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Corso di Studi in Informatica
Matematica Discreta, corsi A e B
Prova scritta del 15 luglio 2002
COGNOME.................................... NOME.............................
MATRICOLA........................... Compito n. 1
Rispondere a ciascuna domanda nello spazio sotto predisposto, motivando adeguatamente le risposte. Per essere sufficiente un compito deve raggiungere 18 punti.
- (8 punti) Se si divide 5^51 per 70, quale resto si ottiene? Attenzione: 5 e 70 non sono coprimi e quindi 5ϕ(70)^6 ≡ 1 mod 70.
Soluzione. 70 = 2 · 5 · 7 `e libero da quadrati e quindi possiamo applicare il Corollario 5. del Capitolo 1 delle dispense che dice che
5 hϕ(70)+1^ ≡ 5 mod 70
per ogni intero h. Si ha che ϕ(70) = ϕ(2) · ϕ(5) · ϕ(7) = 1 · 4 · 6 = 24, e 51 = 49 + 2 = (2 · 24 + 1) + 2. Allora
551 = 5(2·24+1)+2^ ≡ 5 · 52 = 5^3 = 125 ≡ 55 mod 70.
- (8 punti) Quanti mazzi diversi di 5 rose si possono confezionare se si hanno a disposizione rose rosse e gialle? Elencare tutte le possibili soluzioni. Quanti mazzi diversi di 9 rose si possono confezionare se si hanno a disposizione rose rosse, gialle e bianche?
Soluzione. Il numero di mazzi diversi e dato dal numero dei multi-insiemi di cardi- nalita 5 scelti da un insieme di 2 nel primo caso e cardinalita 9 scelti da un insieme di 3 nel secondo. Per il Teorema 2.10 del Capitolo 2 delle dispense si ha che queste cardinalita valgono rispettivamente
( 2 + 5 − 1 5
I 6 mazzi del primo caso sono (dove r indica una rosa rossa e g una gialla):
rrrrrr rrrrrg rrrrgg rrrggg rrgggg rggggg gggggg
- Determinare l’inversa della matrice
A =
Soluzione. Si puo usare la formula del Teorema 6.7 del Capitolo IV. Il determinante di Ae det(A) = − 2
e gli elementi della matrice inversa B = (bij ) sono dati da
bij =
Aji det(A)
Calcolando tutti i complementi algebrici si ottiene
B =
