Baixe Logaritmos: Definição, Propriedades e Resolução de Equações e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
3. Logaritmos
Inicialmente vamos tratar dos logaritmos , uma ferramenta criada para auxiliar no
desenvolvimento de cálculos e que ao longo do tempo mostrou-se um modelo adequado
para vários fenômenos nas ciências em geral. Os logaritmos aparecem na resolução de
equações exponenciais com potências de bases diferentes, como a equação (^3 )
x
=. Para
resolver equações deste tipo os métodos já estudados não são adequados: precisamos do
auxílio dos logaritmos.
Definição Sejam a e b números reais positivos, com a ≠ 1. Chama-se logaritmo de b na
base a o expoente que se deve dar à base a para que o resultado obtido seja igual a b.
Simbolicamente, para
a b ,
∈ ¡ e a ≠ 1 tem-se
log
x
a
b = x ⇔ a = b
Observação 7. Lemos “logaritmo de b na base a é igual a x se e somente se a elevado a x é
igual a b ”. A base é a , o logaritmando é b e o logaritmo é x.
Observação 8. Decorre diretamente da definição que
log a
b
a = b.
Exemplos
2
log 8 = (^3) pois
3
2 = 8
3
log 2
= − (^) pois
2
2
−
7
log 1 = (^0) pois
0
7 = 1
Note que quando o logaritmando for 1, o logaritmo será zero (veja a definição de potência
com expoente zero).
Exercícios resolvidos
- Encontre 0,
log 32
Resolução
Chamamos (^) 0,
log 32 = x
. Então, por definição, ( 0, 25 ) 32
x
=. Como
2
−
= = (^) , temos
( )
2 5
2 2
x −
= (^). Resolvendo a equação exponencial obtemos
− x = ⇒ x = − (^). Assim,
0,
log 32
- Calcule (^) 0,
log 125
Resolução
Para calcular (^) 0,
log 125 fazemos
3
125 = 5 e utilizamos a definição de logaritmo:
( ) ( )
3 3 2 3 2 3
0,
log 125 0, 04 5 5 5 5 5 5 2 3
x
x x x
x x x
Assim, 0,
log 125
- Se (^2)
log m = k , determine o valor de (^8)
log m .
Resolução
Seja
x o valor de 8
log m (^) , isto é, 8
log m = x.
Pela definição de logaritmo temos 2
log 2
k
m = k ⇔ = m e 8
log 8
x
m = x ⇔ = m.
Logo, (^) ( )
3 3
2 8 2 2 2 2 3
x k x k k x
k
= ⇔ = ⇔ = ⇔ x = k ⇔ x =.
Propriedades dos logaritmos
Para
a b c , ,
∈ ¡ (^) e a ≠ (^1) valem as seguintes propriedades:
L1) O logaritmo da unidade em qualquer base é igual a zero.
Simbolicamente,
log 1 0 a
Demonstração. Decorre diretamente da definição de logaritmo e de potência com expoente
zero:
log 1 0 a
pois
0 *
a 1, a , a 1
L2) log^1 a
a =
Demonstração. log^1 a
a = (^) pois
1 *
a a , a , a 1
L3)
log log a a
b = c ⇔ b = c
L9) Para
a e b números reais positivos com a ≠ 1 e para^ β^ um número real não nulo,
tem-se
log log a a
b b β
β
Demonstração Também é conseqüência de L7; deixamos como exercício.
Observação 10 : Denotamos por ln a o logaritmo de
a na base “e”, isto é, log^ ln e
a = a.
Observação 11 : Quando a base do logaritmo é 10, o logaritmo é chamado decimal e muitos
autores denotam simplesmente “log”, sem escrever a base: (^10)
log a = log a .
Exercício resolvido
- Calcule 3 4 25
A =log 5.log 27.log 2
Resolução
Inicialmente observe que
3
4 4 4
log 27 = log 3 = 3log 3; também
1
2
25 25 25
log 2 log 2 log 2
= = (propriedade L7). Então
3 4 25 3 4 25 3 4 25
log 5.log 27.log 2 log 5 .3. log 3. log 2 log 5. log 3. log 2
A = = =
Vamos fazer uma mudança de base, colocando todos os logaritmos em base 3 (L8):
3
(^4 )
3 3 3 3
log 3 (^1 1 )
log 3
log 4 log 4 log 2 2 log 2
e
3 3 3
(^25 )
3 3 3
log 2 log 2 log 2
log 2
log 25 log 5 2 log 5
Assim,
3 3
3
3 3 3
3 1 log 2 3 log 5 3
log 5...
