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La Programmazione Lineare
La programmazione lineare è una tecnica matematica usata nella pianificazione amministrativa ed
economica per trovare il massimo o il minimo di funzioni lineari soggette a vincoli.
In un qualsiasi contesto economico dove le risorse da utilizzare sono disponibili in quantità limitata,
si pone il problema di scelta della quantità e combinazioni di fattori da impiegare per ottenere il
miglior risultato possibile.
Ad esempio, l’attività imprenditoriale ha come motivazione principale la continuità della propria
impresa e la remunerazione dei fattori della produzione. L’imprenditore compie la sua attività al fine
di individuare la combinazione di fattori che porta al profitto più elevato.
Nel campo della logistica dei trasporti, l’obiettivo è trovare la strada più breve per raggiungere un
certo luogo oppure il sistema di trasporto delle merci che minimizza la spesa.
La formulazione matematica di un problema di programmazione lineare deve seguire queste
regole:
- Comprendere il problema;
- Identificare le variabili di decisione che possono influenzare l’obiettivo;
- Individuare la funzione obiettivo;
- Individuare i fattori, le risorse disponibili e i tempi richiesti per dare un supporto al processo
decisionale
- Formulare i vincoli del problema.
Se abbiamo compreso i termini del problema, allora possiamo individuare:
- Variabili decisionali : ossia quelle grandezze che attraverso l’uso delle risorse disponibili in
quantità limitata determinano i risultati del problema. Le variabili sono quegli elementi del
problema che devono essere calcolati in modo tale da ottenere il miglior risultato possibile.
- Funzione obiettivo: rappresenta in termini algebrici l’obiettivo che una certa situazione
vuole ottimizzare attraverso un modello di P. L. È una funzione lineare di due o più
variabili che si deve MASSIMIZZARE oppure MINIMIZZARE;
- Vincoli tecnici (I vincoli di produzione): rappresentano i legami esistenti tra variabile e tra
variabili e fattori limitanti. Ad esempio possono essere dovuti a disponibilità di materiale; ore
lavorative e capienza di magazzino. Sono rappresentati da un sistema di equazioni o
disequazioni lineari in due o più variabili;
- Vincoli di segno: un sistema di vincoli che garantiscono la non negatività delle variabili,
essendo esse GRANDEZZE ECONOMICHE.
Per risolvere un problema di Programmazione Lineare possiamo applicare il seguente
teorema della programmazione lineare: Quando l’insieme delle soluzioni ammissibili di un
problema di programmazione lineare è un poligono convesso, allora la soluzione ottimale (ossia il
punto di massimo o di minimo della funzione obiettivo ) esiste sempre e si trova in uno dei vertici
del poligono.
Una figura piana è convessa se comunque si prendono due punti al suo interno il segmento che li
congiunge appartiene interamente alla figura. In caso contrario si dice concava.
Questa definizione vale anche per i poligoni:
- un poligono è convesso se non contiene i prolungamenti dei suoi lati;
- un poligono è concavo se contiene i prolungamenti dei suoi lati.
Per risolvere un problema di Programmazione Lineare con due sole variabili si può usare il metodo
grafico :
- Indichiamo la funzione obiettivo 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦);
- Costruiamo il sistema di vincoli di produzione , ricordando i vincoli di segno ;
- Risolviamo il sistema di vincoli determinando la regione ammissibile e determiniamo le sue
coordinate;
- Si definisce l’insieme delle soluzioni accettabili;
- Si disegnano la linea di livello corrispondente a 𝑧 = 0 e le rette parallele alla funzione
obiettivo;
- Si calcola il valore che assume la funzione obiettivo nei vertici;
- Il valore più grande o più piccolo è associato alla soluzione ottimale.
Disegniamo la retta 𝑦 = −𝑥 + 6.
