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O arquivo contém funções logicas, tabela verdade, postulados, propriedades, teoremas, formas canonicas e simplicações.
Tipologia: Notas de estudo
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Não perca as partes importantes!
George Boole desenvolveu no século XIX a álgebra necessária à investigação das leis fundamentais das operações da mente humana ligadas ao raciocínio.
Fig. 2.1 - George Boole (1814-1864). George Boole (1814-1864) foi um matemático e filósofo britânico, criador da Álgebra Booleana, base da actual aritmética computacional.
O objectivo da Álgebra de Boole passa pela definição de uma série de símbolos, com a finalidade de representar objectivos ou fenómenos que, encadeados convenientemente, dão lugar a expressões matemáticas mais complexas denominadas funções.
Enquanto que a álgebra tradicional opera com relações quantitativas, a álgebra de Boole opera com relações lógicas. Como exemplo podemos considerar os operadores “ + ” e “ x ”, e verificar que possuem significados diferentes conforme sejam utilizados na álgebra tradicional ou na Álgebra Booleana.
Operador Álg. Tradicional Álg. Booleana
Tab. 2.1 – Operadores lógicos.
Enquanto que na álgebra tradicional as variáveis podem assumir qualquer valor, na álgebra booleana, as variáveis, aqui denominadas por variáveis binárias, apenas podem assumir um de dois valores binários. Estes valores binários não exprimem quantidades mas apenas, e só, estados do sistema.
A importância da lógica booleana no mundo digital é hoje indiscutível, sendo utilizada em áreas tão diversas como as memórias digitais; os circuitos discretos; ou os microprocessadores.
Nota : A multiplicação entre 2 variáveis a e b é frequentemente representada por um asterisco (“ * ”), ou
Função lógica binária
A toda a variável binária, cujo valor depende de uma expressão algébrica, formada por outras variáveis binárias relacionadas por operadores lógicos, dá-se o nome de função lógica. Temos como exemplo a Eq. 2.1, onde S representa a variável binária dependente e a , b e c as variáveis binárias independentes.
O número de linhas de uma tabela de verdade é dado por 2 N, onde N é o número de variáveis binárias independentes, garantimos assim todas as combinações possíveis das variáveis independentes.
A tabela de verdade representa o estado da variável binária dependente em função das variáveis binárias independentes. Para todas as combinações possíveis de estados das variáveis binárias independentes existe um estado da variável binária dependente.
Como exemplo podemos ver a tabela de verdade da Tab. 2.2 que representa a
independentes é 3 ( a, b e c ), logo a tabela tem 2^3 = 8 linhas.
a b c S 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 Tab. 2.2 – Tabela de verdade.
A seguir apresentamos as funções booleanas básicas e as respectivas tabelas de verdade.
Função igualdade
S(a) = a
a S 0 0 1 1
Função união [OR] (soma lógica) S(a,b) = a + b a b S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
Função intersecção [ AND] (multiplicação lógica)
S(a,b) = a*b a b S 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
Função negação [NOT ] (complementar lógico)
S(a) = a a S 0 1 1 0
Função negação da intersecção [NAND]
S(a,b) = a ⋅ b a b S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
Função negação da reunião [NOR]
S = a + b a b S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
Postulado 6 (Lei do elemento complementaridade para a soma lógica)
A soma lógica de uma variável binária mais a negação da mesma variável binária equivale a 1 lógico, ou,
a + a = 1. Eq. 2.
Postulado 7 (Lei do elemento complementaridade para a multiplicação lógica)
O produto lógico de uma variável binária mais a negação da mesma variável binária equivale a 0 lógico, ou,
a ⋅ a = 0. Eq. 2.
Postulado 8 (Lei da involução)
Se uma variável binária é negada duas vezes esta não varia, ou, a = a. Eq. 2. Este postulado é válido para qualquer número par de negações.
Postulado 9
Se os dois membros de uma igualdade forem negados, esta não sofre qualquer alteração, ou seja,
S ab S a b
S a b S a b = ⋅ ⇒ = ⋅
= + ⇒ = + Eq. 2.
