Universidade do Estado do Rio de Janeiro - IME - DEP II
Prof. Jessica
28 de novembro de 2019
SEGUNDA PROVA DE ´
ALGEBRA LINEAR III
QUEST˜
AO 1. Considere a transforma¸c˜ao linear T:R5→R5, tal que T(
x1
.
.
.
x5
) =
x2
x2
x5
x1
x1
. Determine
bases e as dimens˜oes do n´ucleo e da imagem de T.
QUEST˜
AO 2. Considere os operadores lineares Rx, Rzsobre R3, onde Rx´e o operador que rota
vetores em torno do eixo xcom ˆangulo θ(medido no sentido anti-hor´ario do plano yz) e Rz´e o
operador que rota vetores em torno do eixo zcom ˆangulo γ(medido no sentido anti-hor´ario do plano
xy), as matrizes associadas na base canˆonica de R3destes operadores s˜ao:
[Rx] =
1 0 0
0cosθ −senθ
0senθ cosθ
,[Rz] =
cosγ −senγ 0
senγ cosγ 0
0 0 1
.
Considere θ=π
4eγ=π
3e determine a matriz do operador R=Rz◦Rxna base canˆonica de R3.R
´e um isomorfismo? Justifique.
QUEST˜
AO 3. Considere o espa¸co euclideano R3e o sub-espa¸co Wgerado por {
1
−1
1
,
1
−2
1
}
encontre a matriz Pde proje¸c˜ao ortogonal sobre W. Dado u=
1
3
3
determine a proje¸c˜ao ortogonal
de usobre W,pW(u), e verifique que pW(u)⊥u−pW(u).
QUEST˜
AO 4. Considere o espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas V=C0[−1,1] munido com o produto
interno: hf, gi=R1
−1f(x)g(x)dx,∀f, g ∈V. Determine uma base ortonormal para o espa¸co W
gerado pelas fun¸c˜oes f(x) = 3x−1 e g(x) = x+ 1.
QUEST˜
AO 5. Suponha que r(t) e w(t) representam as popula¸c˜oes, no tempo t, de duas especies
relacionadas pelas equa¸c˜oes: r0= 4r−2w
w0=r+w
Se inicialmente r= 300 e w= 200, qual ser´a a distribui¸c˜ao dessas popula¸c˜oes no tempo t?
QUEST˜
AO 6. Considere a matriz A=
4 0 0
0 1 3
0 3 1
.
A´e ortogonalmente diagonaliz´avel? Justifique sua resposta e caso afirmativo, determine matrizes
diagonal De ortogonal P(com rela¸c˜ao ao produto escalar de R3), de forma que D=PtAP .
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