Baixe Lista de Exercícios de Álgebra Linear: Vetores, Bases e Transformações Lineares e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity!
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATA07 – ÁLGEBRA LINEAR A
PROFs.: Enaldo Vergasta,Glória Márcia
a
LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo:
a) Dois vetores são L.D. se, e somente se, um deles é múltiplo do outro.
b) Um conjunto que contém um subconjunto de vetores L.D. é L.D.
c) Um subconjunto de um conjunto L.I. pode ser L.D.
d) Se
w 1
∈[ w 2
, w 3
] então { w 1
, w 2
, w 3
} é L. D.
e) Se
[ w 1
, w 2
]=[ w 1
, w 2
, w 3
] então { w 1
, w 2
, w 3
} é L. D.
f) Se
{ w 1
, w 2
, w 3
} é L. I. então [ w 1
, w 2
]=[ w 1
, w 2
, w 3
]
2) Verifique se os conjuntos de vetores dados a seguir são L.I. ou L.D.
a) V =
R
4
, S
1
{(^ 1,-2,4,1)^ ,^ (^ 2,1,0,-3)^ ,^ (^ 0,-5,8,5)^ }
b) V =
M
2 x 3
( R )
, S 2 =
( 2 1 -1 ¿) ¿
¿
¿ ¿
( 2 -2 1 ¿ ) ¿
¿
¿ ¿
( 4 -1 0 ¿ ) ¿
¿
¿ ¿
c) V =
P
2
( R ) , S
3 = {t
-4t
+2t+3, t
+2t
+4t-1, 2t
-t
-3t+5}.
3) Considere os vetores de
M
2
( R )
dados a seguir:
1
v
=
( 1 2 ¿ ) ¿
¿
¿ ¿
2
v
=
( 2 x ¿) ¿
¿
¿ ¿
v 3 =
( -1 -2 ¿) ¿
¿
¿ ¿
v 4 =
( 2 4 ¿ ) ¿
¿
¿ ¿
Determine se possível, os valores de x, y e z para que cada item abaixo seja verdadeiro.
a)
{
v 1
,v 4 }^ é L.I. b)
{
v 1
,v 2 }^ é L.I c)
{
v 1
,v 2
,v 3 }^ é L.I.
4) Verifique se os conjuntos dados a seguir são bases para os respectivos espaços.
Caso não sejam bases, justifique o porquê.
a)
V
1
=R
2
, S
1
={(^ 1,-1)^ , (^ -2,2)^ }
b)
V
2
=R
3
, S
2
={(^ 1,1,0 )^ , (^ 0,0,1)^ }
c)
V
3
=P
2
( R ) , S
3
={^ t
2
-1,t+2,5}^
d)
V
4
=M
2 x 3
( R ) , S
4 = {
( 1 0 1 ¿ ) ¿
¿
¿ ¿
( 0 1 1 ¿ ) ¿
¿
¿ ¿
( 0 0 0 ¿) ¿
¿
¿
5) Determine uma base e a dimensão dos seguintes espaços vetoriais:
a)
W
1
=[ ( 1,0,0) , ( 0,5,-2) , ( 7,0,2) , ( 3, Π ,2) (^) ]
b)
W
2
=[ ( 1,0,3) , ( 0,-1,2) , ( 1,-1,5 ) (^) ]
c)
W
( x y ¿) ¿
¿
¿ ¿
¿
M
2
( R )
; x + z – y = 0
d)
W
4
={ t
3
+t
2
,t
2
-2t,1}
e)
W 5
={(^ x,y,z,w)^ ∈ R
4
;z=w e y = 2 x }
6) Determine uma base para os espaços a seguir, contendo os respectivos conjuntos
de vetores.
a ) V
1
=R
3
,S
1
={( 1,2,0) , ( 0,1,-1 ) } b ) V 2
=P
2
( R ) ,S
2
={ t+1,2t-1 }
Em cada item, encontre as coordenadas do vetor
v i em relação à base
α i do
subespaço gerado pelos vetores das bases dadas.
a)
α 1
= { ( 1,1,1) , ( 0,1,0) } , v 1
b)
α 2
= {^ t
2
,t+1 }^ , v 2
=-2t
2
c)
α 3 =
Sejam
W
1
e W (^2) subespaços de R
5
. Determine, justificando, a dimensão de
W
2
, sabendo que
W 1
∩ W 2
=[ ( 1,-1,-2,0,0) , ( 2,1,-1,0,0 ) , ( 1,2,1,0,0) ]
, dim( W 1
+W
) = 4 e
{ (^ 1,2,1,0,0)^ ,^ (^ 0,1,1,0,0)^ } é uma base de
W
9) Sabendo que
R
4
=V ⊕W e
V= [ (1,2,3,4 ) , (3,6,9,12) ]
, determine a dimensão de W^.
