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5. O CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO E A FUNÇÃO DE
EULER
Um círculo pode ser percorrido em dois sentidos. Quando um deles é escolhido e denominado positivo dizemos que o círculo está orientado. Tradicionalmente, em Matemática, escolhemos o sentido anti-horário como positivo. Consideremos no sistema de coordenadas cartesianas o círculo com centro em (0,0) e raio 1, também chamado de círculo unitário, orientado. Fixemos no círculo unitário o ponto A(1,0), que será chamado de origem dos arcos. O círculo definido acima
é chamado de círculo trigonométrico e será designado por S1.
Figura 1
Definimos a medida algébrica de um arco AB de S1 como sendo o comprimento deste arco associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for o anti-horário e negativo em caso contrário. Esta medida será representada por AB.
Figura 2
Observe que como S1^ tem raio unitário o módulo da medida algébrica de AB corresponde á medida do arco em radiano, ou seja, AB = |m AB| rad.
Vamos agora definir uma aplicação E de R em S1, chamada de função de Euler ,
que associa a cada número real t um ponto P de S1, chamado de imagem de t no círculo, da seguinte maneira:
E: R → S t → E(t) = P = (x,y) Tal que,
- Se t = 0 então P = A, isto é, E(0) = A.
- Se t > 0 realizamos um percurso de comprimento t a partir de A, no sentido anti- horário e marcamos P = E(t) como ponto final deste percurso , isto é m AP = t.
- Se t < 0 então realizamos a partir de A um percurso de comprimento | t| no sentido horário e marcamos P = E(t) como ponto final deste percurso, isto é mAP = t.
Da correspondência feita até aqui entre os números reais e os pontos do círculo trigonométrico, se considerarmos o arco AP até uma volta, temos que mAP = t e -2π ≤ t ≤ -2π. Podemos , no entanto, estender a noção de medida para arcos com mais de uma volta, considerando |t | > 2π. Seja P = E(t) com t ∈ R, o arco AP e conseqüentemente o ângulo A O$ P mede t radianos (Figura 5).
Figura 5
A função de Euler não é uma função injetora, isto é, a números reais distintos podem estar associados ao mesmo ponto no círculo trigonométrico. Por exemplo, E(-π/2) = E(3π/2). Mais geralmente, tomando t 1 > 0 e mAP = t 1 , associados a P existem dois arcos com medidas e sentidos diferentes. Se mAP = t 1 (no sentido anti- horário) e mAP = t 2 (no sentido horário), ou seja t2 < 0, temos que : t 1 - t 2 = 2π e E(t1) =
E(t2) = P.
Figura 6
Se P é a imagem de to, P será também a imagem de to ± 2 π, to ± 4 π, etc..., ou seja, P é a imagem de todos os elementos do conjunto {t ∈ R ; t = to + 2kπ, k ∈ Z }. Dizemos, neste caso, que t (^) o + 2kπ são as várias "determinações" do arco AP, ou seja, todos os arco da forma t (^) o + 2kπ são côngruos , isto é, a diferença entre eles é um múltiplo de 2π. De fato:
t 1 = t (^) o + 2k 1 π e t 2 = t o (^) + 2k 2 π k , k 1 2 ∈ Z têm a mesma imagem em S1^ se e
somente se t 1 - t 2 = 2kπ, (k = k 1 - k 2 ) As vezes para facilitar a linguagem dizemos que t (número real) pertence ao 1 o Quadrante. Estamos querendo dizer com isso que a extremidade P do arco AP tal que mAP = t é que pertence ao 1 o^ Quadrante. Finalmente, observando as figuras a seguir, obteremos diversas simetrias da função de Euler. Estas simetrias serão utilizadas para mostrar várias propriedades das funções seno e cosseno. Dado t ∈ R, seja P = E(t) = (x,y)
