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[ Baccalauréat C Métropole septembre 1988 \
EXERCICE 1 4 POINTS
On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé
O,
u ,
v
θ désigne un nombre réel de l’intervalle ] − π ; + π [. Pour tout θ on définit le nombre complexe
z ( θ ) =
1 + ei θ
1. Calculer
1 + ei θ
e−i^
θ 2 , en déduire que le nombre complexe
1 + ei θ
a pour ar- gument
θ 2
Calculer le module et l’argument de z ( θ ). Représenter dans le plan complexe z ( θ ).
2. Soit M le point d’affixe z ( θ ) et A le point d’affixe 1. On projette orthogonale- ment A en P sur la droite (OM). Quel est l’ensemble des points P quand θ varie dans ] − π ; + π [? 3. Calculer la distance PM. On séparera les cas
θ ∈
[
π 2
π 2
]
et θ ∈
]
− π ; − π 2
[
] (^) π 2
; π
[
4. Donner une construction géométrique de l’ensemble des points M (construc- tion point par point).
EXERCICE 2 4 POINTS
On considère dans le plan (P) un cercle de diamètre [OB). Soit A un point du segment [OB], distinct de O et de B, I le milieu de [AB]. La médiatrice du segment [AB] coupe le cercle en M et M′^ tels qu’une mesure de
l’angle
MO ,
MB
soit + π 2 Soit N la projection orthogonale de A sur (OM).
O
A
B
I
M
N
M′
1. Donner la nature du quadrilatère AMBM′. En déduire que la droite (AM′) est orthogonale à (OM) et que N, A et M′^ sont alignés. 2. On appelle S la similitude directe de centre N, telle que S (M) = A. Préciser l’angle de cette similitude. Déterminer les images par S des droites (MI) et (NA). En déduire l’image par S du point M′.
Le baccalauréat de 1989 A. P. M. E. P.
3. Montrer que l’image par S de I est le point I′, milieu de [OA]. En déduire que la droite (NI) est tangente en N au cercle de diamètre [OA].
PROBLÈME 12 POINTS
Partie A
1. On considère la fonction polynôme P définie pour tout x réel par :
P ( x ) = 2 x^3 − 3 x^2 − 1.
a. Étudier les variations de P. b. Montrer que l’équation P ( x ) = 0 admet une racine réelle et une seule α , et que α appartient à l’intervalle ]1,6 ; 1,7[.
2. Soit D l’ensemble des réels strictement supérieurs à −1. On considère la fonction numérique f définie sur D par :
f ( x ) = 1 − x 1 + x^3
On désigne par (C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (on prendra comme unité 4 cm). a. Étudier les variations de f (on utilisera pour cela les résultats du 1. b. Écrire une équation de la droite (∆) tangente à la courbe (C ) au point d’abscisse 0. Étudier la position de la courbe (C ) par rapport à la droite (∆) dans l’intervalle ] − 1 ; +1[. c. Montrer que la courbe (C ) est située au-dessus de sa tangente au point d’abscisse 1. Tracer la courbe (C ), la droite (∆) et la tangente à (C ) au point d’abscisse
3. a. Déterminer trois réels a , b , c , tels que pour tout x dans l’ensemble de définition de f on ait :
f ( x ) =
a x + 1
bx + c x^2 − x + 1
b. x étant un nombre réel positif, justifier l’existence de l’intégrale :
F ( x ) =
∫ x
0
f ( t ) d t.
et la calculer. c. Calculer F (1) et interpréter ce nombre à l’aide d’une aire.
Partie B
On désigne par N l’ensemble des entiers naturels. On considère la suite numérique
up
p ∈N définie, pour tout entier naturel^ p^ de^ N, par :
up =
(−1) p (3 p + 1)(3 p + 2)
puis la suite ( Sn ) n ∈N définie, pour tout n ∈ N, par
Sn = u 0 + u 1 + ··· + up + ··· + un.
Métropole 2 septembre 1988