2 2 log 2 2 log 5 8 log 5 8
A = = =
4. A função logarítmica
Vimos na Observação 6 que a função :^ ] 0,^ [,^ ( )^
x
f ¡ → + ∞ f x = a é inversível para todo
número real positivo a ≠ 1 , isto é, existe uma função g^ : 0,] + ∞^ [→^ ¡^ tal que
f o g = g o f = Id. Esta função
g é a função logarítmica de base
a , que a cada número
real positivo
x associa o número real log a
x (^).
Definição Seja
a um número real positivo, a ≠ 1. A função logarítmica de base
a é a
inversa da função exponencial de base
a
, g^ : 0,] + ∞^ [→^ ¡^ , ( )^ log
a
g x = x.
Considerações sobre a definição
- A função exponencial e a função logarítmica são a inversa uma da outra, desde que
tomemos o conjunto ] 0,^ + ∞^ [ como contradomínio da função exponencial e como domínio
da função logarítmica. Também deve estar estabelecido um número real positivo a ≠ 1
como base. Assim, chamando f^ a função exponencial (de base
a ) ( )
x
f x = a e
g a função
logarítmica (também de base
a ) ( )^ log a
g x = x , temos:
] 0, [
f g
g o f :¡ → ¡ (^) , ( )( ) ( ( )) log ( ) log .log.
x
a a a
g o f x = g f x = f x = a = x a = x = x.
g o f é a função identidade no conjunto ¡.
Por outro lado, também temos:
] 0,^ [ ] 0, [
g f
f o g : 0, ] + ∞ [→ ¡ ,
( ) log
( )( ) ( ( ))
a
g x x
f o g x = f g x = a = a = x.
f o g é a função identidade no conjunto ] 0, + ∞ [.
- A função logarítmica é bijetora, uma vez que admite inversa.
De fato, g^ : 0,] + ∞^ [→^ ¡^ , ( )^ log
a
g x = x
(i) é injetora pois: se ] [
1 2
x , x ∈ 0,+ ∞ (^) e 1 2
g x ( ) = g x ( ), temos
2
log
1 2 1 1 2
log log
a
x
a a
x = x ⇔ x = a ⇔ x = x (lembre-se da Observação 8 ).
(ii) é sobrejetora pois: se y^ ∈^ ¡^ , existe x ∈ ¡ ,
y
x = a , tal que
( ) ( ) log .log
y y
a a
g x = g a = a = y a = y.
FL2) Se ,^ g x (^^ )^. ( ) , g x^^ x y ,^ ] 0, [
α
α ∈ ¡ = α ∀ ∈ + ∞
FL3) ( )^ ( ) ,^ ,^ ] 0, [
x
g g x g y x y
y
FL4)
g é crescente se a > 1 e é decrescente para 0 < a < 1
Demonstração
Suponhamos a > 1 ; sejam ] [
1 2
x , x ∈ 0,+ ∞ (^) tais que 1 2
x < x. Como 1
x (^) e 2
x (^) estão na imagem
da função exponencial f^ de base a^ , existem 1 2
y , y ∈ ¡ (^) tais que 1 1
f ( y )= x e 2 2
f ( y )= x.
Conseqüentemente,
1
1
y
a = x ,
2
2
y
a = x e
y 1 (^) y 2
a < a. Como a função^
f (^) é crescente para
a > 1 , devemos ter 1 2
y < y (pois se 2 1
y < y teríamos 2 1
x < x , o que não acontece). Assim,
uma vez que 1 1
g x ( )= y e 2 2
g x ( )= y (a função logarítmica é a inversa da função
exponencial), temos 1 2
g x ( ) < g x ( )e
g é crescente.
Faça uma demonstração análoga para o caso 0 <^ a <^1.
FL5) Se a^ >^1 , então
log 0 0 1
log 0 1
a
a
x se x
x se x
^ <^ <^ <
Se 0 <^ a <^1 então
log 0 0 1
log 0 1
a
a
x se x
x se x
^ >^ <^ <
Demonstração
É uma conseqüência direta da FL5. Faça como exercício.