Propriedade comutativa
ab b a
a b b a ⋅ = ⋅
Propriedade associativa
Propriedade distributiva
Teorema 1 ( Lei da absorção )
Eq. 2.
Teorema 2
Eq. 2.
Teorema 3 ( Leis de De Morgan ou Princípio da dualidade )
canónica se S estiver escrita como a soma de produtos, nos quais aparecem todas as variáveis binárias em cada um dos termos (parcelas ou MINTERMS) que constituem a expressão, em forma directa ou complementada (i.e., negação).
forma canónica.
canónica se S estiver escrita como produto de somas, nos quais aparecem todas as variáveis binárias em cada um dos termos (factores ou MAXTERMS) que constituem a expressão, em forma directa ou complementada (i.e., negação).
É muito importante simplificar as funções lógicas obtidas da tabela de verdade. Quanto mais simples for a expressão obtida, menor será o número de componentes a utilizar na sua implementação.
Uma forma de simplificar o número de termos de um função é através da álgebra de Boole, o que requer muita experiência. Existem, no entanto, outros métodos igualmente eficazes, são eles: o método gráfico ou de Karnaugh e o método numérico de Quine- McCluskey.
Simplificação pelo método algébrico
Não existem regras rígidas existindo por isso a necessidade de recorrer às regras já apresentadas: postulados; propriedades e teoremas da álgebra de Boole.
Exemplo B :
Podemos transformar qualquer função lógica, seja qual for a forma em que está escrita, numa representação na forma canónica, tanto soma de produtos como produto de somas.
Na ausência de metodologias, bem definidas, temos que utilizar a álgebra de Boole de uma forma racional. Como exemplo de aplicação do método temos.
Exemplo C : Simplificar a seguinte expressão
Para se passar para a 1ª forma canónica observamos que no primeiro termo ( MINITERM ) falta a variável “ c ” e no segundo termo ( MINITERM ) falta a variável “ b ”.
termo. Logo,
e, usando a propriedade distributiva (Eq. (2.13)) e desenvolvendo temos F na 1ª forma canónica :
Para se passar para a 2ª forma canónica observamos que no primeiro termo ( MAXTERM ) faltam as variáveis “ b ” e “ c ” e no segundo termo ( MAXTERM ) falta a variável “ a ”.
segundo termo. Logo,
e, usando a propriedade distributiva (Eq. (2.13)), obtém-se:
que desenvolvendo nos dá:
a b c a b c a b c a b c a b c a b c
F a b c c a b c c a b c a b c = + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + +
que ainda pode ser reduzida visto que o MAXTERM ( a + b + c ) aparece 2 vezes e
portanto pode ser eliminado. Logo, F na 2ª forma canónica:
F =( a + b + c )⋅( a + b + c )⋅( a + b + c )⋅( a + b + c )⋅( a + b + c )
Entretanto, as formas canónicas não são, em geral, as mais simples expressões para uma função lógica.
Há outros métodos para simplificar funções lógicas que estejam escritas em uma das duas formas canónicas e um destes métodos, o método gráfico de Karnaugh, é o que veremos a seguir.
Exemplo D : Considere a função lógica F = f ( a , b , c , d )abaixo na 1ª forma canónica:
cuja tabela da verdade é dada abaixo:
a b c d F 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
Construindo-se o mapa abaixo (com 2^4 = 16 células), temos:
E portanto, após agruparmos os 1’s em blocos de 2, temos a expressão de F simplificada:
que pode ser representada pelo seguinte circuito da Fig. 2.5.
Fig. 2.5 – Sistema de controlo industrial típico.
Exemplo F : Considere a função lógica F = f ( a , b , c , d ) abaixo na 1ª forma canónica:
cuja tabela da verdade é dada abaixo:
a b c d F 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
teremos então outra expressão de F simplificada:
F = b ⋅ c ⋅ d + a ⋅ b ⋅ c + a ⋅ c ⋅ d
que pode ser realizada na forma de circuito como:
Fig. 2.7 – Sistema de controlo industrial típico.
