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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Centres étrangers septembre 1993 \
EXERCICE 2 5 points
Dans cet exercice n désigne un entier naturel non nul.
Pour tout n on pose In =
(−1) n n!
∫e
1
(ln t ) n^ d t.
1. a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que I 1 = −1.
b. Montrer que, pour tout n , on a : In + 1 = In +
(−1) n +^1 ( n + 1)!
e.
c. Montrer que, pour tout n , on a :
In = e
(−1) n n!
2. a. Démontrer que : 0 6
∫e
1
(ln t ) n^ d t 6 e − 1.
b. En déduire que : | In | 6
e − 1 n!
c. Que peut-on en déduire pour la suite ( In )?
3. Pour tout n , on pose : Sn =
(−1) n n!
Déduire des questions précédentes la limite de la suite ( Sn )
EXERCICE 2 4 points
Un concours se présente sous la forme d’un « questionnaire à choix multiples » com- portant 10 questions. Chaque question propose 3 réponses possibles dont une et une seule est exacte. Le candidat doit obligatoirement cocher une réponse et une seule par question.
1. De combien de façons différentes un candidat peut-il remplir un question- naire? 2. En remplissant le questionnaire au hasard, quelle est la probabilité pour que le candidat ait répondu correctement à : a. toutes les questions? b. aucune question? c. au moins une question? 3. Le jury a établi le barème donné dans le tableau ci-dessous :
numéro de la question (^1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) nombre de points attribués si la réponse est exacte 1 1 1 2 2 2 4 4 4 8 nombre de points attribués si la réponse est fausse 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de points obtenus. Quelle est la
probabilité pour que X > 27?
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
N.B. : Pour les valeurs des probabilités, on donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale avec deux chiffres significatifs.
PROBLÈME 10 points
On considère le plan orienté P rapporté à un repère orthonormal direct R =
O,
ı ,
On note P ⋆^ le plan privé de O et D la droite d’équation x =
Les courbes demandées seront tracées sur une feuille de papier millimétré. L’origine O du repère sera placée au centre de la feuille et l’unité graphique sera de 1 cm. Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A
Étude d’une conique
Soit C la conique de foyer O, de directrice D et d’excentricité
(On rappelle que C est l’ensemble des points M de P tels que
M O
M H
où H est la
projection orthogonale de M sur D.
1. a. Déterminer la nature et une équation cartésienne de C dans le repère. b. Préciser son centre, ses axes et ses sommets. R. c. Tracer C. 2. Soit( M un point quelconque du plan, distinct de O, et t une mesure de l’angle −→ ı ,
O M
a. Montrer que, si M appartient au demi-plan défini par x < 4, alors la dis- tance de M à D est égale à
− O M cos t. b. Montrer que M appartient à C si et seulement si
O M (4cos t + 5) = 9 . c. En déduire que C est l’ensemble des points d’affixe
9 4cos t + 5
ei t
où t appartient à R.
Partie B
Étude d’une courbe
Soit C l’ensemble des points d’affixe
4cos t + 5
ei t^ où t appartient à R.
Soit ϕ la transformation de P ⋆^ dans lui-même qui à tout point M ( t ) d’affixe z asso-
cie le point M ′^ d’affixe z ′^ =
z
On note L l’image de C par ϕ. Soient f et g les fonctions définies sur R par :
f ( t ) = (4cos t + 5) cos t et g ( t ) = (4cos t + 5) sin t.
1. Montrer que L est l’ensemble des points M ( t ) de coordonnées ( x ; y ) telles que x = f ( t ) et y = g ( t ), où t appartient à R. 2. Étude de la fonction f
Centres étrangers 2 septembre 1993
