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Física III para Engenharia Elétrica
IFUSP - 4320292
P3 – 25/06/
A prova tem duração de 120 minutos. Resolva cada
questão na folha correspondente. Use o verso se
necessário. Escreva de forma legível, à lápis ou tinta.
Justifique suas respostas. Não basta copiar a fórmula
do formulário. A prova é individual e sem consulta a
anotações ou qualquer outro material.
Nome Assinatura No. USP Turma
Q1. Considere o campo magnético no vácuo, escrito em coordenadas cilíndricas:
B zt Be z
kt ( ρ, ϕ, ,)= 0 ˆ
r , com B 0 e k constantes.
a) (0,5) Verifique que este campo satisfaz as equações de Maxwell;
b) (1,0) Determine o campo elétrico correspondente.
c) (1,0) Determine a densidade de corrente que os gerou.
a) (^0)
1 ( ) 1 .
0
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∇ = z
B B Be B
kt
ρ ρ ϕ
ρ
ρ
r r ρ ϕ 0
ˆ ˆ ˆ
1
0
0
= ∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∇× =
kt B B B e
z
z
B
ρ^ ρ ϕ
ρ ϕ
ρ ρϕ
μ ρ
r r
z Bke z t
B e E
kt
kt
ˆ 0 ˆ
0 =− ∂
∇ × =−
r r
( )
( ) (^) kt z Bke
E E E (^) 0
1 =−
∂
∂ − ∂
∂ ∇× = ρ ϕ
ρ
ρ
ϕ ρ
r r
i) Ez =0 e supondo E ρ = 0:
( ) kt B ke
E =− 0 ∂
∂
ρ ρ
ρ (^) ϕ d ( ρ E ϕ ) ρ Bke d ρ
kt = − 0 cte
Bke E
kt
= − + 2
0
2 ρ ρ (^) ϕ
b) (^) cte
Bke E
kt
−
2
ρ 0 ϕ verificando:^0
) 2
( 1 ( ) 1 .
0
= ∂
∂
∂
∂−
∂
∂ ∇ = z
E
Bke E E
z
kt
ϕ
ρ
ρ ρ
ρ
ρ
ρ
r r ok.
ii) supondo E ϕ = 0:
( ) (^) kt B ke
E =− 0 ∂
−∂
ρ ϕ
ρ dE ρ (^) Bke ρ d ϕ
kt = + 0 E Bke cte
kt ρ=^ ρ^ ϕ 0 +
verificando: (^0)
1 ( ) 1 0 0
. 0 =^0 ≠ ∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∇ = ρ
ϕ
ρ ρ ϕ
ρϕ
ρ
kt kt Bke
z
Bke E
r r não serve.
c) ϕ
ρ ε ε μ
2 0 0
kt Bk e
t
B E
J =
=∇× −
r r r r
Q2. Numa onda eletromagnética com polarização circular
(veja figura), as componentes dos campos transversais rodam
em torno da direção de propagação. Esse campo pode ser
escrito com duas componentes ortogonais defasadas de π/2,
conforme escrito abaixo (unidades no SI).
( )
( )
40 cos 3 10 9 10
40 sin 3 10 9 10
6 14
6 14
= × − ×
= × − ×
z
y
x
E
E z t
E z t
Determine as seguintes grandezas relacionadas com esta onda:
a) (0,5) A velocidade, frequência, comprimento de onda e período;
lembrando a equação geral: E = E 0 sin( kx − ω t ) f Hz Hz
14
14
4 , 5 10 2
= ×
×
m k
6 6
π
π π λ
8 1
- 10
− = = ms k
v
ω s f
T
14 10 9
b) (0,5) O campo magnético associado;
Cada fase tem seu campo magnético:
c
E
B =
r
( )
( )
cos 3 10 9 10
sin 3 10 9 10
6 14
6 14
=− × − ×
= × − ×
z
x
y
E
z t c
B
z t c
B
c) (0,5) A amplitude do campo elétrico;
Veja figura: E (^) 0 = 40 V / m
d) (1,0) Usando a definição do vetor de Poynting, determine a direção de propagação, a
intensidade instantânea, I(t) em W/m
2 medida em z = 0 e a pressão média exercida numa
superfície totalmente absorvedora em unidades N/m
2
( ) ( ) z c
z c
EB EB z
B B
E E
i j k
S E B x y y x
x y
x y ˆ
sin cos ˆ
0
2 2
= × = = − = + =
r r r
Não há campo B fora do capacitor pois Id,total = -I. Note que não há condutor ligado ao
capacitor que gere campo magnético, portanto não pode haver campo B em volta e fora do
capacitor, apesar de haver campo B dentro do capacitor.
