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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matem´atica - Area II´
3 o^ Exerc´ıcio Escolar de Algebra Linear´ 20/04/
SEGUNDO SEMESTRE DE 2005
Considere os espa¸cos vetoriais com os respectivos produtos internos
canˆonicos.
1 a^ quest˜ao. Considere V = R^4 , e W = {(x, y, z, t) ∈ R^4 : x − y + z = 0 e x + t = 0}.
(a) Determine uma base ortonormal de W. (0.75 ponto)
(b) Determine uma base ortonormal de W ⊥. (0.75 ponto)
Solu¸c˜ao: Para solucionar os ´ıtens (a) e (b), determinaremos uma base para W , completaremos `a uma base de R^4 e aplicaremos o processo de ortonorma-
liza¸c˜ao de Gram-Schmidt.
O subespa¸co W ´e dado pelo seguinte sistema de equa¸c˜oes lineares: { x − y + z = 0 x + t = 0
cujas solu¸c˜oes s˜ao geradas, p.e., por v 1 = (− 1 , − 1 , 0 , 1) e v 2 = (0, 1 , 1 , 0).
Para completar o subconjunto {v 1 , v 2 } (que ´e uma base de W !) a uma base
de R^4 , sejam v 3 = (1, − 1 , 1 , 0) e v 4 = (0, 1 , − 1 , 1)^1. Aplicando o processo de ortonormaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt em v 1 , v 2 , v 3 e v 4 ,
w 1 = v 1 = (− 1 , − 1 , 0 , 1)
w 2 = v 2 −
〈v 2 , w 1 〉
〈w 1 , w 1 〉
w 1
w 3 = v 3 −
= 〈v 3 , w 1 〉
〈w 1 , w 1 〉
w 1 −
= 〈v 3 , w 2 〉
〈w 2 , w 2 〉
w 2
w 4 = v 4 −
= 〈v 4 , w 1 〉
〈w 1 , w 1 〉
w 1 −
= 〈v 4 , w 2 〉
〈w 2 , w 2 〉
w 2 −
〈v 4 , w 3 〉
〈w 3 , w 3 〉
w 3
Assim, obtemos {w 1 , w 2 , w 3 , w 4 } base ortogonal de R^4 , com w 1 , w 2 base or-
togonal de W e w 3 , w 4 formando base ortogonal de W ⊥. Fazendo ui =
wi ‖wi‖ , i = 1, 2 , 3 , 4:
u 1 =
(− 1 , − 1 , 0 , 1), u 2 =
u 3 =
(1, − 1 , 1 , 0), u 4 =
(^1) n˜ao haver´a preocupa¸c˜ao em mostrar que obtivemos uma base, pois caso isto n˜ao fosse verdade o
algoritmo de Gram-Schmidt retornaria vetor(es) nulo(s)
Explicitamente,
B 1 = {u 1 , u 2 }, ´e base ortonormal de W , e
B 2 = {u 3 , u 4 }, ´e base ortonormal de W ⊥.
(c) Determine as coordenadas de um vetor v = (x, y, z, t) em rela¸c˜ao `a base B de V formada pela uni˜ao das bases encontradas nos ´ıtens (a) e (b). (0.75 ponto)
Solu¸c˜ao: Para todo v ∈ R^4 temos
v = (x, y, z, t) = a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 + a 4 u 4 , (1)
mas como B = B 1 ∪ B 2 = {u 1 , u 2 , u 3 , u 3 } ´e uma base ortonormal de R^4 , temos que cada ai em (1) ´e o coeficiente de v relativamente a cada vetor ui de B.
Logo,
a 1 = 〈v, u 1 〉 =
(x, y, z, t),
(−x − y + t)
a 2 = 〈v, u 2 〉 =
(x, y, z, t),
(−x + 2y + 3z + t)
a 3 = 〈v, u 3 〉 =
(x, y, z, t),
(x − y + z)
a 4 = 〈v, u 1 〉 =
(x, y, z, t),
(2x + y − z + 3t)
(d) Mostre que [I]CB ´e ortogonal, onde B ´e a base no item (c) e C ´e a base canˆonica
de R^4. (0.75 ponto)
Solu¸c˜ao: Note que [I]CB ´e a matriz de mudan¸ca de bases ortonormais, repre-
sentando, assim, um operador (isomorfismo) ortogonal!
2 a^ quest˜ao. Seja P : R^3 −→ R^3 a proje¸c˜ao sobre W = {(x, y, z) ∈ R^3 : x−y = 0 e x+y +z = 0}.
(a) Encontre uma base ortonormal de W e de W ⊥. (0.75 ponto)
Solu¸c˜ao: W ´e descrito como o conjunto de solu¸c˜oes do sistema linear dado por: (^) { x − y = 0 x + y + z = 0
cujas solu¸c˜oes s˜ao geradas pelo vetor v 1 = (− 1 , − 1 , 2), por exemplo. Como na
primeira quest˜ao, obtemos v 2 , v 3 ∈ W ⊥, usando Gram-Schmidt, por exemplo. Sem mais delongas, v 2 = (− 1 , 1 , 0) e v 3 = (1, 1 , 1) geram W ⊥. Note que vi ⊥ vj ,
i 6 = j, logo,
u 1 = (^) ‖vv^1 1 ‖^
= √^1
6
forma uma base ortonormal de W e
u 2 =
v 2 ‖v 2 ‖ =^
√^1 2
(− 1 , 1 , 0), u 3 =
v 3 ‖v 3 ‖ =^
√^1 3
formam uma base ortonormal de W ⊥
5 o^ Passo. (25˜y^2 + 150˜y) + 200˜x + 90 = 0
˜y +
25(˜y + 3)^2 + 200˜x = 135
Fazendo ̂x = ˜x e ̂y = y˜ + 3, obt´em-se:
25 ̂y^2 + 200̂x = 135 ⇒ ̂y^2 + 8̂x =
a ´ultima equa¸c˜ao tem a forma cl´assica de uma par´abola.
Observa¸c˜ao: com escolhas diferentes, tanto na ordem dos autovalores,
quanto na escolha da base de autovetores poder´ıamos tamb´em se chegar `as seguintes formas canˆonicas:
̂ y^2 − 8 ̂x =
27 5 ,^ ̂x
(^2) + 8ŷ = 27 5 ,^ x̂
(^2) − 8 ŷ = 27
Figure 1: Em (i) primeira mudan¸ca de coordenadas (rota¸c˜ao dos eixos: onde θ =
arccos(4/5) e θ = arcsen(3/5)); em (ii) segunda mudan¸ca de coordenadas (transla¸c˜ao dos eixos); e em (iii) esbo¸co da cˆonica dada pela equa¸c˜ao 9x^2 + 24xy + 16y^2 + 250x + 90 = 0.
F PAZ! F
