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La Teoria Neoclassica del Consumatore

L’Utilità del Consumatore

Martina Menon

L’utilità o benessere degli individui

La posizione di una curva di indifferenza può essere considerata come un indicatore del benessere del consumatore: più in alto sulla “mappa” delle curve si trova il paniere, maggiore è il suo benessere o utilità U. Definition L’utilità misura il livello di soddisfazione che un consumatore trae da qualsiasi paniere di beni e servizi.

Come si misura l’utilità? Non esiste una misura oggettiva, va bene qualsiasi misura che attribuisce lo stesso valore di utilità ai panieri sulla stessa curva di indifferenza e valori via via maggiori ai panieri sulle curve di indifferenza più alte. Nella figura dovrà essere vero che U ( A ) = U ( C ) < U ( B ).

Figure: Curve di indifferenza e utilità

Non tutte le relazioni di preferenza sono rappresentabili

con l’utilità

Preferenze intransitive

Supponiamo che un agente abbia preferenze intransitive ossia ordina i panieri A , B , e C in questo modo: A 3 B 3 C 3 A. Le funzioni di utilità per queste preferenze sarebbero i numeri u ( A ) = 10, u ( B ) = 9, e u ( C ) = 8 e per rispettare l’ordinamento di preferenza dovrebbe essere vero che u ( A ) > u ( B ) > u ( C ) > u ( A ). Ma questo è falso! Quindi preferenze intransitive non sono rappresentabili da una funzione di utilità. Comunque se si escludo preferenze irragionevoli (che non rispettano le proprietà delle relazioni di preferenza), in genere è possibile descrivere le relazioni di preferenza 3 con funzioni di utilità.

Funzione di utilità per due beni

Figure: Funzione di utilità

Utilità marginale: Il caso di un solo bene

Un consumatore acquista un solo bene e indichiamo con x la quantità acquista e con U ( x ) il livello di utilità che il consumatore trae da x. Siamo interessati a conoscere come varia il livello di utilità ∆ U in risposta a un cambiamento nel livello di consumo ∆ x del bene. Questo cambiamento è misurato dall’utilità marginale.

Definition L’utilita marginale MUx del bene x è il saggio a cui l’utilità totale varia a causa della variazione nel livello di consumo del bene

MUx =

∆ U

∆ x

l’utilità marginale in un dato punto è rappresentata dalla pendenza della retta tangente alla funzione di utilità in quello specifico punto. Nota che ∆ U = MUx ∆ x la variazione nel livello di utilità associata alla variazione nel consumo del bene è data dal prodotto tra l’utilità marginale e la variazione nel consumo.

Illustrazione grafica dell’utilità marginale

Figure: Utilità totale e utilità marginale

Utilità marginale: Il caso di più beni

In genere i consumatori scelgono tra una pluralità di beni quindi la funzione di utilità dipende da più beni. Noi consideriamo il caso di due beni x 1 e x 2. La funzione di utilità che rappresenta la relazione di preferenza 3 è uguale a U ( x 1 , x 2 ). Estendiamo il concetto di utilità marginale al caso di più beni.

Definition L’utilità marginale per ciascun bene è pari al tasso al quale l’utilità totale cambia all’aumentare del consumo di quel bene mantenendo costante il livello di consumo dell’altro bene

MUi =

∆ U

∆ xi

∆ xj = 0

con i 6 = j = 1 , 2.

Calcolo dell’utilità marginale nel caso di due beni

Supponiamo che la relazione di preferenza 3 di un consumatore per i beni x 1 e x 2 sia rappresenta dalla funzione di utilità U ( x 1 , x 2 ) =

x 1 x 2. Supponiamo che il consumo del bene 1 aumenti da x 1 = 4 a x 1 ′ = 4 .01 e quindi ∆ x = 0 .01, mentre il consumo del bene è x 2 = 4 e non cambia. L’utilità varia da U ( 4 , 4 ) =

a U ( 4. 01 , 4 ) =

4. 01 · 4 = 4 .005. L’utilità è aumentata di ∆ U = 0 .005. L’utilità marginale del bene 1 (mantenendo costante il consumo del bene 2) è MUx 1 = ∆^ ∆^ Ux 1 = 00.^005. 01 = 0 .50. Nota: data la funzione di utilità U ( x 1 , x 2 ) =

x 1 x 2 , l’espressione formale dell’utilità marginale è MUx 1 ( 4 , 4 ) =

√ x 2 2 √ x 1 =^0 .50.

