Análise Matemática I
Cálculo Integral
(continuação)
Joana Peres
Joana
Peres
MIEQ – 2009/2010
FEUP / MIEQ 1Joana Peres / Análise Matemática I
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8.3 - Cálculo Integral, Notas de estudo de Engenharia Química
Cálculo Integral
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
1 / 26
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Análise Matemática I
Cálculo Integral
(continuação)
Joana PeresJoana Peres
MIEQ – 2009/
Joana Peres / Análise Matemática I
Funções definidas através de integrais
^
Se permitirmos que o limite superior do integral seja variável, mantendo
o limite inferior com um valor fixo, o valor do integral será uma função doseu limite superior, geralmente designada por
A
(x
), e definida da seguinte
forma
O integral como função do seu limite superior
∫
x a^
dt t f
x A
^
Da definição de
A
(x
), conclui-se facilmente quais são os valores que esta
função assume nos extremos do intervalo [
a
,^
b
]:
(^
∫
a a^
dt t f
a A
∫
∫^
b a
b a^
dx x f
dt t f
b A
Joana Peres / Análise Matemática I
2ª propriedade: Se
f
x) for contínua, a correspondente função
A
(x
)^
é uma
primitiva de
f
x
) em [
a
,^
b
] (é a primitiva cujo valor é zero quando
x
= a, pois
A
(a
)^
Teorema fundamental do Cálculo
′^
→
h
x A h x A x A
h def
lim
) (^
0
Demonstração:
(def. de derivada)
Teorema fundamental do Cálculo
[^
]^
[^
]^
com,
,
em
derivável ) (
em
contínua ) (^
b a x A b a x
f^
[^
] b a x x f x A ,
(^
⎛^ ⎜⎝
∫
∫^
→
x a
h x a
h^
dt t f
dt t f
h
lim
0
→
lim
0
c f
h
→
lim
c f x c
(x f =
(def. de
A
(x
))
∫^
→
h x x
h^
dt t f
h
lim
0
(Teor. da dec. do int. de integ.)
(Teor. da média do Cálc. Integral)(h
→
0
implica que
c^
→
x
)
(^
f^
(x
) é contínua)
Joana Peres / Análise Matemática I
Teorema fundamental do Cálculo
(^
x f
dt t f
d dx
dt t f^
x a
x a^
⎛^ ⎜⎝
∫
∫
^
Uma forma mais sugestiva de escrever que
A
′^
(x
)^
f
x) é a seguinte:
Corolário do teorema fundamental do Cálculo
[^
b]a
b a^
x F a F b F
dx x f^
(^
def^ ≡
∫
Se
f
x) for contínua em [
a
,^
b
], o integral de
f
x) em [
a
,^
b
] é dado por:
F
( ) é
i^
iti
l^
d
f^
[^
b
]
Demonstração
[^
] b a x x f x F ,
(^
em que
F
x)
é uma primitiva qualquer de
f
x)
em [
a
,^
b
]:
(^
a F x F x A a F C C a F a A
C x F x A x F x A
′^
(^
a F
b F
dx x f
dt t f a F b F b A
b a
b a^
∫
∫
(^
x^
=^
a
)
(F
(
x) e
A
(x
)^
primit. de
f^
(x
))
(^
x^
=^
b
)
FEUP / MIEQ
5
Joana Peres / Análise Matemática I
Funções definidas através de integrais
^
Se fixarmos o limite superior do integral e deixarmos que o limite inferior
seja variável, o valor do integral será uma função do seu limite inferior, funçãoessa que é geralmente designada por
B
(x
), e é definida da seguinte forma:
O
l^
t^
f^
ã
t^
d
i t
l^
[^
b
]^
ã
O integral como função do seu limite inferior
∫
b x^
dt t f
x B
^
O
s valores que esta função assume nos extremos do intervalo [
a
,^
b
] são:
∫
∫^
b a
b a^
dx x f
dt t f
a B
(^
(^
∫
b b^
dt t f
b B
^
A relação existente entre
A
(x
)^
e
B
(x
)^
é evidente da figura:
∫
∫
∫^
b a
b x
x a^
dt t f
dt t f
dt t f x B x A
(^
[^
] b a x C x B x A ,
(^
Teorema
[^
]^
[^
]^
com,
,
em
derivável ) (
em
contínua ) (^
b a x B b a x
f^
[^
] b a x x f x B ,
(^
7
Joana Peres / Análise Matemática I
^
Seja
u
(x
) uma função qualquer definida por meio de um integral, cujos
limites são eles próprios funções conhecidas da variável
x
; este integral pode
sempre ser escrito em termos das funções
A
(x
) e
B
(x
)^
acima definidas:
Derivação de funções definidas por meio de integrais
∫
) (
) (^
(^
x h
x g^
dt t f
x u
∫
∫
∫^
) (
) (^
(^
x h a
a b
b
x g^
dt t f
dt t f
dt t f
(^
x h A
dt t f
x g B
b
∫
(decompondo o intervalo de integração
)
^
Pelo teorema da derivada de funções compostas :
(^
x h A
dt t f
x g B
a^
∫
′^
(^
x h x h A x g x g B x u
(^
) (
) (^
x g x g f x h x h f
dt t f
d dx
x u
x h
x g^
∫
(A
′^ (
x)
=
f
(
x) e
B
′^
(x
)^
= -
f
(
x)
)
Joana Peres / Análise Matemática I
Integrais impróprios
Ao calcular um integral, supusemos sempre que:^
o intervalo de integração [
a
,^
b
] tinha dimensão finita
^
a função integranda não apresentava descontinuidades infinitas (isto é,era limitada) em [
a
,^
b
].
