Análise Matemática I
Cálculo Integral
Aplicações dos integrais
Joana Peres
MIEQ – 2009/2010
FEUP / MIEQ 1Joana Peres / Análise Matemática I
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8.2 - Cálculo Integral, Notas de estudo de Engenharia Química
Cálculo Integral
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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Análise Matemática I
Cálculo Integral
Aplicações dos integrais
Joana Peres
MIEQ – 2009/
Joana Peres / Análise Matemática I
∑
∑
∑
=
=
=
n i
i
n i
i
n i
i^
x x f a b x f
x x
n
x f
n
1
1
1
*^
Seja
f^
(x
)^
uma função integrável em [
a
, b
]
Fazendo uma partição regular de [
a
, b
] e escolhendo uma selecção
S ={
x
x
x
*} associada a essa partição n
a média aritmética dos valores da função nesses
n
pontos é dada por:
Valor médio de
f
x
)^
em
[
a
, b
].
a média de “todos” os valores de
f
em [
a
b
] é dada por
n
a
b
x^
porque
∫
∑
=
∞ →
b a
n i
i
n^
dx x f a b x x f a b
lim
1
o valor médio de
f
x
no intervalo [
a
, b
]^
∫
−
b a^
dx x f
a
b
x f^
(^
def
Joana Peres / Análise Matemática I
a média de “todos” os valores de
f
x)
em
[
a
, b
] é dada por:
Cálculo de áreas de figuras planas
Área delimitada pelo gráfico da função
f
x
)^
e pelo eixo Ox entre
x
a
e
x
b
[^
]^
b a b a x f
dx x f
A
b a^
∫^
que
em,
,
em 0 ) (
def
Caso em que
f^
( x
)^
0 entre
x
a
e
x
b
Caso em que
f^
( x
)^
assume valores positivos e negativos entre
x
a
e
x
b
q
f^
(^
)^
p
g
b
a
dx x f
A
b a^
∫^
que
em ,
) (
def
determinar as coordenadas dos pontos onde
f^
( x
intersecta o eixo Ox (
f
x
)^
integrar
f
x
)^
nos sub-intervalos onde
f
x
)^
^0
integrar -
f^
( x
)^
nos sub-intervalos onde
f
x
)^
^0
adicionar os resultados obtidos
III
II
I^
A
A
A
A
FEUP / MIEQ
4
Joana Peres / Análise Matemática I
Cálculo de áreas de figuras planas
Área delimitada pelos gráficos das funções
f
x
)^
e
g
( x
)^
entre
x
a
e
x
b
Caso em que
f^
( x
)^
-^
g
( x
)^
0 entre
x
a
e
x
b
Caso em que
f^
( x
)^
-^
g
( x
)^
assume valores positivos e negativos
entre
x
a
e
x
b
[^
]^
[^
]^
b a b a x g x f
dx x g
x f
A
b a^
∫
que
em,
,
em ) ( ) ( ) ( ) (
Caso
em que
f^
( x
)^
-^
g
( x
)^
assume
valores positivos e negativos entre
x
a
e
x
b
b
a
dx x g
x f
A
b a^
∫
que
em,
def
determinar as coordenadas dos pontos onde
f^
( x
intersecta
g
( x
)^
(^
f^
( x
)^
g
( x
)^
integrar [
f^
( x
)^
-^
g
( x
)]
nos sub-intervalos onde
f^
( x
)^
g
x
integrar [
g
( x
)^
-^
f^
( x
)]
nos sub-intervalos onde
g
( x
)^
f
x
adicionar os resultados obtidos
III
II
I^
A
A
A
A
A =
I^
A
II
A
III
FEUP / MIEQ
5
Joana Peres / Análise Matemática I
Cálculo de áreas de figuras planas
^
Área delimitada pelos gráficos da função
w
( y
)^
e o eixo Oy entre
y
c
e
y
d
Invertendo os papéis de
x
e
y
[^
]^
d c d c y w
dy y w
A
d c^
∫
que
em,
em 0 ) (
^
O que quer dizer
w
( y
)^
^
Quer dizer que
w
( y
)^
está à direita do eixo Oy.
