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Corso di Studi in Informatica
Matematica Discreta, corsi A e B
Prova scritta del 18 dicembre 2002
COGNOME.................................... NOME.............................
MATRICOLA........................... Compito n. 1
Rispondere a ciascuna domanda nello spazio sotto predisposto, motivando adeguatamente le risposte. Per essere sufficiente un compito deve raggiungere 18 punti.
- (8 punti) Determinare la soluzione intera dell’equazione
182 x + 231y = 28
tale che x + y sia il minimo intero positivo possibile.
Soluzione. Il massimo comun divisore (182, 231) = 7 divide 28, e quindi l’equazione ha soluzioni intere. Mediante l’algoritmo di Euclide si determina
e moltiplicando questa relazione per 4 = 28/7 si ottiene
Dunque una soluzione dell’equazione `e x 0 = 56, y 0 = −44. Tutte le altre soluzioni si ottengono usando la formula del Teorema 2.5 del Capitolo I, e si ha
x = 56 + 33k, y = − 44 − 26 k, k ∈ Z
La condizione che x + y sia positivo e dunque 12 + 7k > 0 e cioe k > − 12 /7. Poich´e k deve essere un numero intero si ha k ≥ −1. Dunque il minimo valore positivo di x + y si ottiene per k = −1 e la soluzione `e x = 23, y = − 18
- (8 punti)
(1) In quanti modi si possono sistemare 7 persone attorno ad una tavola rotonda se esse possono sedere in qualsiasi posto? (2) In quanti modi si possono sistemare 7 persone attorno ad una tavola rotonda se 2 persone particolari devono essere sedute vicine?
Giustificare completamente le risposte.
Soluzione. (1) La prima persona si puo sedere in un qualsiasi posto senza influenzare la disposizione. Ora le altre 6 si possono sedere nei 6 posti rimanenti in modo arbitrario e percio ci sono 6! = 720 modi di sistemare le 7 persone.
(2) Se consideriamo le due persone fissate come una sola, allora ci sono 6 persone, che si possono sistemare in 5! = 120 modi. Ma le due persone considerate come una sola si possono sedere in 2 modi, e percio il numero di modi in cui si possono sistemare le 7 personee 5! · 2 = 240.
- (8 punti) Risolvere il sistema di equazioni lineari
2 x 1 + 3 x 2 − x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 − x 3 − x 4 = 1 x 1 − x 3 − x 4 = 0 3 x 1 − 2 x 2 + x 3 − x 4 = 2
Soluzione. Il sistema si pu`o risolvere con il metodo di eliminazione di Gauss, ottenendo la soluzione (unica): (^)
x 1 =
x 2 = 1
x 3 =
x 4 = −