10) Sejam U e V subespaços do espaço vetorial V, de dimensão igual a 6.
I. Se dim (U) = 4 e dim (W) = 5, mostre que U ¿^ W
¿ {0}.
II. Se dim (U) = dim (W) = 4, encontre as dimensões possíveis para U ¿^ W.
11) Dê, se possível (se for impossível, explique porque), exemplos de:
a) Um conjunto L.I. de três vetores do
R
3
que não geram o
R
3
b) Um conjunto L.D. de três vetores de
M
2
( R )
c) Um subespaço U^ de
R
4
tal que,
U ≠ R
4
e dim (U) = 4.
d) Dois subespaços
U e W de R
5
, tais que dim (U) = dim (W) = 3 e U
W.
12) Verifique se as transformações dadas a seguir são lineares:
a ) T 1
:R
3
→ R
2
, T 1
( x,y,z )=( x
2
,y )^.
b ) T
2
:R
2
→ R
3
, T
2
( x,y )=( x+y,x,0).
c ) T 3
:R
3
→R , T 3
( x,y,z) =2x-3y+4z.
d ) T 4
:V →V , T
4
( v ) =- v.
e ) T 5
:R
→ M 2
( R ) , T 5
( (^) x,y ) (^) =¿
( x+2y 0 ¿) ¿
¿
¿ ¿
g ) T 7
:P 3
( R )→ M 2
( R ) , T 7
(xt
+yt
+zt+w )=¿
( x+y y ¿) ¿
¿
¿ ¿
h ) T
8
:M
2x
( R )→ R
2
, T
8
( a b ¿) ( c d ¿) ¿
17) Verifique, em cada item a seguir, se a transformação linear
T
i (^) é um
isomorfismo. Em caso afirmativo, determine a transformação inversa de
T
i (^).
a ) T
1
:R
3
→ R
3
,tal que T
1
( 1,2,1)=( 1,2,3) , T
1
( 0,1,0)=( 2,1,5) e T
1
b)
T
2
:P
2
( R )→ R
3
,tal que T 2
( xt
2
+yt+z )=(^ x,y,z )
c ) T
3
:R
3
→ P
2
( R ) ,tal que T
3
( x,y,z )=2xt
2
+(4x-y ) t+(2x+3y-z ) 1.
d ) T
4
:R
4
→ M
2
( R ) ,tal que T
4
( 1,0,0,0 )=¿
( 1 1 ¿) ¿
¿
¿ ¿
¿
¿
e)
T
5
:R
2
→ R
2
, definida por
T
(^5) (x,y)= (x-y, x-y).
18) Determine a matriz associada à transformação
T
i com relação às bases
α i
e β i
a)
T
1
: R
2
→ R
3
T
1
( x , y )=( x + 3 y , x , x − y ) ,
1 é a base canônica de
R
2
e
β 1
b)
T
2
: M
2
( R )→ R
3
T 2
¿
( x y ¿ ) ¿
¿
¿
2
={ (1,1,0 ) , (0,1,0 ) , (0,0,− 2 )}
e
α
2
=¿ ¿
c)
T
3
: P
2
( R )→ M
2
( R )
T 3
( xt
2
( x y ¿ ) ¿
¿
¿ ¿
3
={^ t + 1 , t + 2 , t
2 }
e
β 3 é a base
canônica de M 2 (R).
d)
T
4
: V → V
α 4
= β 4
= {
v 1
, v 2
, v 3 }^ , onde
T
4
( v 1
)= 2 v 1 ,
T
4
( v 2
)=− 3 v 2 e
T
4
( v 3
)= v 3 .