Per individuare il semipiano delle soluzioni
scegliamo un punto non appartenente alla retta,
per esempio (0;0), e sostituendo nella disequazione
𝑥 + 𝑦 ≤ 6 otteniamo: 0 + 0 ≤ 6 → 0 ≤ 6
Il semipiano delle soluzioni è dunque quello che CONTIENE il punto scelto
Disegniamo la retta 𝑥 = 0
Per individuare il semipiano delle soluzioni
scegliamo un punto non appartenente alla
retta, per esempio (1;0), e sostituendo
𝑥 ≥ 0 otteniamo: 1 ≥ 0
Il semipiano delle soluzioni è dunque quello che CONTIENE il punto scelto.
Disegniamo la retta 𝑦 = 0
Per individuare il semipiano delle soluzioni
scegliamo un punto non appartenente alla
retta, per esempio (0;1), e sostituendo
𝑦 ≥ 0 otteniamo: 1 ≥ 0
Il semipiano delle soluzioni è dunque quello che CONTIENE il punto scelto.
Abbiamo determinato cosi la regione ammissibile con il metodo geometrico:
Risolviamo graficamente il sistema per trovare il punto di intersezione A:
A(0;6)
Risolviamo graficamente il sistema per trovare il punto di intersezione B:
Otteniamo così il punto B ( 2 ;4)
Risolviamo graficamente il sistema per trovare il punto di intersezione C:
− 2 𝑥 + 8 = 0 → 𝑥 = 4 C(4;0)
Essendo una figura convessa possiamo applicare il teorema della programmazione lineare: il
massimo della funzione z si trova su uno dei vertici del quadrilatero: A(0,6) B(2;4) C(4;0)
O(0;0).
Imponendo il passaggio per i vertici abbiamo:
La funzione obiettivo raggiunge il massimo nel punto 𝑩, dove 𝑥 = 2 𝑒 𝑦 = 4.
Esercizio 2: Un’azienda produce auto e vuole lanciare una campagna pubblicitaria in TV e deve
decidere di acquistare annunci in due tipi di programma: programma di intrattenimento e un
programma sportivo. Il primo è seguito da 6 milioni di donne e 2 milioni di uomini e un annuncio in
questo programma costa 50 000 euro. Il secondo è seguito da 3 milioni di donne e 8 milioni di uomini
e un annuncio in questo programma costa 100 000 euro. L’impresa vuole raggiungere 30 milioni di
donne e 24 milioni di uomini. L’impresa vuole impostare la sua campagna per minimizzare i costi.
Formuliamo il problema:
Disegniamo la retta 𝑦 = −
1
4
Per individuare il semipiano delle soluzioni
scegliamo un punto non appartenente alla
retta, per esempio (0;0), e sostituendo
2 𝑥 + 8 𝑦 ≥ 24 otteniamo:
Il semipiano delle soluzioni è dunque quello che NON CONTIENE il punto scelto.
Disegniamo la retta 𝑥 = 0
Per individuare il semipiano delle soluzioni
scegliamo un punto non appartenente alla
retta, per esempio (1;0), e sostituendo
𝑥 ≥ 0 otteniamo: 1 ≥ 0
Il semipiano delle soluzioni è dunque quello che CONTIENE il punto scelto.
Disegniamo la retta 𝑦 = 0
Per individuare il semipiano delle soluzioni
scegliamo un punto non appartenente alla
retta, per esempio (0;1), e sostituendo
𝑦 ≥ 0 otteniamo: 1 ≥ 0
Il semipiano delle soluzioni è dunque quello che CONTIENE il punto scelto.
Abbiamo determinato cosi la regione ammissibile con il metodo geometrico:
Risolviamo graficamente il sistema per trovare il punto di intersezione A:
A(0,10)
Risolviamo graficamente il sistema per trovare il punto di intersezione B:
1
4
−2x + 10 = −
1
4
𝑥 + 3 B(4,2)
Risolviamo graficamente il sistema per trovare il punto di intersezione C:
1
4
1
4
𝑥 + 3 = 0 C(12,0)
Essendo una figura convessa possiamo applicare il teorema della programmazione lineare: il
minimo della funzione z si trova su uno dei vertici del quadrilatero: A(0,10) B(4;2) C(12;0)
Imponendo il passaggio per i vertici abbiamo:
La funzione obiettivo raggiunge il minimo nel punto 𝑩, dove 𝑥 = 4 𝑒 𝑦 = 2.
