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A integral definida
Teorema 1: Se uma função 𝑓 é contínua num intervalo 𝐼, então 𝑓 é integrável em 𝐼.
Teorema Fundamental do Cálculo (TFC): Se 𝑓é uma função contínua no intervalo [a,b] e 𝐹 é uma primitiva de 𝑓 nesse intervalo, então:
𝑏 𝑎
Exemplos:
a) 132 𝑥𝑑𝑥
Sabemos que 2 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥^2 + 𝑐. Portanto 𝐹 𝑥 = 𝑥^2 (tomando 𝑐 = 0) é uma primitiva de 𝑓 𝑥 = 2𝑥. Pelo TFC, temos que
13 2 𝑥𝑑𝑥=^ 𝐹^3 − 𝐹^1 = 3^2 −^12 = 8
b) 02 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥^ | 02 = 𝑒^2 − 𝑒^0 = 𝑒^2 − 1
Exercício: Calcule as seguintes integrais definidas:
a) 02 (−𝑥^2 + 5)𝑑𝑥
b) 14 (2𝑥^2 + 3)𝑑𝑥
c) 15 (3𝑥^2 − 𝑥 + 1)𝑑𝑥
d) (^) −^21 ( 𝑥^3 − 1)𝑑𝑥
e) (^) −^ − 21 (−𝑥^4 )𝑑𝑥
f) 0 𝜋^2 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡
Propriedades da Integral definida
Se 𝑓 é uma função integrável, 𝑎 ≠ 𝑏 e 𝑘 ∈ ℝ, então valem as seguintes propriedades:
P1) (^) 𝑎𝑏𝑘. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘. (^) 𝑎^ 𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥
P2) (^) 𝑎𝑏[𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = (^) 𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± (^) 𝑎^ 𝑏𝑔 𝑥 𝑑𝑥
P3) (^) 𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − (^) 𝑏^ 𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥
P4) (^) 𝑎^ 𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
P5) Se 𝑓 𝑥 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], então (^) 𝑎^ 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0.
Exercício: Mostre que se 𝑓 𝑥 ≤ 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], então (^) 𝑎^ 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 0. Dica: se 𝑓 𝑥 ≤ 0 , então −𝑓 𝑥 ≥ 0.
P6) Se 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], então (^) 𝑎^ 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥𝑎^ 𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥.
Observe que a propriedade P6) nos permite obter algumas informações a respeito da integral de uma função sem nem mesmo calculá-la. Por exemplo, o que se pode dizer sobre a comparação das seguintes integrais?
0 𝜋 (𝑥^2 +^2 )𝑑𝑥?^0 𝜋𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
P7) Se 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, então (^) 𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = (^) 𝑎𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + (^) 𝑐^ 𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
Exemplos:
a) (^) −^21 |𝑥|𝑑𝑥= (^) −^01 −𝑥𝑑𝑥+ 02 𝑥𝑑𝑥
b) 02 𝑥^2 − 5 𝑥 + 4 𝑑𝑥
c) 16 𝑥^2 − 7 𝑥 + 10 𝑑𝑥
P8) 𝑎^ 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑎^ 𝑏|𝑓 𝑥 |𝑑𝑥
Esta propriedade pode ser facilmente aceita se pensarmos em uma função ímpar sendo integrada em intervalo simétrico.
