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Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 120
CAPÍTULO 7 - INTEGRAL DEFINIDA OU DE RIEMANN
7.1- Notação Sigma para Somas
A definição formal da integral definida envolve a soma de muitos termos, para isso introduzimos o conceito de
somatório ( ∑ ).
Exemplos:
n(n 1 ) 1 2 3 4 n k
n
k 1
=
L ~ soma de inteiros sucessivos
n(n 1 )( 2 n 1 ) 1 2 3 4 n k
n
k 1
=
L ~ soma de quadrados sucessivos
A integral de Riemann de uma função f ( )x num intervalo [a ,b], é equivalente à soma de todos os elementos de área
sob a curva f ( )x , ou seja:
onde:
c k coordenada entre x (^) k− 1 e xk
f (c k)ordenada de c k (altura do retângulo)
∆x k =xk−xk− 1 (base do retângulo)
A área do k − ésimo retângulo é dada por Ak = f(c k) ⋅ ∆xx somando-se todas as áreas dos retângulos sob a
curva f ( )x, tem-se uma aproximação (devido às quinas dos retângulos) da área sob a curva. Quanto menor for ∆x k,
melhor é a aproximação.
Assim:
= →
n
k 1
k k ||x|| 0
lim f(c ) x k
∆
= área sob a curva f ( )x= A.
Soma das áreas parciais sob a curva que fornece a área total sob a curva.
Y
X
[c k , f (c k)]
[c n ,f (c n)]
c k
cn
Ak
xk − xk− 1 xn − xn− 1
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 121
7.2- Integral Definida de Riemann
Definição : Seja f ( )x uma função contínua num intervalo [a ,b], então se o limite
= →
n
k 1
k k ||x|| 0
lim f(c ) x k
∆
existe, a função f ( )x é integrável em [a ,b]no sentido de Riemann, e é definida por
= →
b
a
n
k 1
k k ||x|| 0
lim f(c ) x f(x)dx k
∆
onde a integral definida de f ( )x, no intervalo [a ,b], dará uma nova função g ( )x calculada no intervalo [ a ,b], o que é
escrito na forma ( )
b g x a, ou seja, g( x) g(b) g(a) b a =^ − , assim:
f(x)dx g(b) g(a )
b
a
7.3- Teorema Fundamental do Cálculo
Se f for integrável em [a,b] e se F for uma primitiva de f em [a,b], então
f(x)dx [ g(x)] g(x) g(b) g(a)
b
a
b
a
b
∫ = a^ = = −
7.3.1Existência da Integral de Riemann de uma função Contínua
Teoremas
a) Se f ( )x é uma função contínua no intervalo fechado [a , b], então f ( )x é Riemann - integrável em [ a, b].
b) Se f ( )x é uma função limitada e seccionalmente contínua no intervalo fechado [ a, b], então f ( )x é Riemann –
integrável em [ a, b].
Exemplos:
a b
x
y
1
2
f(x)
x 2 +1 ; x> f(x) = 1 se x ≤ 0
1/x ; x> f(x) = 1 se x ≤ 0
a b
x
y
1
f(x)
Função limitada seccionalmente e
Contínua em [^ a, b], é R - integrável
Função ilimitada seccionalmente
em [a ,b], não é R - integrável
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 123
[ ]
u.a. 3
A
A 2.
A 24 x.
A 2. ( 4 x) .( 1 )dx
A 2. 4 xdx
4
0
2
3
4
0
2
1
A 1
4
0
ou
u.a. 3
A
A 2. 8
y A 2. 4 y
A 2 ( 4 y )dy
2
0
3
2
0
2
- Determinar a área limitada pelas curvas y 2 = 4ax; x + y = 3a; y = 0; primeiro quadrante e “a” positivo.
- Pontos de interseção - Área
x
y = 0
3a a
4 a
y x
2
x = 3 a− y
y
y' 6 a
y 2 a
4 a 8 a y
4 a 16 a 48 a y
y 4 ay 12 a 0
y 12 .a 4 ay 0
y 4 a( 3 a y)
x y 3 a x 3 a y
y 4 ax
2 2
2 2
2 2
2
2
u.a. 3
10 .a A
a 3
A 4 a
. 8 a 12 a
A 6 a 2 a
12 a
y
2
y A 3 ay
)dy 4 a
y A ( 3 a y
2
2 2
2 2 3
2 a
0
2 3
2 a
0
2
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 124
5) Calcule a área compreendida entre o eixo X e a curva ( ) (x 2 x 8 )
f x
2
= − + entre [− 2 , 4 ].
