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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1988 \
EXERCICE 1 4 points
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
On considère l’application f de P dans P qui au point M d’affixe z associe le point
M
′ d’affixe z
′ tel que
z
′ = 2 z + i zz.
1. Déterminer et construire l’ensemble des images des points d’ordonnée nulle. 2. Déterminer et construire l’ensemble des images des points d’abscisse nulle. 3. Déterminer et construire l’ensemble des images des points du cercle de centre
O et de rayon 1.
EXERCICE 2 4 points
Soit E l’espace muni d’un repère orthonormal direct
O,
ı ,
k
Soit P 1 le plan d’équation x − y
p 3 +
p 3 = 0 et P 2 le plan d’équation x
p 3 − y + 1 = 0.
Désignant par s P 1
(resp. s P 2
) la symétrie orthogonale par rapport au plan P 1 (resp.
P 2 ), on se propose de déterminer f = s P 2
◦ s P 1
1. Déterminer
a. D 1 = P 1 ∩ ( x O y ) ;
b. D 2 = P 2 ∩ ( x O y ).
(on pourra faire une figure dans le plan x O y ).
2. Déterminer, dans le plan x O y muni du repère orthonormal direct
O,
ı ,
une mesure de l’angle
u 1 ,
u 2
où
u 1 (resp.
u 2 ) est un vecteur directeur de
D 1 (resp. D 2 ).
En déduire la nature et les éléments caractéristiques de
f = s P 2 ◦ s P 1
PROBLÈME 12 points
Les parties A et B sont indépendantes
On se propose, dans ce problème, de résoudre des équations du 3
e degré, de la forme
x
3
2
Partie A
On donne a = 5,45, b = −4,84. L’équation correspondante est notée (E 1 ).
1. Étudier les variations de f : R → R
x 7 −→ x
3
2 − 4,84 x + 1.
En déduire que (E 1 ) admet une solution négative notée x 1 et une solution
double positive notée x 2.
Terminale C A. P. M. E. P.
2. Donner les valeurs exactes de x 1 et x 2. 3. Le plan est rapporté à un repère orthogonal
O,
ı ,
avec pour unité de lon-
gueur le centimètre et
ı
a. Construire la courbe représentative C 1 de f.
b. Calculer l’aire en cm
2 du domaine plan, ensemble des points M( x ; y )
tels que :
x 1 6 x 6 x 2
0 6 y 6 f ( x )
On donnera le résultat en cm
2 au mm
2 près par défaut.
Partie B
On donne a = −1, b = 3. L’équation correspondante est notée (E 2 ).
1. Démontrer que (E 2 ) a une solution réelle unique notée α. 2. On pose g ( x ) = x
3 − x
2
A l’aide de votre calculatrice, déterminer l’entier relatif k tel que
k
< α <
k + 1
3. Démontrer que g ( x ) = 0 équivaut à x =
x
2 − 1
x
2
Étudier la fonction h : R → R, x 7 −→
x
2 − 1
x
2
Construire sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère ortho-
normal.
4. On définit pour tout n ∈ N la suite ( un ) par
u 0 = 0
un + 1 = h ( un )
a. Calculer u 1 , u 2 et u 3 et classer u 0 , u 1 , u 2 et u 3 dans l’ordre croissant.
b. Démontrer que si ( un ) converge, sa limite est solution de (E 2 ).
c. Démontrer que pour tout entier naturel n , −
6 un 6 0.
d. Pour tout p élément de N on pose
vp = u 2 p
wp = u 2 p + 1
Sachant que h est décroissante sur
[
]
, donner le sens de variation
de h ◦ h sur cet intervalle.
En déduire que
vp
est décroissante et
wp
croissante.
e. Prouver que pour −
6 x 6 0,
h
′ ( x )
En déduire que
wp + 1 − vp + 1
wp − vp
. En conclure que la suite
( un ) converge.
f. Calculer une valeur approchée de α à 10
− 3 près (on mettra en évidence
la méthode choisie).
Amérique du Nord 2 juin 1988
