Baixe 5.-Integral - Definida e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!
[ ] { }
Cada partição P de divide [^ ] em intervalos fechados [^ ]
da partição é o
maior dos e indicamos por
Seja f uma função definida no intervalo fechado [^ ] , , e seja P uma partição de [^ ]
Sejam
escolhidos arbitrariamente em cada [
]. A soma de Riemann de f com relação à partição P e
Cada parcela da soma de Riemann coincide com um retângulo limitado pelas retas de equações
A área de é f^ ( ci ) xi se f (^ ci )^0 ou é^ f^ ( ci ) xi se f (^ ci )^0
Geometricamente podemos interpretar a soma de Riemann ∑ como a diferença entre a
soma das áreas dos retângulos que estão acima do eixo x e a soma das áreas dos que estão abaixo
do eixo x.
Sejam uma função definida em [^ ] e um número real. Dizemos que é integrável segundo
[ ] (^) ∑
Isto é, se para todo existir , que só depende de , mas não da escolha dos , tal que.
|∑ | para qualquer partição de com o.
O número quando existe é único e chama-se a integral definida de f em [^ ] e indica-se por:
𝒂 𝒙𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 ... 𝒙𝒊 𝟏 𝒙𝒊 ... 𝒙𝒏 𝟏 𝒙𝒏 𝒃
[ ] ∫
[ ] ∫
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] ∫ ∫
Sejam uma função continua em [^ ] e uma primitiva de em [^ ].
[ ] ∑[ ]
Para restrita a cada [^ ] e pelo Teorema do Valor Médio, existe ]^ [ tal que.
∫ [^ ]
Provamos o 1º Teorema Fundamental do Cálculo que nos ensina calcular a integral definida de funções
continuas no intervalo fechado.
Seja a função , definida, continua e positiva em [ ] [ ].
Tal conjunto é limitado pelas retas de equações , e pelo gráfico de
. Queremos definir a área de A.
Para qualquer partição de a , b tomemos ci e ci os pontos de mínimo e de máximo, respectivamente
xi- 1 , x i , 1 i n ∑̅ ∑̿
f ∑̅ ∑̿ ∫
Calcular a área do conjunto A, limitado pelas retas de equações: e
pelo gráfico de.
Solução:
Se f é integrável em a , b , e f ( x ) 0 para todo x a , b , então a área do conjunto A limitado pelas
retas x a x b , y 0 e pelo gráfico de f :
𝒂
𝒃
𝒃
𝒂
Consideremos um ponto material, que se desloca sobre trajetória retilínea com função posição
e velocidade , continuas no intervalo [^ ].
A diferença é o deslocamento do ponto material entre os instantes a e b. Como
∫|^ |
Isto é, o espaço percorrido entre os instantes a e b é numericamente igual a área sob o gráfico da
função velocidade.
Calcule o deslocamento e o espaço percorrido entre os instantes 0s e 2 segundos
Solução:
Exercícios.
1. Calcular a área do conjunto A nos seguintes casos:
a) A = {(x, y) ^2 / 0 x 4 e, 0 y x } b) A = {(x, y) ^2 / 0 x 1 e, -
2
y x }
c) A = {(x, y) ^2 / -1 x 1 e, 1 0
2
x y } d) A = {(x, y) ^2 / 0 x 1 e,
x
0 y e }
e) A = {(x, y)
2
/ -1 x 1 e, 0 1
2
y x }
f) A é conjunto limitado pelas retas
x x ^ , eixo x e o gráfico de f ( x )cos x
g) A é conjunto limitado pelas retas x 0 , x 3 , eixo x e o gráfico de f ( x ) x 3 x
2
h) A é conjunto limitado pelas retas x 1 , x 5 , eixo x e o gráfico de f ( x ) x 3 x
2
2. Calcular a área de cada conjunto A sombreado nas figuras.
Resposta:
3. Um móvel em trajetória retilínea tem a velocidade dada por v ( t ) t 1 , t 0 (SI)
2
Calcule: a) O
deslocamento entre os instantes 0 segundo e 2 segundos. b) O espaço percorrido entre 0 segundo e 2
segundos.
Resposta: a)
3
2
metros b) 2 metros
4. Um móvel em trajetória retilínea tem a velocidade dada por:v( t)cost. Determine:
a) o deslocamento entre os instantes zero e segundos.
b) o espaço percorrido entre os instantes zero e segundos.
Resposta: a) 0 metro b) 2 metros
a) b)
c)
d)
.
Sejam dados num plano um eixo e , e uma superfície A situada em um dos semiplanos, que pode interceptar e
. O conjunto B , obtido pela rotação de A em torno do eixo e , chama-se solido de revolução.
f : a , b [ ]
x , y x a x b y 0
{ }
[ ]̅ ̿
[ ] ̅
́ , , e ̿.
A rotação de e ́ , em torno do eixo produz os cilindros e ́ de volumes [̅ ] e [̿ ] ,
respectivamente.
∑ [̅ ] ∑ [̿ ] [ ] [ ]
∑ [̅^ ]^ ∑ [̿^ ]^ ∫[^ ]
E, portanto, o volume do sólido B obtido pela rotação de A em torno do eixo x é,
∫ [^ ]
A x
A {^ x , y / 0 x 1
2 0 }
2 y x
A {^ x , y / 0 x 1
2 x y x}
2
Seja f: a , b , 0 a , uma função continua e positiva [^ ]^.
Considere o conjunto A dos pontos do plano limitado pelas retas x a , x b , y 0 e pelo gráfico de f.
Queremos calcular o volume do sólido B obtido pela rotação de A em torno do eixo.
Para uma partição de [^ ], tome [^ ]^ tal que e considere o retângulo limitado pelas
retas , , e.
O volume do sólido obtido pela rotação de em torno do eixo é igual a
∑ ∫
∫
A { x , y / 0 x 1
2 ^0 }
2 y x
𝒚
𝟏
𝒙
𝟐
