
Déterminer (Γ) et le représenter sur la figure.
2. On veut prouver l’existence et l’unicité d’une similitude directe f d’angle π 2 qui transforme ( C ) en ( C ′). a. Dans cette question on admet l’existence de f · Quelle est alors l’image de O par f et quel est le rapport de f? Soit T le point d’intersection de ( C ) avec le segment [OO′]. Déterminer l’image T’ de T par f ·
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
b. En déduire l’existence et l’unicité de f ; construire le centre de f (on ex- pliquera la construction).
PROBLÈME 10 points
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ] − 1 ; 4[ par :
f ( x ) = 2ln
4( x + 1) 4 − x
(ln désigne le logarithme népérien). Dans la partie A on étudie la fonction f et on calcule l’intégrale :
J =
0
f ( x ) d x.
Dans les parties B et C on étudie deux méthodes d’approximation de J. La partie C est indépendante de la partie B.
A.
1. Montrer que l’on a pour tout nombre x de l’intervalle ] − 1 ; 4[ :
f ( x ) = 2ln( x + 1) − 2ln(4 − x ) + 4ln 2.
Déterminer les limites de f en −1 et 4 et étudier les variations de f.
2. Tracer la courbe ( C ) représentative de f dans un repère orthogonal d’unités 3 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées. 3. a. Calculer F ( x ) =
∫ x
1
2ln t d t pour x > 0.
b. On considère sur l’intervalle ] − 1 ; 4[ les fonctions h et H définies par
h ( x ) = 2ln( x + 1) − 2ln(4 − x ) H ( x ) = F ( x + 1) + F (4 − x )
Montrer que H est une primitive de h sur ] − 1 ; 4[. c. Calculer la valeur exacte de J.
B. Soit P le polynôme défini par P ( x ) = ax^2 + bx + c , où a , b et c sont des nombres réels.
1. Déterminer a , b et c pour que :
P (0) = f (0), P (1) = f (1) et P (2) = f (2).
2. On prend désormais : P ( x ) = (−5ln 2 + 3ln 3) x^2 + (11ln 2 − 5ln 3) x.
Calculer I =
0
P ( x ) d x.
3. Calculer | J − I |. Donner à l’aide de la calculatrice une valeur approchée à 10−^3 près du quotient :
| J − I |
J
C.
1. On note (T) la tangente à ( C ) au point d’abscisse
Déterminer une équation de (T) sous la forme y = t ( x ). Placer (T) sur la fi- gure.
Sportifs de haut-niveau 2 septembre 1992
