Baixe Exercícios de Cálculo: Limites, Exponenciais e Logaritmos e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia de Alimentos, somente na Docsity!
Quarta Lista de Exerc´ıcios
Professor Jos´e de Anchieta Delgado
1 Limites de sequˆencias, exponencial e logar-
itmo
- Defini¸c ao de exponencial e logarimto
(a) Mostre que se duas fun¸c˜oes cont´ınuas f e g satisfazem,
f (r) = g(r), r ∈ Q
f (x) = g(x) para todo x ∈ ℜ. Em particular, existe uma ´unica fun¸c˜ao cont´ınua do tipo f (x) = ax, onde a > 0 e a 6 = 1. (b) Mostre que
ax^ ay^ = ax+y^ ; (ax)y^ = axy^ ; (ab)x^ = ax^ bx; Se, a > 1 , x < y entao ax^ < ay^. se, 0 < a < 1 , e x < y entao ax^ > ay.
(c) Calcule
Lim x→∞ ax. Lim x→ 0 +
ax.
(d) Calcule os limites: Lim x→∞ 3 x. Lim x→∞ 2 x^ − 3 x. Lim x→∞
1 − 2 x 1 − 3 x^. Lim x→∞ 2 x^ − 2 −x. Lim x→∞ 2 x^ + 2−x. Lim x→−∞ ex.
xLim→−∞ 5 x. (e) Esboce o gr´afico de:
y = 3x; y = ex^ + e−x; y = 1 + e−x; y = e−xsen x. (f) Mostre que para a > 0 , a 6 = 1, e b > 0 , existem um ´unico c tal que ac^ = b. ent˜ao loga b = c.
(g) mostre que
loga (bxd) = loga b + loga d; loga bx^ = x loga b; loga b c = loga b − loga c; loga b = log logcc^ bd ; Se , a > 1 e b < c, entao loga b < loga c; Se, a < 1 e b < c, entao loga b > loga c;
(h) Calcule
log (^12)
log 9
log 5 (−5); log 3 243.
(i) Determine o dom´ınio: f (x) = log 2 (x + 1); f (x) = ln (x^2 − 1); f (x) = ln x x−+1 1 ; f (x) = ln x
(^2) − 1 x^2 − 4 ; (j) Calcule
Lim x→∞ ln (^) x+1x.
Lim x→ 1
ln x (^2) − 1 x− 1.
Lim x→∞ (ln(2x + 1) − ln(x + 3)).
Lim x→∞ (x ln 2 − ln(3x^ + 1)).
(k) mostre que (i) a sequˆencia xn = (1 + (^) n^1 )n^ ´e crescente.
(i) f (x) = xn.
(ii) f (x) = n
x.
(iii) f (x) = (^) x^1 n.
(iv) f (x) = ex.
(v) f (x) = x^2 sen (^1) x em x = 0.
- Dˆe exemplo de um fun¸c˜ao que:
(i) tem derivada positiva;
(ii) a derivada em x = 1 n˜ao exista.
(iii) cont´ınua e que n˜ao seja deriv´avel em − 1 , 0 , 1.
(iv) tem derivada negativa.
- Calcule as derivadas
(i) f (x) = x^5 + 3x^2 − x.
(ii) f (x) = sen^2 x + cos^3 x.
(iii) f (x) = 2x.
(iv) f (x) = Log 3 x.
(v) f (x) = tg x.
(vi) f (x) = cot x.
(vii) f (x) = x^2 + (^) x^12
(viii) f (x) = x
(^2) − 1 x^2 +.
(ix) f (x) = cosec x.
(x) f (x) = e
x x^2 +.
(xi) f (x) = x x+−sen xcos x.
(xii) f (x) = cos x + (x^2 + 1) sen x.
- Calcule as derivadas indicadas:
(i) f ′′(x), onde f (x) = 5x^2 − (^) x^13.
(ii) f ′′′(x), onde f (x) = ex.
(iii) f iv, onde f (x) = sen x.
(iv) f ′′(x), onde f (x) = lnx.
- Moste que f (x) = sen x e g(x) = cos x satisfaz d
(^2) y dx +^ y^ = 0.
