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TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
A partir de agora, vamos estender nossos estudos para obtenção de fórmulas que possibilitam
encontrar as razões trigonométricas da soma a + b e da diferença a – b de dois números reais
quaisquer a e b ou de dois arcos de medidas a e b, além de outras transformações trigonométricas.
Também aprofundaremos nossos estudos na trigonometria para as equações e inequações
trigonométricas.
Fórmulas da adição e subtração
Podemos determinar o sen 75 ° e o cos 15 ° através dos valores dos ângulos notáveis (30°, 45° e 60°)
e das razões trigonométricas de adição e subtração, observe:
sen 75 ° =sen ( 45 ° + 30 °)
cos 15 °=cos( 45 °− 30 °)
Para a realização desses cálculos utilizaremos as fórmulas abaixo:
sen ( a+b )=sen a. cos b+ sen b. cos a
sen ( a−b)=sen a. cos b−sen b. cos a
cos ( a+b) =cos a. cos b−sen a. sen b
cos ( a−b )=cos a .cos b+ sen a. sen b
tg ( a+b )=
tg a+tg b
1 −tg a. tg b
, válida para a ≠
π
+kππ , b ≠
π
+kππ e a+b ≠
π
+kππ , kπ ∈ Z
tg ( a−b)=
tg a−tg b
1 +tg a. tg b
, válida para a ≠
π
+kππ , b ≠
π
+kππ e a+b ≠
π
+kππ , kπ ∈ Z
EXEMPLO:
sen 75 °=sen ( 45 °+ 30 °) =sen 45 °. cos 30 °+sen 30 °. cos 45 °=
cos
(
3 π
−x
)
=cos
3 π
. cos x+ sen
3 π
. sen x=¿ 0. cos x +(− 1 ). sen x=−sen x ¿
tg
7 π
=tg
(
π
π
)
tg
π
+tg
π
1 −tg
π
. tg
π
2
2
Questão 1
Agora, é a sua vez, utilizando as formulas da adição e subtração, determine o valor de:
a)
cos 15 °
b)
sen
(
x−
π
)
c)
tg
5 π
d) sen 105 °
e)
cos 1155 °
Questão 2
Para instalar um vidro em uma janela a 7 m de altura, um vidraceiro apoiou uma escada com 8 m de
comprimento de maneira que esta formando um ângulo de 50° com a parede. O topo dessa escada
chegou a altura da janela? Justifique. (Dados:
sen 20 °=0, 342,cos 20 °=0,939, sen 30 °=0,5 e cos 30 °=0, )
Questão 3
Calcule
sen 70 °. cos 50 °+cos 70 °. sen 50 ° .
Caso tenha sentido muita dificuldade para resolver as questões 1 a 3, acesse o link listado abaixo e
tente mais uma vez:
https://drive.google.com/file/d/14Dgr36_XPYeNzkFwG3HKdZHSuFrZSaT5/view?usp=sharing
Razões trigonométricas de 2a
A partir das fórmulas de adição, é possível encontrar razões trigonométricas do numero real 2a,
também chamadas de fórmulas de arco duplo:
sen 2 a=sen ( a+ a)=sena. cos a+ sen a. cos a= 2 sen a .cos a
Logo teremos as seguintes razões trigonométricas para arcos duplos:
sen 2 a= 2. sen a. cos a
cos 2 a=cos ² a−se n
2
a
Obs: Podemos usar a relação fundamental se n
2
a+cos ² a= 1
podemos obter a seguintes expressões
equivalentes:
cos 2 a= 1 − 2 se n
2
a
ou cos 2 a= 2 cos² a− 1
tg 2 a=
2 tg a
1 −tg ² a
, válido para a ≠
π
+kππ e a ≠
3 π
EXEMPLO:
Dados
sen x=
e
cos x=
, com
π
< x < π , para determinar as razões trigonométricas do número
real 2x, calculamos:
sen 2 x= 2. sen x. cos x= 2.
cos 2 x=cos ² x −se n
2
x=
(
)
2
(
)
2
A função cosseno é a função f: R → R que associa cada número real x ao número real cos x, ou
seja, f(x) = cos x.
Exemplo:
Calcule:
a) y=cos 1560 °
b)
y=cos
43 π
c)
y=cos− 270 °
d)
y=cos
19 π
Questão 5
Observe o exemplo abaixo:
Agora é a sua vez, calcule o valor de y na expressão:
y=
cos
9 π
−sen
9 π
cos
17 π
17 π
Questão 6
Vamos construir o gráfico da função seno, dada por f(x) = sen x, com base nos dados de uma tabela
de valores para x. Inicialmente, consideramos alguns valores 1ªvolta, para os quais o seno já é
conhecido e alguns valores de x maiores que 2
π ou menores que zero, temos:
Observe que, para valores de maiores que 2
π ou menores que zero, o seno de x assume os valores
do seno de arcos da 1ª volta. Assim, a função seno é periódica, pois, para todo x ∈ R, temos:
sen x = sen (x + 2π) = sen (x + 4π) = ... = sen (x + 2kπ), com k ∈ Z.
Por isso, a curva obtida no intervalo [0, 2
π ] repete se para x > 2π e x < 0. Assim, o gráfico da função
seno se estende por todo o eixo x e tem o seguinte formato:
Agora é a sua vez, esboce no papel milimetrado o gráfico das funções seno, abaixo, dando o
domínio, imagem e período.
a)
y=sen 3 x
b)
y=sen
(
x+
π
)
c)
y= 5. sen x
Questão 7
Vamos construir o gráfico da função cosseno, dada por f(x) = cos x, com base nos dados de uma
tabela de valores para x. Inicialmente, consideramos alguns valores 1ªvolta, para os quais o cosseno
já é conhecido e alguns valores de x maiores que 2π ou menores que zero, temos:
c)
y=tg− 850 °
d)
y=tg
29 π
Questão 9
Vamos construir o gráfico da função tangente, dada por f(x) = tg x, com base nos dados de uma
tabela de valores para x. Inicialmente, consideramos alguns valores 1ª volta, para os quais a
tangente já é conhecido e alguns valores de x maiores que 2
π ou menores que zero, temos:
Observe que, para valores de maiores que π ou menores que zero, a tangente de x assume os
valores da tangente de arcos da 1ª volta. Assim, a função tangente é periódica, pois, para todo x do
seu domínio, temos:
tg x = tg (x + π) = tg (x + 2π) = ... = tg (x + kπ), com k ∈ Z.
Por isso, a curva obtida no intervalo
π
π
repete se para x >
π
e x <
−π
. Assim, o gráfico da
função tangente tem o seguinte formato:
Agora é a sua vez, esboce no papel milimetrado o gráfico das funções tangente, abaixo, dando o
domínio, imagem e período.
a) y= 2. tgx
b) y= 1 +tg x
c)
y=tg
(
x +
π
)
Caso tenha sentido muita dificuldade para resolver a questão 9, acesse o vídeo listado abaixo:
https://www.youtube.com/watch?v=aZwiSteCpck
Para resolução das questões Leia o capitulo 4 das páginas 84 a 105 do seu livro que fala sobre
Funções Trigonométricas. Tente fazer as questões e registre as respostas em seu caderno para que
você possa apresentar e tirar as dúvidas presencialmente em momento oportuno. Caso tenha
sentido muita dificuldade para resolver as questões, acesse aos links listado e tente mais uma vez.
