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Universidade Federal de Pernambuco
Terceira avalia¸c˜ao de ´Algebra Linear - 2009.
Gabarito
CCEN - Depto. Matem´atica - Area II´
Quest˜ao 1. Considere em <^3 o produto interno
〈(a 1 , b 1 , c 1 ), (a 2 , b 2 , c 2 )〉 = 2a 1 a 2 − a 1 b 2 − a 2 b 1 + b 1 b 2 + c 1 c 2
a) (1.0) Determine o ˆangulo entre os vetores ~u = (1, 1 , 0) e ~v = (1, 1 ,
cos θ = 〈(1,^1 ,0),(1,^1 ,
√ 3)〉 ‖(1, 1 ,0)‖·‖(1, 1 ,√3)‖ =^ √^1 1 ·√ 4 =^
1 2 ⇒^ θ^ =^
π 3
b) (2.0) Ortogonalize a base γ = {(1, 0 , 0), (0, 2 , 0), (0, 1 , 1)}. Usando o processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt. ~v 1 = (1, 0 , 0) ~v 2 = (0, 2 , 0) − 〈〈(0(1,,^20 ,,0)0),,(1(1,,^00 ,,0)0)〉〉 (1, 0 , 0) = (0, 2 , 0) − − 22 (1, 0 , 0) = (1, 2 , 0) ~v 3 = (0, 1 , 1) − 〈〈(0(1,,^12 ,,1)0),,(1(1,,^22 ,,0)0)〉〉 (1, 2 , 0) − 〈〈(0(1,,^10 ,,1)0),,(1(1,,^00 ,,0)0)〉〉 (1, 0 , 0) = (0, 1 , 1) − 12 (1, 2 , 0) − − 21 (1, 0 , 0) = (0, 0 , 1) γ′^ = {(1, 0 , 0), (1, 2 , 0), (0, 0 , 1)}
c) (1.0) Seja W ⊂ <^3 o subespa¸co gerado W = [(0, 1 , 0), (− 1 , 0 , 1)]. Encontre seu complemento ortogonal W ⊥. ∀(x, y, z) ∈ W ⊥ 〈(x, y, z), (0, 1 , 0)〉 = 0 ⇒ −x + y = 0 ⇒ x = y e 〈(x, y, z), (− 1 , 0 , 1)〉 = 0 ⇒ − 2 x + y + z = 0 ⇒ −y + z = 0 ⇒ z = y (y, y, y) ∈ W ⊥, ∀y ∈ <, ou W ⊥^ = [(1, 1 , 1)]
Quest˜ao 2. Seja T : <^3 → <^3 o operador linear dado por
T (x, y, z) = (x − z, 2 y, −x + 3z).
Seja α a base canˆonica do <^3.
T (1, 0 , 0) = (1, 0 , −1)
T (0, 1 , 0) = (0, 2 , 0)
T (0, 0 , 1) = (− 1 , 0 , 3)
⇒ [T ]αα =
^.
Version 1.2 15 de junho de 2009
Onde cada coluna i ´e dada por [T (ei)]α, para ei vetor de α.
a) (0.5) T ´e um operador auto-adjunto? (justifique) Sim, pois o operador T tem matriz [T ]αα sim´etrica numa base ortonormal (a canˆonica). b) (0.5) T ´e um operador ortogonal? (justifique) N˜ao, pois o det([T ]αα) = 4 6 = +1 ou − 1. Outras justificativas s˜ao o fato de suas colunas nem linhas n˜ao formarem um conjunto ortonormal, ou ainda [T ]αα · ([T ]αα)′^6 = I. c) (0.5) T ´e diagonaliz´avel? (justifique) Sim, pois todo operador auto-adjunto possui uma base de autovetores, ´e diagonaliz´avel.
Quest˜ao 3. (1.0) Escreva na forma matricial a forma bilinear
B((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) = x 1 y 1 + 2x 1 y 2 + 3x 2 y 1 − x 2 y 2.
Como B((1, 0), (1, 0)) = 1, B((1, 0), (0, 1)) = 2, B((0, 1), (1, 0)) = 3 e
B((0, 1), (0, 1)) = −1 temos:
B((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) =
[ x 1 x 2
] ·
1 2 3 − 1
·
y^1 y 2
Quest˜ao 4. Seja o conjunto de pontos (x, y, z) ∈ <^3 cujas coordenadas em rela¸c˜ao a base canˆonica satisfazem a equa¸c˜ao
2 x^2 + 2y^2 − z^2 − 6 xy +
2 x −
2 y = 0
a) (2.5) Encontre uma equa¸c˜ao reduzida deste conjunto e o classifique. Na forma matricial temos:
[ x y z
] ·
x
y z
[ √
] ·
x
y z
Seja A a matriz da forma bilinear sim´etrica associada `a forma quadr´atica. det(A − λI) = (2 − λ)^2 (− 1 − λ) − 9(− 1 − λ) = (− 1 − λ)((2 − λ)^2 − 9) = (− 1 − λ)(− 1 − λ)(5 − λ) = 0, assim λ 1 = λ 2 = −1 e λ 3 = 5. Encontrando os autovetores:
^ ·
x
y
z
^ =^ λ
x
y
z