x^
=^
w
( y
)
[^
]^
[^
]^
d c d c y v y w
dy y v
y w
A
d c^
∫
que
em,
,
em ) ( ) ( ) ( ) (
Área delimitada pelos gráficos das funções
w
( y
)^
e
v
( y
)^
entre
y
c
e
y
d
O que quer dizer
w
( y
)^
v
( y
)^
^
Quer dizer que
w
( y
)^
está à direita de
v
( y
7
Joana Peres / Análise Matemática I
Volume de um sólido pelo método das secções rectas
Método baseado em: ^
O volume de um cilindro é igual ao produto da área da base pela altura,
quer o cilindro seja circular ou não. ^
Se o sólido em causa estiver compreendido entre
x
a
e
x
b
^
e for cortado por planos normais ao eixo Ox igualmente espaçados de Δ
x^
b
a
n
, definindo
n
sub-intervalos:
[x
x
],...,[ 1
x
i–
,^
x^ i
],..., [
x
n–
,^
x
], em quen
x
0
a
e
x
n^
b
em cada sub-intervalo [
x^ i
,^
x
] assim obtido, escolhemos um pontoi
arbitrário
x
*, e calculamos a área da secção recta correspondente a essei^
ponto, a qual designaremos por S(
x
*).i^
Joana Peres / Análise Matemática I
Volume de sólidos de revolução: método dos círculos
Secções rectas normais ao eixo O
x
Queremos calcular:
Volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo Ox da região situada
entre o gráfico da função
y
f
x) e o próprio eixo Ox, com
f
x)
0 em [
a
,^
b
]
qualquer secção recta normal a esse eixo será obrigatoriamente umcírculo de raio
y
f
x)
pelo que a área dessa secção recta será dada por S(
x
y
(^2)
[
f^
(x
)]
^
A fórmula
exacta
para o volume de um sólido de revolução em torno
do eixo Ox, que designaremos por V
x^
é a seguinte: [^
]^
dx
x f
V
b a
x^
(^
2
∫
=
Joana Peres / Análise Matemática I
Volume de sólidos de revolução: método dos anéis circulares
Queremos calcular:
Volume do sólido gerado rodando em torno do eixo Ox a região delimitada
pelos gráficos de
duas
funções,
y
f
x
) e
y
g
(x
), entre
x
a
e
x
b
, em que
f^
(x
)^
g
(x
)^
0 em [
a
,^
b
].
Secções rectas normais ao eixo O
x
(^
)^
(^
[^
]dx
x g
x f
V
b a
x^
(^
2
2
∫^
11
Joana Peres / Análise Matemática I
Qualquer secção recta normal ao eixo Ox será um
anel circular
de raio interno
g
(x
e raio externo
f
x), com uma área dada por
(^
)^
(^
[^
]
2
2
(^
x g x f x S
^
A fórmula
exacta
para o volume de um sólido de revolução em torno
do eixo Ox é a seguinte:
Volume de sólidos de revolução: método dos anéis circulares
Secções rectas normais ao eixo Oy
(^
)^
(^
[^
]dy
y v
y w
V
d c
y^
(^
2
2
∫^
13
Joana Peres / Análise Matemática I
A fórmula
exacta
para o volume de um
sólido de revolução
gerado pela rotação
em torno do eixo Oy da região delimitada pelos gráficos das funções
x
w
(y
) e
x
v
(y
entre
y
c
e
y
d
, com
w
(y
)^
v
(y
)^
0 em [
c,
d
], é a seguinte:
Volume de sólidos de revolução pelo método das cascas cilíndricas
O que é uma “casca” ou camada cilíndrica?^
É o sólido delimitado por dois cilindros circulares
com o mesmo
eixo de simetria
e a
mesma altura h
sendo r
1
o raio do cilindro interno, r
2
o raio do cilindro
externo.
