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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Métropole groupe 1^1 juin 1991 \
EXERCICE 1 4 points
Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct
O,
u ,
v
Au point M d’affixe z = x + i y , où x et y sont réels, on fait correspondre le point M ′ d’affixe z ′^ = z^2 + 2 z.
1. a. Calculer les coordonnées
x ′^ ; y ′
du point M ′^ en fonction des coordon- nées ( x ; y ) du point M. b. Montrer que l’ensemble ( H ) des points M du plan tels que z ′^ soit imagi- naire pur est une hyperbole dont on précisera le centre, les sommets et les asymptotes. Tracer ( H ).
2. Soit Ω le point d’affixe −1. Déterminer les points M du plan tels que le quadrilatère O M M ′Ω soit un pa- rallélogramme.
EXERCICE 2 4 points
Dans le plan orienté, on considère deux points distincts A et B. On note R A et R B les
rotations de centres respectifs A et B et d’angle de mesure π 2
Pour tout point M du plan, on note M 1 et M 2 les images respectives de M par R A et R B.
1. On considère la transformation T = R B ◦ R −A 1. a. Construire le point C image du point A par T. b. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de T. c. En déduire la nature du quadrilatère M 1 M 2 CA. 2. On suppose que le point M décrit le cercle (Γ) de diamètre [AB]. a. Déterminer et construire l’ensemble (Γ 2 ) décrit par le point M 2 quand M décrit (Γ). b. Soient ω et ω 2 les milieux respectifs des segments [AB] et [BC]. Comparer les vecteurs
ωω 2 et
AC.
c. Déterminer l’ensemble décrit par le point I, milieu de [ M 1 M 2 ] quand M décrit (Γ).
PROBLÈME 12 points
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal
O,
ı ,
A -
1. Soit f la fonction numérique définie sur [0 ; +∞[ par
f ( x ) = x −
et soit C sa courbe représentative dans le sepère
O,
ı ,
Établir le tableau de variations de f.
- Amiens, Lille, Rouen, Créteil, Paris, Versailles
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
2. Soit T l’application de P dans P qui à tout point M de coordonnées ( x ; y ) associe le point N de coordonnées
x ′^ ; y ′
tels que : { x ′^ = − x y ′^ = − 2 x + y
a. Montrer que
M N est colinéaire à
ı +
et que le milieu P de [ M N ] ap- partient à l’axe
O ;
b. Soit g la fonction numérique définie sur ] − ∞ ; 0] par
g ( x ) = x −
et soit C 1 sa courbe représentative dans le repère
O,
ı ,
Montrer que l’image de la courbe C par T est la courbe C 1.
3. Établir le tableau de variations de g. 4. Montrer que C et C 1 admettent pour asymptote la droite ∆ d’équation y = x −
et préciser leur position par rapport à ∆.
5. Soit h la fonction numérique définie sur R par
h ( x ) = x −
et soit Γ sa courbe représentative dans le repère
O,
ı ,
Montrer que Γ est la réunion de C et de C 1.
6. En adoptant une unité de 4 cm sur chaque axe, construire ∆ et la courbe Γ dans le repère
O,
ı ,
en précisant les demi-tangentes a Γ au point A d’abs- cisse 0.
B - Soit Dk la droite d’équation y = x −
k
où k est un réel strictement supérieur
à 1.
1. a. Étudier la position relative de C et Dk et donner l’abscisse de leur point commun Mk. b. Étudier la position relative de C 1 et Dk et donner l’abscisse de leur point commun Nk. c. Vérifier que Nk = T ( Mk ) ( T étant l’application définie au A - 2.) et que le milieu Pk de [ Mk Nk ] appartient à l’axe
O ;
j
2. Démontrer que les parties du plan limitées, l’une par C , Dk et
O ;
j
, l’autre par C 1 , Dk et
O ;
j
, ont la même aire a ( k ). Étudier la limite de a ( k ) lorsque k tend vers +∞.
3. Montrer que l’aire du triangle A P Mk est S ( k ) =
k
ln k.
4. On se propose d’étudier s’il existe une valeur de k telle que S ( k ) = 2 a ( k ). (1) a. ψ étant la fonction numérique définie sur ]1 ; +∞[ par :
ψ ( k ) = ln k − 4 k − 1 k + 3
montrer que l’égalité (1) équivaut à : ψ ( k ) = 0. b. Établir le tableau de variations de ψ. c. En déduire l’existence et l’unicité de la valeur de k vérifiant l’égalité (1) et encadrer cette valeur par deux entiers consécutifs.
Métropole groupe 1 2 juin 1991