Solução alternativa aceitável
a)
CR
Q t I t
b)
t
I
E d
ε 0 I
dt
dQt a a
Qt
t
Id =− =−
2 0
0 π επ
ε (a área é orientada // z)
c) Bdl I Id ∫
r r
2 0
2
,/ 2 0 0
I t
dt
dQt
a
a
t
a
I
E d a =
I
B I
a
/ 2 a
It Ba =
r
Q4. No centro de um toróide de seção quadrada de lado L ,
raio menor Ri e raio maior Re , é colocada uma bobina teste
com N 1 espiras, também quadrada de lado L/2, conforme
mostra a figura. O toróide foi construído com um total de
N 2 espiras que conduzem uma corrente I = I 0 cos ω tI.
a) (0,5) Defina um sistema de coordenadas adequado e
determine o campo magnético no toróide;
∫
B. dl = μ 0 I
r r ao longo de uma espira com raio r coaxial
com o eixo do toróide. O sinal foi obtido pela regra da mão
direita:
2 π rB = μ 0 N 2 I ω ϕ
cos ˆ 2
0 2 0
= − t r
N I
B
r
b) (1,0) Determine a mutua indutância do arranjo.
I
N
M M
11 21 12
ln 4
0 2
3 / 4
/ 4
Ri L
LNI Ri L Bds
Ri L
RiL
Boninateste
∫
r r
L
L/
R
e
R
i
I
L
L/
R
e
R
i
I
L
L/
Re
R
i
I
L
L/
Re
R
i
I
z
ρ
ϕ
ln 4
0 1 2
1
1 21 21 Ri L
LNN Ri L
I
N
M
c) (1,0) Desprezando a indutância própria da espira menor e supondo que sua resistência seja
R , calcule a expressão da corrente que nela circulará.
dt
dI M
1
ε 2 =− I t
Ri L
Ri L
R
LNN
dt
dI
R
M
I ω ω
sin / 4
ln 4
0
1 0 1 2
q = ρ dV
dt
dq i = J E
r r = σ
Onda EM
2
2
2
2
∂
t
f
v
f (^) 0 0 2
=ε μ c (^) 0
2
B
uB =
2 0 2
uE = ε E c
U
p =
S c E B E B
r r r r r = × = ×
0
0
m (^) t I = S ( t ) T
f
π ω π
λ
2 π
k = λ= vT
Cálculo
∫ = − a
x senax sen axdx 4
2
2
2
∫ = + a
x sen ax ax dx 4
2
2
cos
2
∫ =^ −
a
ax sen axdx
cos
2 2 2 2
ln x x a x a
dx = + ± ±
2 23 /^2222 a x a
x
x a
dx
z
U k y
U j x
U U i ∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∇ = ˆ ˆ ˆ z
A
y
A
x
A
A
x y z
∂
r r .
Ax Ay A z
x y z
i j k
A ∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∇× =
ˆ ˆ^ ˆ
r r
2
2
2
2
2
2 2
z
A
y
A
x
A A ∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∇ =
r r r r
z
U z
U
r r
U U r ∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∇ = ˆ
ˆ^1 ˆ θ
θ z
A A
r r
rA
r
A
r z
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∇ = θ
1 ( ) (^1) θ .
rr
Ar rA A z
r z
r r z
r
A
θ
θ
θ
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∇× =
ˆ ˆ ˆ r r 1
r AdV =
r A ⋅ d
r S
S
V
∫ ,^ ∇ ×^
r A ⋅ d
r S =
r A ⋅ d
r
l
C
S