Exercícios resolvidos
- Determine o domínio da função 2
g x ( ) = log (1 −2 ) x
Resolução
Lembrando a consideração 4, devemos ter
− x > ⇔ x < ⇔ x <
Então o domínio da função é o conjunto
Observação 12. Note que a função
g é a composta das funções (^2)
h x ( ) = log x e
t x ( ) = 1 − 2 x
. De fato, (^2 )
g x ( ) = ( h o t )( ) x = h t x ( ( )) = log t x ( ) = log (1 −2 ) x
. A determinação
do domínio é conseqüência das considerações que fizemos no Capítulo 4 sobre a existência
da função composta. Funções compostas do tipo ( )^ log^ ( ) a
g x = s x com s x ( ) (^) uma função
real de variável real serão muito utilizadas na disciplina de Cálculo.
- Se
g x ( ) ln
x
= (^) , calcule o valor de
3
g (e ).
Resolução
A função logarítmica está na base e; temos
3 1
(e ) 3. (e) 3.ln 3.ln e ( 1).3.ln e 3
e
g g
−
= = = = − = −
Gráfico da função logarítmica
Para fazer o gráfico de
( ) log a
g x = x podemos usar o conhecido gráfico de sua inversa
x
f x = a : eles serão simétricos em relação à bissetriz do primeiro quadrante.
Eventualmente, você pode marcar alguns pontos usando calculadora. Faremos como
primeiro exemplo (^3)
g x ( ) = log x , usando sua inversa ( )^3
x
f x = (^).
Equações logarítmicas
Da mesma forma que utilizamos as propriedades da função exponencial para resolver as
equações exponenciais, podemos utilizar a função logarítmica para resolver as equações
logarítmicas. Faremos exemplos dos três tipos clássicos destas equações.
o
) Equação do tipo
log ( ) log ( ) a a
h x = k x , com
h x ( ) e
k x ( ) funções reais de variável
real.
É a equação que apresenta uma igualdade entre dois logaritmos de mesma base. Sua
resolução está baseada no fato da função logarítmica ser injetora.
log (3 x + 2) = log (2 x +5)
Como a função logarítmica é injetora, concluímos que 3 x + 2 = 2 x + 5 (1). Resolvendo esta
equação obtemos x = 3. Mas não podemos esquecer que o domínio da função logarítmica é
o intervalo ] 0,^ + ∞^ [, isto é, devemos ter 3 x + 2 > 0 e 2 x + 5 > 0. Isto significa que a solução
da equação deve pertencer à intersecção dos conjuntos soluções destas duas inequações.
Resolvendo as inequações, obtemos
(i)
x + > ⇔ x > − (^) , 1
A
(ii)
x + > ⇔ x > − (^) , 2
A
1 2
A A A
Como o valor encontrado x = 3 pertence ao intervalo
, o conjunto solução da
equação é S^ =^ { 3 }.
Observação 14. Os livros didáticos ensinam a substituir a solução da equação
3 x + 2 = 2 x + 5 nas expressões 3 x + 2 e 2 x + 5. Se resultar um número positivo em ambos
os casos, a solução da equação 3 x + 2 = 2 x + 5 é a solução da equação logarítmica. Este
procedimento está correto e torna mais eficiente a resolução. No entanto, não podemos
esquecer o motivo que leva a este procedimento, isto é, o fato do domínio da função
logarítmica ser o intervalo ] 0,^ + ∞^ [; este procedimento verifica o sinal das funções
h x ( ) = 3 x + (^2) e k x ( ) = 2 x + (^5) em x = 3. Veja outra resolução usando este procedimento:
2 2
2 2
log (5 x − 14 x + 1) = log (4 x − 4 x −20)
2 2 2
5 x − 14 x + 1 = 4 x − 4 x − 20 ⇔ x − 10 x + 21 = 0
Raízes: 1
x = 7 e 2
x = 3
. Substituindo estes valores em
2
h x ( ) = 5 x − 14 x + (^1) e
2
k x ( ) = 4 x − 4 x − (^20) , obtemos (note que h (7)^^ =^ k (7)e h (3)^^ =^ k (3)):
2
h (7) = k (7) = 5.7 − 14.7 + 1 = 148 > (^0) (7 serve!)
