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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Benin Étranger groupe II \
juin 1991
EXERCICE 1 4 points
1. Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur R+ par :
f ( x ) = e
1 ln x (^) si x 6 = 0 et x 6 = 1 f (0) = 1 f (1) = 0
a. Étudier la continuité de f en 0 et en 1. b. Déterminer les limites suivantes :
x lim→+∞ f^ ( x )^ ;^ lim x → 0 x > 0
f ( x ) − 1 x ; lim x → 1 x < 1
f ( x ) x − 1
c. Étudier les variations de f et dresser le tableau de ces variations. d. Représenter f dans le plan rapporté à un repère orthonormal
O,
ı ,
2. À l’aide de la question précédente, représenter dans le plan rapporté à un re- père orthonormal l’ensemble des points M de coordonnées ( x ; y ) tels que ln | x | · ln | y | = 1.
EXERCICE 2 4 points
Soit, dans le plan orienté, un triangle (A, B, C) équilatéral direct de centre O. On pose AB = d ( d > 0).
1. a. Démontrer que l’ensemble (∆) des points M du plan tels que −−→ OC ·
O M =
d^2 est une droite que l’on déterminera avec précision. b. Déterminer le réel k afin que l’ensemble ( δ ) des points du plan tels que −−→ OC ·
D M = k passe par le milieu du segment [BC]. c. Démontrer que l’ensemble (Γ) des points M du plan tels que M A^2 + M B^2 + M C^2 = 2 d^2 est un cercle que l’on déterminera avec précision. d. Justifier que (∆) est tangente à (Γ).
2. À tout point M du plan on associe le point M ′^ défini par :
M ′^ = S (AC) ◦ S (AO)( M )
où S (AO) et S (AC) désignent les symétries orthogonales par rapport aux droites (AO) et (AC). a. Démontrer que M ′^ est l’image de M par une rotation r dont on donnera les éléments caractéristiques. b. Quelle est l’image, par r , de la droite (BC)? c. Démontrer que O′^ = r (O) est un point de (Γ).
3. À tout point M de la droite (BC) on associe le point M ′′^ intersection de la droite (A M ′) et de ( δ ). M ′^ est le point défini en 2.
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
a. Démontrer que M ′′^ est l’image de M par une similitude s dont on préci- sera les éléments caractéristiques. b. Construire l’image (Γ′′) de (Γ) par s.
4. Soit N un point de (Γ) distinct de A et de O′. La droite ( N O′) coupe (Γ′′) en Q. a. Démontrer que ((Aá N ), (A Q )) = á
(OA), (AO′)
b. Déterminer s ( N ).
PROBLÈME 12 points
Dans tout le problème le plan est rapporté au repère orthonormal
O,
ı ,
Partie A
Soit E l’ensemble des points M , du plan P , de coordonnées ( x ; y ) tels que
x^2 − x − y^2 = 0.
1. Démontrer que E est une hyperbole équilatère dont on précisera le centre, les asymptotes et les sommets. 2. Dessiner E. Déterminer les foyers et les directrices de E et les placer sur le dessin. 3. Soit M un point de E d’abscisse strictement positive. On désigne par θ la me- sure de l’angle
ı ,
O M
appartenant à
]
π 2
π 2
[
Exprimer O M en fonction de θ puis déterminer θ afin que l’on ait O M =
p
4. Déterminer tous les points M de E dont les coordonnées ( x ; y ) sont deux entiers relatifs.
Partie B
On considère l’application f de C dans C définie par :
{ f ( z ) =
z
si z 6 = 0 f (0) = 0
et l’on désigne par g l’application de P dans P qui à tout point M d’affixe z associe g ( M ) d’affixe f ( z ).
1. Démontrer que f est involutive. 2. Soit z = x +i y ( x ; y réels). Déterminer en fonction de x et de y la partie réelle et la partie imaginaire de f ( z ). 3. Déterminer une équation cartésienne de la transformée de la courbe E par g. On désigne par E′^ cette courbe. 4. Soit ∆ la droite d’équation y = t x où t désigne un paramètre réel. Démontrer que ∆ coupe E′^ en deux points dont l’un est O et l’autre M dont on donnera les coordonnées en fonction de t.
Partie C
Soit (C ) la courbe définie paramétriquement dans le plan par :
x ( t ) =
1 − t^2 1 + t^2
y ( t ) =
1 − t^3 1 + t^2
( t ∈ R).
On note M ( t ) le point de coordonnées ( x ( t ) ; y ( t )).
Étranger 2 juin 1991
