Télécharge Exercices de géométrie algorithmique – 8 et plus Exercices au format PDF de Géométrie Algorithmique sur Docsity uniquement!
Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Métropole septembre 1991 \
EXERCICE 1 5 points
Dans l’espace, on considère une pyramide ABCDE telle que :
- La base ABCD est un carré de centre O.
- La droite (OE) est perpendiculaire au plan (ABCD).
- OE = OA = a. On se propose de déterminer toutes les réflexions et rotations laissant invariante cette pyramide. 1. Démontrer que la pyramide est invariante par la réflexion de plan (ACE). Est-elle invariante par le demi-tour d’axe (OE)? 2. a. Déterminer l’isobarycentre, G, des points A, B, C, D, E. b. Démontrer que les distances GA et GE sont différentes. 3. Soit f une réflexion ou rotation laissant invariante la pyramide. a. Démontrer que le point G est invariant par f b. Démontrer que l’image de E par f ne peut pas être le point A. c. Démontrer que le point E est nécessairement invariant par f. 4. a. Déterminer les réflexions laissant invariante la pyramide. b. Déterminer les rotations laissant invariante la pyramide.
EXERCICE 2 5 points
Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal
O,
ı ,
(On choisira 2 cm comme unité graphique.) Soit C la conique d’équation :
3( x + 1)^2 + 4 y^2 = 12.
1. a. Quelle est la nature de cette conique? b. Construire C. c. Déterminer les foyers, les directrices et l’excentricité de C. 2. À chaque point M de C de coordonnées ( x ; y ), on associe le nombre com- plexe z = x + i y affixe de M. a. Démontrer que | z | =
(3 − x ).
b. En déduire que | z | =
2 + cos θ , θ étant un argument de z.
3. Soit M ′^ et M ′′^ les points de C ayant pour affixes respectives z ′^ et z ′′^ d’argu- ments respectifs θ et θ + π. a. Calculer ‖
M ′^ M ′′^ ‖ en fonction de θ. b. Déterminer θ pour que ‖
M ′^ M ′′^ ‖ soit maximum puis minimum.
PROBLÈME 10 points
Soit n un entier naturel et fn la fonction définie sur [0 ; 1] par :
fn ( x ) = xn +^
(^12) (1 − x )
(^12) .
L’objet du problème est d’étudier :
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
- dans la partie A, la fonction fn et sa courbe représentative, notée C n dans un repère orthonormal.
- dans la partie B l’intégrale In =
0
fn ( x ) d x.
Partie A
Dans cette partie, le plan est rapporté au repère orthonormal
O,
ı ,
. (Unité gra- phique : 10 cm.) 1. Montrer que C 0 est un demi-cercle, de rayon
, dont on précisera le centre.
2. Soit n > 1.
a. Calculer f (^) n ′ ( x ) pour 0 < x < 1 et montrer que f (^) n ′ ( x ) et
n +
− ( n + 1) x ont même signe. b. Étudier la dérivabilité de fn en 0 et 1. c. Donner le tableau de variations de f. (On ne demande pas le calcul du maximum de fn ).
3. a. Soit x ∈ [0 ; 1] et n > 0.
Étudier le signe de fn + 1 ( x ) − fn ( x ). b. En déduire les positions relatives des courbes C n et C n + 1. c. Tracer C 1 et C 2 dans le même repère.
Partie B
Pour tout entier naturel n , on pose :
In =
0
fn ( x ) d x.
1. Soit g la fonction définie sur [0 ; 1] par g ( x ) = (1 − x )
1 (^2) et G la fonction définie sur [0 ; 1] par :
G ( x ) = −
(1 − x )
(^12) .
Vérifier que G est la primitive de g qui s’annule pour x = 1.
2. Soit n > 0. a. En procédant à une intégration par parties utilisant G , démontrer que :
In =
n +
( In − 1 −^ In ).
En déduire la relation :
[1] In =
2 n + 1 2 n + 4
In − 1.
Du résultat obtenu en A.1. déduire la valeur de I 0. b. Montrer que pour tout entier n > 0 :
In =
3 × 5 × 7 × ... × (2 n + 1) 6 × 8 × 10 × ... × (2 n + 4)
×
π 8
3. On se propose d’étudier le comportement de la suite ( In ) n > 0. a. Montrer que la suite ( In ) n > 0 est décroissante. Que peut-on en déduire? b. Montrer, à l’aide d’une majoration de fn ( x ) sur [0 ; 1], que :
In 6
n + 1
Antilles–Guyane 2 septembre 1991