L’utilità marginale può essere negativa

Figure: Utilità marginali decrescenti e negative

Utilità e saggio marginale di sostituzione (MRS)

Una funzione di utilità U ( x 1 , x 2 ) può essere utilizzata per misurare il saggio marginale di sostituzione ( MRS ). Ricordiamo che il MRS misura la pendenza della curva di indifferenza in un determinato punto. Può essere interpretata come il tasso a cui il consumatore è disposto a sostituire una piccola quantità del bene 2 per il bene 1. Si consideri un cambiamento nel consumo di ogni bene, ∆ x 1 e ∆ x 2 , che mantiene costante l’utilità ∆ U = 0, cioè un cambiamento nel consumo che si sposta lungo la curva di indifferenza

∆ U = MUx 1 ∆ x 1 + MUx 2 ∆ x 2 = 0

risolvendo per il coefficiente angolare della curva di indifferenza ∆ x 2 ∆ x 1

= −

MUx 1 MUx 2

.

Note: in genere, MRS è negativo: se consumiamo più del bene 1 dobbiamo consumare meno del bene 2 per rimanere sulla stessa curva di indifferenza.

Esercitiamoci: Utilità marginale

Supponiamo che le preferenze del consumatore siano rappresentate da U ( x 1 , x 2 ) =

x 1 x 2 e le utilità marginali dei due beni sono MUx 1 =

√ x 2 2 √ x 1 e^ MUx^2 =

√ x 1 2 √ x 2. (^1) Dimostra che il consumatore ritiene che sia meglio una maggiore quantità di ogni bene. Abbiamo due modi equivalenti per rispondere a questo quesito:

Dalla funzione di utilità U ( x 1 , x 2 ) = √ x 1 x 2 notiamo che l’utilità aumenta all’aumentare di x 1 e x 2 : per U ( x 1 = 2 , x 2 = 2 ) =

√ 2 · 2 = 2 e U ( x 1 = 3 , x 2 = 3 ) =

√ 3 · 3 = 3; Le utilità marginali dei due beni sono valori positivi ( MUx 1 =

√ 2 2 √ 2 >^ 0 e^ MUx^2 =

√ 2 2 √ 2 >^ 0) questo significa che l’utilità del consumatore aumenta all’aumentare delle quantità consumate dei due beni. (^2) Dimostra che l’utilità marginale dei due beni è decrescente. in entrambe le funzioni MUx 1 e MUx 2 , all’aumentare del valore del denominatore, mantenendo costante il numeratore, l’utilità marginale decresce.

Esercitiamoci: Utilità e curve di indifferenza/

Supponiamo che le preferenze di un consumatore siano rappresentate dalla funzione U = xy , con MUx = y e MUy = x. Su un grafico disegna la curva di indifferenza associata al livello di utilità U 1 = 128. Può la curva di indifferenza U 1 intersecare qualche asse? Poiché U 1 è positiva, x e y devono essere entrambi positivi. Se U 1 intersecasse l’asse delle x , il valore di y in quel punto sarebbe zero e quindi il valore di U 1 sarebbe zero e non 128. Lo stesso vale se U 1 intersecasse l’asse delle y. Quindi U 1 non può intersecare gli assi. Il MRS è decrescente lungo U 1? Dalla figura e dalla formula si vede che lungo la curva di indifferenza U 1 al crescere di x e al diminuire di y il MRS = y x è decrescente. Sullo stesso grafico disegna una seconda curva di indifferenza U 2 = 200. Dimostra come MRS = y x dipenda da x e y e usa questa informazione per determinare se MRS è decrescente.

Esercitiamoci: Utilità con MRS crescente

Supponiamo che le preferenze di un consumatore tra due beni ( x , y ) sono rappresentate dalla funzione U = Ax^2 + By^2 dove A > 0 e B > 0. Per questa funzione di utilità MUx = 2 Ax e MUy = 2 By. Dimostra che MRS è crescente. Poiché sia MUx sia MUy sono positive, le curve di indifferenza hanno pendenza negativa. Questo significa che quando x aumenta lungo una curva di indifferenza, y deve diminuire per rimanere sulla stessa curva di indifferenza. Dato che MRS = MU MUxy = Ax By significa che muovendoci lungo una curva di indifferenza aumentando x e diminuendo y , MRS aumenterà quindi il saggio marginale di sostituzione di x per y è crescente.

Figure: Utilità con MRS crescente

Appendice: Richiamo del concetto di funzione

Definition Funzione: ogni regola matematica che permette di calcolare il valore di una variabile (dipendente) partendo dal valore di una o più variabili (indipendenti).

Corollary Funzione con una variabile y = f ( x ) (si legge y è funzione di x ); per ogni dato valore di x , la funzione f ( x ) consente di calcolare il corrispondente valore di y. Esempio. La funzione y = 3 x^2 , quando x = 5
y = 75 , quando x = − 2
y = 12_._

e Corollary Funzione con due variabili y = f ( x 1 , x 2 ) (si legge y è funzione di x 1 e x 2 ) per ogni dato valore di x 1 e x 2 , la funzione f ( x ) consente di calcolare il corrispondente valore di y. Esempio: La funzione y = 3 x 1 x 2 con x 1 = 5 , x 2 = − 4 la funzione è pari a y = − 60_._