O gráfico da curva é:
− −
8 x 2
x 2 3
x
8
x x 8 dx 8
4 3 2 3 2
2
4 3 2
2
2
3 2 3 2
- Avalie diretamente a integral de Riemann dada pelo cálculo de um limite das somas de Riemann. Use partições
cosntituídas de subintervalos de comprimentos iguais e use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme esteja
indicado.
a.
2
0
3 x dx (retângulos inscritos)
b.
−
0
2
2 x dx(retângulos circunscritos)
c. ( )
2
0
3 x 2 dx(retângulos inscritos)
d. ( )
−
−
1
2
2 x x 2 dx(retângulos inscritos)
7.4- Propriedades Básicas da Integral Definida
- Integral de uma função constante
Se f ( )x = k, k constante, então f (x)dx kdx kx k(b a)
b a
b
a
b
a
, como mostra a Figura
Área sob uma função constante.
Y
X
a b b −a
f ( )x =k
A
2) Homogeneidade
b
a
b
a
kf (x)dx k f(x)dx, onde k é uma constante
-2 -1 0 1 2 3 4 X
Y
f( )x
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 126
(ii) Se a > b e f é Riemann - integráveis em [b, a], então definimos:
a
b
b
a
f(x)dx f(x)dx
7.5- Teorema do Valor Médio para Integrais
Se f é contínua em [a,b], então existe um número c em [a,b] tal que
f( c ).(b - a) =
b
a
f (x)dx ou
f( c ) = b a
b
a
f(x)dx
min f ≤ c ≤ max f
obs: A área sob a curva y = f(x) entre x = a e x = b é igual a área do retângulo cuja base é (b-a) e altura f(c).
Ex: Seja f(x) = x 2 , achar c no intervalo [1,4]
f( c ) = 4 1
4
1
2 x dx= ( 21 ) 7 3
x
3
3 3 3 =^ =
Logo f( c ) = c
2
= 7 → c = 7 = 2,65 (1 ≤ 2,65 ≤ 4)
7.6- Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)
A primeira parte deste teorema afirma que as operações de diferenciação (derivação) e integração são inversas
uma da outra, isto é, diferenciação desfaz a integração e vice-versa.
O enunciado do TFC é composto de duas partes. Assim, se f é contínua num intervalo I tal que a ∈I e b ∈I, e seja x ∈I,
então:
a parte : dx
dy = f(t)dt f(x) dx
d
x
a
"a derivada da integral é o integrando"
onde y =
x
a
f(t)dt
a parte : Se g é uma primitiva (anti-derivada) de f, de tal forma que g'(x) = f(x), então
f(x)dx g(b) g(a )
b
a
, para todo x em [a,b]
Exemplos: (
a parte) Calcular
a) Se y =
x
0
2 ( 2 t t 1 )dt, calcular dx
dy .
dx
dy = ( 2 t t 1 )dt 2 x x 1 dx
d (^2)
x
0
2 − + = − +
f
a c b
f(c )
y
x
Ponto c do teorema do valor
médio
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I 127
b) Se y =
x
0
3
dt t 1
, calcular dx
dy .
dx
dy
x 1
dt t 1
dx
d 3
x
0
3
c) Se y =
x^2
0
25 ( 5 t 7 ) dt, calcular dx
dy .
Fazendo u = x
2
→ du = 2xdx →
dx
du = 2x
Por enquanto, podemos calcular du
dy
du
dy
25
u
0
25 ( 5 t 7 ) dt ( 5 u 7 ) du
d
2 25 ( 5 x + 7 ) (voltando o valor u = x
2 )
logo:
2 25 ( 5 x 7 ) du
dy = +
Aplicando a Regra da Cadeia, temos:
dx
du . du
dy
dx
dy = =
2 25 ( 5 x + 7 ) (2x) → dx
dy
2 25 ( 5 x + 7 ) (2x)
Exemplos de Integrais Definidas ( a parte do TFC)
a)
1
0
2 ( x 1 )dx=
x 3
x 3 3 3 = 3
b)
4
1
dx x
1 x
4
1
dx x
x
x
−
4
1
2
1 2
1 x x dx
x 3
2 x 1
x
x (^21232)
3 2
1
3 2
1 2
3 2
1
. 1 3
Observações:
01 / 2 1 / 2 1 / 2 x x x
x
(1 = x 0 )
x
x
x (^) − + = = =
1/ = ( 2 (1/2) ) = 2
3/ = ( 2 (3/2) ) = 2 3 = 8
