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Terminale S novembre 2009
Amérique du Sud
1. Exercice 1
6 points
L’espace est muni d’un repère orthonormé ( O ; i , j k , )orthonormal. On prend 1 cm comme unité.
Partie A - Restitution organisée de connaissances Soit D le point de coordonnées ( xD , yD , zD ) et P le plan d’équation ax by cz d 0 , où a , b , c et d sont des réels qui ne sont pas tous nuls.
Démontrer que la distance du point D au plan P est donnée par :
, P D^ D^ D
ax by cz d d D a b c
Partie B On considère les points A de coordonnées (3 ; −2 ; 2), B de coordonnées (6 ; −2 ; −1), C de coordonnées (6 ; 1 ; 5) et D de coordonnées (4 ; 0 ; −1).
- Démontrer que le triangle ABC est rectangle. En déduire l’aire du triangle ABC.
- Vérifier que le vecteur n de coordonnées (1 ; −2 ; 1) est normal au plan ( ABC ). Déterminer une équation du plan ( ABC ).
- Calculer la distance du point D au plan ( ABC ). Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. Partie C Soit Q le plan d’équation x 2 y z 5 0.
- Déterminer la position relative des deux plans Q et ( ABC ).
- Q coupe les droites ( DA ), ( DB ) et ( DC ) respectivement en E , F et G. Déterminer les coordonnées de E et montrer que E appartient au segment [ DA ].
- Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Déterminer le volume du tétraèdre EFGD. 2. Exercice 2 5 points
Le but de cet exercice est de déterminer une valeur approchée à 10−^2 près de l’intégrale :
1 0 2
e^ x I dx x
1. a. Étudier les variations de la fonction
e^ x f x f x x
sur l’intervalle [0 ; 1].
b. Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], on a^1 ^1
f x e
2. Soit J et K les intégrales définies par
1 0
J 2 x e xdx et
(^1 ) 0
K x f x dx.
a. Au moyen d’une intégration par parties, prouver que J 3 4 e
b. Utiliser un encadrement de f x obtenu précédemment pour démontrer que^1 ^1
K
e
c. Démontrer que J + K = 4 I. d. Déduire de tout ce qui précède un encadrement de I , puis donner une valeur approchée à 10−^2 près de I.
3. Exercice 3 4 points On considère un questionnaire comportant cinq questions. Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites (A, B et C), une seule d’entre elles étant exacte. Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres. Par exemple, le mot « BBAAC » signifie que le candidat a répondu B aux première et deuxième questions, A aux troisième et quatrième questions et C à la cinquième question.
- a. Combien y-a-t’il de mots-réponses possibles à ce questionnaire? b. On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire. Calculer la probabilité des événements suivants : E : « le candidat a exactement une réponse exacte ». F : « le candidat n’a aucune réponse exacte ». G : « le mot-réponse du candidat est un palindrome » (On précise qu’un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche : par exemple, « BACAB » est un palindrome).
- Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur demandant de répondre au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire. On désigne par X le nombre d’élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte.
a. Justifier que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 28 et^ p ^24332.
b. Calculer la probabilité, arrondie à 10−^2 , qu’au plus un élève ne fournisse que des réponses fausses.
4. Exercice 4 (non spécialistes, corrigé) 5 points Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u v , ), on considère les points A et B d’affixes respectives 2 et (−2) et on définit l’application f qui à tout point M d’affixe z et différent de A associe le
point M ’ d’affixe ^
z z z z
- a. Déterminer l’affixe du point P ’ image par f du point P d’affixe 1 + i. b. Montrer que les droites ( AP ) et ( BP ’) sont parallèles. c. Établir que les droites ( AP ) et ( PP ’) sont perpendiculaires.
- Déterminer l’ensemble des points invariants par f (c’est à dire l’ensemble des points M tels que M ’ = M ). On cherche à généraliser les propriétés 1. b. et 1. c. pour obtenir une construction de l’image M ’ d’un point M quelconque du plan.
- a. Montrer que pour tout nombre complexe z , le nombre z^ ^2 z ^2 est réel.
b. En déduire que pour tout nombre complexe distinct de 2,
z z
est réel.
c. Montrer que les droites ( AM ) et ( BM ’) sont parallèles.
- Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, sera prise en compte dans l’évaluation. Soit M un point quelconque non situé sur la droite ( AB ). Généraliser les résultats de la question 1.c.
- Soit M un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point M ’ image de M par f. Réaliser une figure pour le point Q d’affixe 3 − 2 i. Correction
- a. ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
2 2 ^
P P P P
z z i i i i i i i z i i i z i
^
Une mesure de (^) AM , M M est un argument de M^ M M A
z z z z
, c’est-à-dire de 2
z z z
^ ^ ^
z z z^ z^ z^ z z z z^ z z z^ z z z z z z (^) z z z z
^ ^
^
^
Or pour tout nombre complexe z , z z 2 i Im z , soit ^
4Im (^2 2 )
z z z i z (^) z z
; comme
4Im 2 2
z z z
est un réel, 2
z z z
est alors un imaginaire pur : , (^) mod 2
AM M M ^ ^ ^ .
Par conséquent, pour tout point M non situé sur la droite (^) AB , les droites (^) AM et (^) M M sont perpendiculaires.
- D’après les questions 3. b. et 4., le point M image de M par f est le point d’intersection de deux droites : la parallèle à la droite (^) AM passant par B et la droite perpendiculaire à à la droite AM passant par M. 5. Exercice 4 (spécialistes) 5 point
On considère un carré direct ABCD (c’est à dire un carré ABCD tel que , (^) ^ ^ 2 2
AB AD de centre I ).
Soit J , K et L les milieux respectifs des segments [ AB ], [ CD ] et [ DA ]. 1 désigne le cercle de diamètre [ AI ] et 2 désigne le cercle de diamètre [ BK ].
Partie A
- Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe s telle que s ( A ) = I et s ( B ) = K.
- Montrer que les cercles 1 et 2 se coupent en deux points distincts : le point J et le centre de la similitude directe s.
- a. Déterminer les images par s des droites ( AC ) et ( BC ). En déduire l’image du point C par s. b. Soit E l’image par s du point I. Démontrer que E est le milieu du segment [ ID ].
- Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, sera prise en compte dans l’évaluation. Démontrer que les points A , et E sont alignés. (On pourra considérer la transformation t s s ). Partie B Désormais, on considère que le côté du carré mesure 10 unités et on se place dans le repère orthonormé
direct^
; 1 ,^1
A 10 AB 10 AD
- Donner les affixes des points A , B , C et D.
- Démontrer que la similitude directe s a pour écriture complexe ' 1 5 5 2
z iz i.
- Calculer l’affixe du centre de s.
- Calculer l’affixe zE du point E et retrouver l’alignement des points A , et E.
- Démontrer que les droites ( AE ), ( CL ) et ( DJ ) sont concourantes au point .