e)
T
5
: R
3
→ R
3
T
5
( v )= v ,
α 5
e
β
5 é a base canônica de R
3
19) Determine a transformação linear
T
i nos seguintes casos:
a ) T
1
:R
3
→ R
2
,
[
T
1
] β
1
α
1
=¿
( 1 0 0 ¿) ¿
¿
¿ ¿ ¿
¿
¿
c ) T
3
: P
2
( R )→ P
2
( R ) , [
T
3
] α
α
=¿
( 1 0 0 ¿) ( 0 1 0 ¿) ¿
¿
¿ ¿ ¿
d ) T
4
: R
3
→ R
3
,
[
T
4
] β
a
=¿
( 1 0 0 ¿) ( 0 1 0 ¿ ) ¿
¿
¿ ¿ ¿
20) Considere
T : R
3
→ R
3
,tal que
[ T ]
β
α
=¿
( 1 0 0 ¿) ( 21 − 1 ¿ ) ¿
¿
¿ ¿
, onde
α ={(1,0,1 ) , ( 0,1,1) , (0,0,2)} e
β ={ (1,0,0) , (0,−1,1) , (1,0,2 ) }
. Determine as coordenadas dos seguintes vetores em
relação à base
a)
v 1
b)
v 2
c)
u =( x , y , z )
21) Seja T o operador linear em R
2
,definido por T(v)=A.v, onde
A =¿
( 1 2 ¿) ¿
¿
¿ ¿
. Encontre as matrizes de T
[ T ]
α i
α i
, em relação às bases dadas a seguir.
a)
1 é a base canônica de R
2
. b)
2
={ (1,3 ) , ( 2,5) } .
22) Considere as bases de
P
2
( R ) , R
2
e M
2
( R )
, respectivamente,
α ={ t
2
, t +1,3 }^ ,
β ={( 1,0) , (−1,− 1 ) }
e
é a base canônica. Sejam f e g as transformações lineares definidas por
f :
M
2
( R )→ P
2
( R )
, tal que
[ f ]
α
δ
=¿
( 1 1 0 0 ¿) ( 0 0 1 0 ¿) ¿
¿
¿ ¿
g :
P
2
( R )→ R
2
, tal que
[ g ] β
α
=¿
( 1 -2 -3 ¿ ) ¿
¿
¿ ¿
Determine: a)
[ g ∘ f ] β
δ
b)
( g ∘ f )¿
( 1 0 ¿) ¿
¿
¿
c)g
( xt
2
falignl
( x y ¿) ¿
¿
¿ ¿
e)
( g ∘ f ) ¿
( x y ¿) ¿
¿
¿
23) Considere a transformação linear T: V
→ W dada por
[ T ]
β
α
=¿
( 1 0 1 -1 ¿) ( 0 1 2 -2 ¿) ( 0 2 4 -4 ¿) ¿
¿
¿ ¿
, onde
α
e
β são bases de V e W, respectivamente.
I. Determine: a) dim (V) b) dim (W) c) dim [Im(T)] d) dim [N(T)]
II. Classifique em verdadeiro ou falso:
a) T é uma transformação linear invertível.
01) a) V b) V c) F d) V e) V f) V g) F.
02) a) L.D. b) L.D. c) L.I.
03) a) y
¿ 0 ou z
¿
- b) x
¿ R. c) x, y
¿ R
04) a)
S
1 não é base de R
2
porque os vetores são L.D.
b)
S
2 não é base de R
3
porque não geram o R
3
.
c)
S
(^3) é base de
P
2
( R )
d)
S
4 não é base de
M
2 x 3
( R )
porque não geram o
M
2 x 3
( R )
e)
S
(^5) não é base de
M
2
( R )
porque os vetores são L.D.
a ) α
1
={( 1,0,0) , ( 0,5,-2) , (7,0,2) (^) } , dim ( W
1
)= 3
b ) α
2
={( 1,0,3) , ( 0,-1,2) (^) } , dim ( W
2
). =
c ) α
3
=¿
¿
¿
06 ) a ) α
1
={ ( 1,2,0) , ( 0,1,-1) , ( x,y,z ) (^) } , o n d e z + y − 2 x = 0.
b ) α
2
={^ t+1 , 2t-1 , xt
2
- yt + z }^ , o n d e x ≠ 0.
07 ) a )
[
v
1
]
α
=¿
[ 3 ¿] ¿
¿
¿ ¿
08) Observe que:
dim
W 1
2 )^
=dim ( W 1
)+ dim ( W 2
)−dim ( W 1
∩ W 2
)
.
Como
dim ( W 1
)= 2 , d i m ( W 1
∩ W
2
)= 2 e dim ( W 1
+ W
2
)=4, daí dim ( W 2
09) dim ( W^ ) = 3.
10) I. Observe inicialmente que dim(U+W)
dim (V) = 6.
Então: dim (U
¿ W) = dim (U) + dim (W) – dim(U+W)
Daí, dim (U
¿ W)
3, logo U
¿ W
¿ {0}.
II. É verdade que: U
U+W
V. Assim, 4
dim (U+W)
Então pelo fato que dim (U
¿ W) = dim (U) + dim (W) – dim (U+W), temos que
dim(U
¿ W) pode ser 4, 3 ou 2.