2
h (3) = k (3) = 5.3 − 14.3 + 1 = 4 > (^0) (3 também serve!)
Assim, as duas raízes encontradas são soluções da equação logarítmica:
S = {3, 7}
Exercícios propostos
Resolva as equações do primeiro tipo:
2 2
1 1
2 2
log (5 x − 3 x − 11) = log (3 x − 2 x − 8)
Resposta: S^ =^ ∅
2
5 5
log ( x − 3 x − 10) = log (2 − 2 ) x Resposta: S = { 3}−
o
) Equação do tipo log^ ( ) a
h x = α
É a equação que resulta da igualdade entre um logaritmo e um número real. Sua resolução é
baseada na definição de logaritmo.
5
log (4 x − 3) = 2
Pela definição de logaritmo temos que
2
4 x − 3 = 5 ⇔ 4 x − 3 = 25 ⇔ 4 x = 28 ⇔ x = 7
Como devemos ter 4 x − 3 > 0 (pelas mesmas considerações feitas no exemplo 22), e
4.7 − 3 = 25 > 0 , x = 7 é solução da equação: S^ =^ {7}.
Exercícios propostos
Resolva as equações do segundo tipo:
2
3
log ( x − 1) = (^2) Resposta: S^ =^ {4,^ −2}
2
1
3
log (2 x − 9 x + 4) = − 2
Resposta:
S
- Resolver a equação
log (2 3) 2 x
x + =
Resolução
Note que a incógnita aparece na base, que deve ser um número positivo e diferente de 1,
isto é, x^ >^ 0 e^ x ≠^1. Usando a definição de logaritmo temos:
2 2
2 x + 3 = x ⇔ x − 2 x − 3 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau obtemos as raízes 1
x = (^3) e 2
x = − (^1). Como x^ deve
ser positivo (e diferente de 1), descartamos a raiz 2
x = − (^1). Assim, 1
x = (^3) é a solução:
S = {3}.
- Resolver a equação (^2)
log 2 log 2 x
Resolução
Note aqui que a incógnita aparece tanto na base como no logaritmando; devemos ter x > 0
e x ≠ 1. Como são logaritmos de bases diferentes, não podemos usar a propriedade do
produto (L4). Vamos então fazer uma mudança de base (L7):
2
2 2
log 2 1
log 2
log log
x
x x
(note que (^2)
log x ≠ 0 pois x^ ≠^1 )
Substituindo na equação temos 2
2
log 2
log
x
x
, que é uma equação do terceiro tipo.
Fazendo (^2)
log x = y ,
y ≠ 0 , ficamos com a equação
2
2
y y
y y y
y y y
- = ⇔ = ⇔ − + = (^) , cujas raízes são 1 2
y = y = 1
. Substituindo
y = (^1) em 2
log x = y , obtemos a equação
1
2
log x = 1 ⇔ x = 2 = (^2). Logo, S = {2}.
- Resolver a equação
2
log log 1
x x
Resolução
Note que neste caso todos os logaritmos estão na mesma base 10. Fazendo
1 =log
ficamos com a equação
2
log log log
x x
Usando a propriedade do produto (L5), obtemos
2
log log10.
x x
e esta é uma equação do primeiro tipo. Assim,
2 2 2
x x x x x x
Resolvendo a equação do segundo grau encontramos as raízes 1 2
x = 11 e x = − (^1).
Verificamos que ambas raízes são solução da equação logarítmica (por que?). Logo,
S = {11, − 1}.
- Resolver a equação
1 1
2 2
log (3 x + 2) − log (2 x − 3) = − 4
Resolução
Inicialmente note que
x + > ⇔ x > − (^) e
x − > ⇔ x > (^). Fazendo a intersecção
das duas condições obtemos
x > (^). A solução que estamos procurando deverá pertencer ao
conjunto
Usando a propriedade do quociente (L5), podemos escrever (^1)
2
log 4
x
x
, que é
uma equação do segundo tipo. Então
4
4
x x
x x x x
x x
−
+^ +
Como
= < = (^) , o valor
não pertence ao intervalo
e
conseqüentemente não é solução da equação logarítmica. Logo, S = ∅.
Exercícios propostos