2
2
1
r
r
r
def
≡
1
2
r
r
e
def
−
≡
raio médio da casca:
espessura da casca:
^
Qual é o volume de uma “casca” ou camada cilíndrica? ^
O volume vai ser igual à diferença entre o volume do cilindro
externo e o volume do cilindro interno, ou seja:
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
(^
)^
(^
)^
1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 r r r r h r r h h r h r V
(^
)^
(^
2
1
2
r
r h r
r^
π
he r
V
Joana Peres / Análise Matemática I
Volume de sólidos de revolução pelo método das cascas cilíndricas
Se a superfície superior dos tubos for curva o volume é difícil de calcular.
mas se as tiras forem suficientemente estreitas podemos aproximá-laspor rectângulos.
Ao rodarmos estes rectângulos em torno do eixo Oy vamos obter“cascas” cilíndricas cujo volume é aproximadamente igual ao dos tubosgerados pelas tiras curvas originais.
Se somarmos o volume das
n
cascas cilíndricas vamos obter uma soma
de Riemann que aproxima o volume V do sólido S. Passando ao limitequando
n
obtém-se a fórmula exacta do volume V do sólido S.
Vamos mostrar que:
Joana Peres / Análise Matemática I
Volume de sólidos de revolução pelo método das cascas cilíndricas
Adicionando os volumes das
n
“cascas” vem:
o volume da casca cilíndrica de raio médio
x
k^
*, de
altura
f (x
k^
*) e espessura
x^
k^
é dado por:
k
k
k
k^
x
x f x
V
Δ
=
Δ
) (
2
π
1 2
*^
k
k
k
x
x
x^
=
−
a tira
k
vai de
x
k–
a
x
k^
, então a largura desta tira é dada por: (^1) −
−
=
Δ
k
k
k^
x
x
x
Se
x
k^
- for o ponto médio do intervalo [
x
k–
,^
x^
]:k
x
x f x^
k
k^
Δ
=
) (
2
π
(^
x
k^
x^
Cálculo do volume V
y
pelo
método das
cascas cilíndricas
: x x f x V V
k
n k
k
n k
k
y^
∑
∑
=
=
1
1
∫
b a
y^
dx x f x
V
FEUP / MIEQ
17
Joana Peres / Análise Matemática I
soma de Riemann para afunção [
x f
x
)] em [
a
,^
b
]
∫
∑
= ∞ →
b a
n i
i
i
n
dx x f x x f x
lim
1
Volume de sólidos de revolução pelo método das cascas cilíndricas
^
O método das cascas cilíndricas também pode ser utilizado para calcular o
volume de sólidos de revolução em torno do eixo Ox. ^
o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo Ox, da
região delimitada pelo gráfico da função contínua
x
f
y
)^
0 e pelo eixo Oy entre
x^
c
e
x
d
, em que 0
c
d
, pode ser calculado pelo método das cascas
cilíndricas através da seguinte fórmula integral:
∫
d c
x^
dy y f y
V
[^
]
∫^
d c
x^
dy y g y f y V
^
o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo Ox,
da região delimitada pelos gráficos das funções contínuas
x
f
y
) e
x
g
(y
) no
intervalo [
c
,^
d
], em que 0
c
d
e
f
y)
g
(y
)^
0, é calculado pelo integral:
∫c
Joana Peres / Análise Matemática I
Volume de sólidos de revolução: escolha do método
Qual dos métodos deve ser utilizado para calcular o volume de um sólido de
revolução?
depende do eixo de rotação
variável independente que é utilizada para representar a(s) curva(s) quedelimita(m) a região que roda em torno desse eixo
[^
]
b ∫
d
f
V
(^
)^
(^
[^
]d
f
V
b
(^
2
2
Eixo em torno do qual é feita a rotação
Eixo Oy ( V
y^
Eixo Ox ( V
x^
y^
f
x
Se
[^
]
∫^
d c
x^
dy y g y f y V
Quando se puder utilizar qualquer um dos dois métodos (quando a(s) curva(s)
puder(em) ser representada(s) utilizando x ou y como variável independente)
deverá ser escolhido o método que produzir as integrações mais fáceis.
[^
]
∫^
a
y^
dx x g x f x V
(^
)^
(^
[^
]dy
y g
y f
V
d c
y^
(^
2
2
∫^
(^
)^
(^
[^
]d
x x g x f V
a
x^
(^
2
2
∫^
e y
g
( x
x
f
y )
e x
g
( y
Se
FEUP / MIEQ
Joana Peres / Análise Matemática I