11) a) Impossível, pois...
b) S^ =
¿ ¿ ;
c) Impossível, pois...
d) Impossível, pois se
U ⊕ W=R
5
, temos que
U ∩W= {^0 }^ e U + W =R
5
então, dim
( U+W )
= dim (
U
) + dim (
W
)– dim (
U ∩ W
); 5 = 3 + 3 – 0 (absurdo).
12) As transformações dos itens b, c, d, f, g, h e i são lineares e as transformações dos itens
a e e não são lineares.
a ) T 1
( x,y )=( 2y-x, y-3x, 13x-4y ) , N( T 1
)={ 0 } e α 1
b) T 2
( x,y,z )=( 2x+y, y-z ) , N( T 2
)=[ ( -1/2, 1, 1) ] e α
2
c) T 3
( xt
2
+yt+z)=(^ 5x, 7x+5y+z)^ , N( T 3
)=[ t-5] e α
3
={(5,7 )^ , (^ 0,5 )^ }.
d ) T
4
( x,y,z
) =¿
( x+2y 0 3z-9x-6y ¿) ¿
¿
¿ ¿
¿
¿
14) a)
T
1 (1,0,0)= (1,2,3),
T
1 (0,1,0)= (4,5,6) e
T
1 (0,0,1)= (5,7,9).
b) Impossível, pois dim [N(
T
(^2) )] = 1, dim [Im(
T
(^2) )] = 2 e 1+2 ¿^ dim[
M
2
(R)].
c ) T 3
¿
( 1 0 ¿) ¿
¿
¿
¿
¿
e) Impossível, pois, dim [Im(
T
5 )] = 2, assim dim [N(
T
5 )]=dim (
R
3
) – dim Im[(
T
5 )] = 1.
Daí,
T
(^5) não seria injetora.
f) Impossível, pois dim [Im(
T
6 )] = dim (
R
2
) – dim [N(
T
6 )], que é no máximo
igual a dois, se dim [N(
T
(^6) )] = 0. E como Im(
T 6
)⊆ R
3
, temos que
T
6
não pode ser sobrejetora nessas condições.
g)
T
(^7) é a função identicamente nula, isto é,
T
(^7) (v) = 0,
v
¿ V. Para
qualquer espaço vetorial V, ela é uma transformação linear.
h)
T
T
(^8) (0,1,-1) = (0,0,0) e
T
i) O subespaço U de
M
(^2) (R) deve ter dimensão três, por exemplo
U=¿ ¿
22) a)
[ g ∘ f ] β
δ
=¿
( 1 1 − 1 − 1 ¿) ¿
¿
¿ ¿
; b)
( g ∘ f )¿
( 1 0 ¿) ¿
¿
¿
; c)
g ( xt
2
d)
falignl
( x y ¿ ) ¿
¿
¿ ¿
23) I. a) dim (V)= 4 b) dim (W) = 4 c) dim [Im(T)] = 2 d) dim [N(T)] = 2
II. a) F b) F c) V d) F e) V f) F g) V
24) a) Impossível, pois, dim [N(T)]
b
¿ R; b) b
¿ 1; c) b = 1.
25) I.
[ T ]
β
α
=¿
( 1 0 0 ¿ ) ( 0 1 0 ¿ ) ¿
¿
¿ ¿
; II. a)
T
− 1
( xt
2
- yt + z )=( x , y , ( z + x )/ 2 )
b)
[ (^) T
− 1
]
α
β
=¿
( 1 0 0 ¿) ( 0 1 0 ¿) ¿
¿
¿ ¿
[ (^) T
− 1
] α
β
[ T ] β
α
= Id
As matrizes
[ T ] β
α
e
[ T
− 1
] α
β
são invertíveis.
26) a)
[
T 1 ]
=¿
( 1 0 0 ¿ ) ¿
¿
¿ ¿
b)
[
T
2
]
=¿
( 1 0 0 0 ¿) ( 0 10 0 ¿) ( 0 0 1 0 ¿ ) ¿
¿
¿ ¿
c)
[
T
3
]
=¿
( 1 0 2 1 ¿ ) ( 0 1 0 3 ¿ ) ( 0 0 0 0 ¿) ¿
¿
¿ ¿
d)
[
T
3
]
α
=¿
( 0 0 0 ¿) ( 0 10 ¿ ) ( 0 0 1 ¿) ¿
¿
¿ ¿
onde
α ={ ( 1,1,1) , ( 0,1,0) , ( 0,0,1) (^) } e) Impossível f) Impossível
