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LA PROGRAMMAZIONE LINEARE
Gli strumenti matematici per la programmazione lineare
Una disequazione lineare in x e y ha la forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 > 0 oppure 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 < 0
Possiamo distinguere i seguenti casi:
- 𝐚 = 𝟎, 𝐛 ≠ 𝟎: si ottiene 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 → 𝑏𝑦 = −𝑐 → 𝑦 = −
𝑐
𝑏
- a ≠ 𝟎, 𝐛 = 𝟎: si ottiene 𝑎𝑥 + 𝑐 = 0 → 𝑎𝑥 = −𝑐 → 𝑥 = −
𝑐
𝑎
Le disequazioni 𝑥 > 𝑛 e 𝑥 < 𝑛 individuano rispettivamente il semipiano i cui punti hanno l’ascissa
maggiore di n e il semipiano dei punti che hanno ascissa minore di n.
Le disequazioni con i segni ≤ 𝑒 ≥ individuano gli stessi semipiani, ma compresi i punti della retta
origine.
Le disequazioni lineari e non lineari si possono risolvere con un metodo grafico:
- si disegna la curva 𝑓
= 0 che divide il piano cartesiano in due o più regioni;
- si sceglie un punto non appartenente alla curva;
- si sostituiscono le coordinate nella disequazione: se la relazione è vera , la regione della
soluzione è quella che contiene il punto ; se la relazione è falsa , la regione della soluzione è
quella che non contiene il punto.
La soluzione di un sistema di disequazioni in due variabili è la regione di piano individuata
dall’intersezione delle soluzioni di ciascuna disequazione. Essa è quindi rappresentata dalla o dalle
zone del piano in cui tutte le soluzioni si sovrappongono.
Esempio: Risolviamo il sistema di disequazioni in due incognite: {
Data la prima disequazione, esplicitiamo rispetto a y: 2 𝑦 ≥ −𝑥 + 2 → 𝑦 ≥ −
1
2
Disegniamo la retta 𝑦 = −
1
2
Scegliamo il punto origine e sostituiamo nella disequazione:
Il semipiano delle soluzioni è dunque quello che NON CONTIENE il punto scelto.
Data la seconda disequazione, esplicitiamo rispetto a y:
Disegniamo la retta 𝑦 = 2 𝑥 + 1
Scegliamo il punto origine e sostituiamo:
Il semipiano delle soluzioni è dunque quello che NON CONTIENE il punto scelto.
5
5
5
5
Una figura piana è convessa se comunque si prendono due punti al suo interno il segmento che li
congiunge appartiene interamente alla figura. In caso contrario si dice concava.
Questa definizione vale anche per i poligoni:
- un poligono è convesso se non contiene i prolungamenti dei suoi lati;
- un poligono è concavo se contiene i prolungamenti dei suoi lati.
Per risolvere un problema di Programmazione Lineare con due sole variabili si può usare il metodo
grafico :
- Indichiamo la funzione obiettivo 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦);
- Costruiamo il sistema di vincoli di produzione , ricordando i vincoli di segno ;
- Risolviamo il sistema di vincoli determinando la regione ammissibile e determiniamo le sue
coordinate;
- Si definisce l’insieme delle soluzioni accettabili;
- Si disegnano la linea di livello corrispondente a 𝑧 = 0 e le rette parallele alla funzione
obiettivo;
- Si calcola il valore che assume la funzione obiettivo nei vertici;
- Il valore più grande o più piccolo è associato alla soluzione ottimale.
Nel caso in cui il nostro problema abbia molte variabili si utilizza l’algoritmo del simplesso,
sviluppato dal matematico americano Dantzing nel 1947.
Il metodo del simplesso è un procedimento iterativo che serve per determinare il massimo o il
minimo di una funzione lineare in n variabili, soggetta a un sistema di m vincoli tecnici e a n vincoli
di segno. Con questo metodo si cerca la soluzione ottimale spostandosi sui vertici dell’insieme delle
soluzioni accettabili.
L’applicazione di questo procedimento richiede che il sistema di vincoli sia in forma standard ,
ossia abbia tutti i vincoli tecnici sotto forma di equazioni con il termine noto non negativo.
Esempio: Un’azienda produce quotidianamente una quantità x di divani e una quantità y di poltrone.
L’azienda ricava 600 euro per ogni divano venduto e 400 euro per ogni poltrona. Ogni divano richiede
due ore di lavoro, mentre ogni poltrona richiede un’ora. Il salottificio può produrre giornalmente al
massimo 6 oggetti. Quanto vale il massimo ricavo per l’azienda?
Formuliamo il problema:
Le variabili di decisione sono x, che corrisponde al numero di divani e y, che corrisponde al numero
di poltrone.
Il ricavo assume la funzione di 𝑧 = 600 𝑥 + 400 𝑦, questa è la funzione obiettivo.
1° Vincolo: Ogni divano richiede due ore di lavoro, mentre ogni poltrona richiede un’ora. In
un’azienda le ore lavorative sono 8 al giorno:
2° Vincolo: Il salottificio può produrre giornalmente al massimo 6 oggetti:
3° Vincoli di segno : Le quantità x e y non possono essere negative:
Il problema consiste nel trovare il massimo della funzione lineare 𝑧 = 600 𝑥 + 400 𝑦
Soggetta al sistema di vincoli: {
Risolviamo graficamente il sistema di disequazioni.
IN PILLOLE
✓ Conoscere la definizione di programmazione lineare e fare esempi.
✓ Conoscere la definizione della funzione obiettivo, le variabili decisionali e i vincoli in un
problema di programmazione lineare.
✓ Saper formulare matematicamente un problema di programmazione lineare.
✓ Saper utilizzare il metodo grafico per risolvere un problema di programmazione lineare.
Il semipiano delle soluzioni è dunque quello che CONTIENE il punto scelto.
Abbiamo determinato cosi la regione ammissibile con il metodo geometrico:
Risolviamo graficamente il sistema per trovare il punto di intersezione A:
A(0;6)
Risolviamo graficamente il sistema per trovare il punto di intersezione B:
Otteniamo così il punto B ( 2 ;4)
Risolviamo graficamente il sistema per trovare il punto di intersezione C:
− 2 𝑥 + 8 = 0 → 𝑥 = 4 C(4;0)
Essendo una figura convessa possiamo applicare il teorema della programmazione lineare: il
massimo della funzione z si trova su uno dei vertici del quadrilatero: A(0,6) B(2;4) C(4;0)
O(0;0).
Imponendo il passaggio per i vertici abbiamo:
La funzione obiettivo raggiunge il massimo nel punto 𝑩, dove 𝑥 = 2 𝑒 𝑦 = 4.