Integrais impróprios do 1º tipo:^
o intervalo de integração tem
dimensão infinita.
^
Exemplos:
∫^
∞
a^
dx x f^
∫^
b ∞−
dx x f^
(^
∫^
∞ ∞−^
(^
dx x f
Integrais impróprios do 2º tipo^
função integranda apresenta
descontinuidades infinitas no intervalo de
integração.
Integrais impróprios do tipo misto^
o intervalo de integração tem
dimensão infinita
^
função integranda apresenta
descontinuidades infinitas no intervalo de
integração.
Joana Peres / Análise Matemática I
∫a
∫^
∞
∫^
∞
Integrais impróprios do 1º tipo
^
Em cada caso a definição do integral impróprio é feita em termos de um (ou mais) limite(s).
Tipos de intervalo de integração infinitos :[a
∞
[
]-
∞
,^
b
]^
] -
∞
∞
[
Caso esse(s)
limite(s) exista(m)
integral impróprio existe
ou
é
convergente
Caso esse(s)
limite(s) não exista(m)
integral impróprio não existe
ou
é
divergente
Joana Peres / Análise Matemática I
Integral impróprio do 1º tipo em
[
a
∞
[
Condição necessária (mas não suficiente!) de convergência deste integral impróprio:
Conclui-se que:
lim
converge
) (^
∞ →
∞
∫^
x f
dx x f^
x
a Teorema
diverge
) (
lim
∫^
∞
∞ →
a
x
dx x f
x f
Exemplo
Analise a convergência dos integrais impróprios do 1º tipo
(^1). 1 1
dx
x
(^9). 1 0
dx
x
lim 10
lim
lim
(^1). 0
1 (^1). 0
1
(^1). 1
def
⎛^ ⎜ ⎝
∞ → ∞ → ∞ →
∫^
t
x
dx
x^
t
t
t
t
t
[^
]^
(^
)^
∞ → ∞ → ∞ →
∫^
lim 10
lim
lim
(^1). 0
1 (^1). 0
1
(^9). 0
def
t
x
dx
x^
t
t
t
t
t
Joana Peres / Análise Matemática I
Integral impróprio do 1º tipo em
[
a
∞
[
Graficamente é impossível detectar se
um integral impróprio do 1º tipo éconvergente ou divergente
excepto quando for evidente quelim
f
x)
0 quando
x
No caso geral:
quando
converge
só,
e
com,
∫^
∞
p
IR
p
a
dx x
a^
p
Joana Peres / Análise Matemática I
Estratégia de demonstração
: estudar separadamente os casos
p
p
< 1 e
p
Integral impróprio do 1º tipo em
]-
∞
∞
[
Se
f
x
) for uma função contínua em todo o eixo real, o integral impróprio de
f^
(x
) em ]-
[, é definido da seguinte forma:
Escolhe-se um número
c
arbitrário
(em geral escolhe-se
c
= 0, por
conveniência de cálculo);
Calculam-se os integrais impróprios do 1º tipo em ]–
,^
c
] e em [
c,
[;
Se estes dois integrais forem
ambos convergentes
,^
independentemente
um do outro
, o integral impróprio em ] -
[ é, por definição, a soma
desses dois integrais:
A interpretação geométrica deste integral em termos de áreas,
quando
convergente
, é análoga à que foi dada nos dois casos anteriores.
O integral impróprio em ]-
[ é
divergente
se um dos dois integrais que
aparecem no 2º membro for
divergente.
Definição
∫
∫
∫^
∞
∞−
∞ ∞−^
c
c
dx x f
dx x f
dx x f^
(^
def
desses
dois integrais:
Joana Peres / Análise Matemática I
Exemplo
Calcule a área delimitada pelo gráfico dee pelo eixo Ox, caso essa área seja finita.
(^
2
x
x
x f
Integral impróprio do 1º tipo em
]-
∞
∞
[
Joana Peres / Análise Matemática I
]^
]
b a
t
dx x f
t B
b t
(^
def
lim
(^
def
t B
dx x f^
a t
b a^
→
≡
Integral impróprio do 2º tipo em
]
a
,^
b
], com
→
lim
x f
a x
Se
f
x
) for uma função contínua em ]
a
,^
b
], com
o integral impróprio de
f
x) neste intervalo é definido em dois passos:
→
lim
x f a x
Exemplo
Analise a convergência dos integrais impróprios do 2º tipo^1 ∫^0
(^1). 1 1
dx
x
(^9). 1 0
dx
x
⎛^ ⎜ ⎝
+^
→
→
→
∫^
lim 10
lim
lim
(^1). 0
0
1 (^1). 0
0
1
(^1). 1
0
def
t
x
dx
x^
t
t
t
t
t
[^
]^
(^
)^
lim 10
lim
lim
(^1). 0
0
1 (^1). 0
0
1
(^9). 0
0
def
+^
→
→
→
∫^
t
x
dx
x^
t
t
t
t
t
Joana Peres / Análise Matemática I
Neste caso, também é impossível
“detectar graficamente” se um integralimpróprio do 2º tipo é convergente oudivergente:
Integral impróprio do 2º tipo em
]
a
,^
b
], com
→
lim
x f
a x
quando
converge
só,
e
com,
0
∫
p
IR
p
b
dx x
b
p
Joana Peres / Análise Matemática I
No caso geral
isto é, quando
p
Nota: se
p
0, o integral
não
é impróprio!)
Estratégia de demonstração
: estudar separadamente os casos 0 <
p
p
= 1 e
p