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I. Produto interno:
É uma operação entre vetores que é característico de cada espaço vetorial. Essa operação “pega” dois vetores e “retorna” um número real. Representamos o produto interno entre dois vetores, v e w, por.
Existem diversos “produtos” entre vetores retornando números reais, mas para que ele seja interno é necessário que as seguintes condições sejam satisfeitas:
Para vetores e :
a) ; b) ; c) ; d).
Obs.: Quando não é mencionado o produto interno, usa-se o produto interno canônico , que é o produto escalar visto em Geometria Analítica e Física I.
Ex.: Seja e o produto interno usual (canônico) entre eles é .
II. Módulo de um vetor:
Para este assunto é melhor “esquecer” que módulo de um vetor refere-se ao „tamanho‟ dele. O módulo de um vetor é uma característica do próprio em relação a um determinado produto interno. Um mesmo vetor pode ter „módulos‟ diferentes, dependendo dos produtos internos usados, e por isso a ideia de „tamanho‟ acabaria confundindo um pouco.
O módulo de um vetor é definido como: (pela propriedade „d‟ do
produto interno, temos a garantia de que ).
III. Ângulo entre dois vetores:
Assim como o módulo, o ângulo entre dois vetores depende do produto interno em questão. Sabe-se da Geometria Analítica que:
Onde é o menor ângulo formado entre os vetores. Portanto:
IV. Ortogonalidade de vetores:
Dois vetores são ditos ortogonais quando fazem um ângulo de 90º entre si, portanto vai depender do produto interno mas, garantidamente, eles serão ortogonais se o produto interno entre eles for zero (cos90º = 0). Ou seja, são ortogonais se:
IMPORTANTE: Uma base é dita ORTOGONAL se todos os seus vetores são ortogonais entre si. É preferível que se trabalhe com bases ortogonais, pois facilita as contas.
Obs.: O vetor nulo é ortogonal a TODOS os vetores, inclusive a ele mesmo.
V. Normalização de vetores:
Como a aparição de módulos de vetores é bastante regular nas contas, costuma-se trabalhar com vetores „normalizados‟, ou seja, vetores que possuem módulo igual a um.
Para normalizar um vetor basta dividir o próprio vetor pelo seu módulo. Seja um vetor
não normalizado, o vetor unitário (ou normalizado) é:.
IMPORTANTE: Uma base é dita NORMAL se todos os seus vetores são normalizados.
IMPORTANTE: Uma base é dita ORTONORMAL se for simultaneamente ORTOGONAL e NORMAL.
VI. Processo de ortogonalização de vetores (Gram-Schmidt):
Um método de se achar uma base ortogonal é através do processo de ortogonalização de vetores de Gram-Schmidt onde, a partir de vetores quaisquer, você vai obtendo vetores
ortogonais entre si. Para se ter uma ideia geométrica, tomemos o espaço vetorial e o produto interno usual (ou canônico). Sejam dois vetores quaisquer, a ideia é obter um vetor , ortogonal a a partir de e de sua projeção sobre. Segue na figura abaixo a ideia:
Vetorialmente:
;
E, pela figura: assim como.
O processo de Gram-Schmidt é baseado na mesma ideia, mas extendida para até dimensões.
Seja uma base qualquer, queremos achar uma base ortogonal
. A “fórmula” de Gram-Schmidt fica então:
Ou seja, primeiro escolhemos um vetor qualquer de para ser o vetor e, a partir dele, obtemos os outros vetores da base ortogonal (o somatório faz o papel do da figura).
quando se troca o „i‟ pelo „1‟, a nona coordenada é quando se troca o „i‟ pelo „9‟ e assim por diante) é obtida através da „fórmula‟:
E essa „fórmula‟ é conhecida como „coeficiente de Fourier do vetor em relação ao vetor ‟.
Ex.: Quais as coordenadas do vetor em relação à base ?
A primeira coisa a se fazer é analisar se a base é ortogonal para verificar a validade no método de Fourier. Como não foi mencionado, o produto interno em questão é o canônico.
Analisando os vetores aos pares:
i). Os vetores são ortogonais entre si. ii). Os vetores são ortogonais. iii). Os vetores são ortogonais.
Então a base é ortogonal, o que permite a utilização do método de Fourier para obtenção das coordenadas.
i) A primeira coordenada:
ii) A segunda coordenada:
iii) A terceira coordenada:
Logo, um vetor qualquer tem coordenadas em relação à base :
IMPORTANTE: Esse modo de se obter a coordenada é EXCLUSIVAMENTE quando a base em questão é ortogonal (ou ortonormal).
Obs.: Se a base for ortonormal , repare que para qualquer , portanto a coordenada se resume a.
VIII. Complemento ortogonal de um subespaço:
Como o próprio nome diz, o complemento ortogonal de um subespaço é o complemento dele (ou seja, um outro subespaço do mesmo espaço vetorial) que é formado apenas por vetores ortogonais aos vetores do subespaço.
Ou seja:
Se é um subespaço de , dizemos que o complemento ortogonal de , representado por é o conjunto de vetores de que são ortogonais a todos os vetores de. Resumidamente:
Obs.: Como o vetor nulo é ortogonal a todos os vetores (inclusive a ele próprio), ele pertence tanto a quanto a. Portanto.
Obs².: Os vetores de e de somados resultam em qualquer vetor de. Dizemos portanto que a soma direta de e é :. Essa observação é especialmente importante pois nos garante que e, sendo base de e base de , podemos garantir que uma base de será (para o caso particular de e serem ortogonais/ortonormais, também será).
Um passo-a-passo pode ser montado para se determinar o complemento ortogonal de um subespaço. Seja um espaço vetorial e um subespaço de :
1) Determinar o subespaço e uma base dele; 2) A condição para que um vetor de seja ortogonal a qualquer um dos vetores de é simplesmente que ele seja ortogonal (produto interno igual a zero) simultaneamente a todos os vetores da base de ; 3) Fazer a condição de.
Ex.: Seja o espaço vetorial das matrizes 2 por 2 e , determine:
a) O complemento ortogonal de. b) Uma base de. c) Uma base de V.
Para responder, basta seguir o passo-a-passo anterior:
a) Passo-a-passo do complemento ortogonal:
- já está determinado, falta achar uma base: O vetor na forma mais geral é.
Separando as „letras‟:.
Colocando em „evidência‟:.
Como e são LI, formam uma base de.
ii) ; iii).
Lembrando que. Então:
que é uma matriz simétrica (números coloridos).
Como a matriz de transformação do operador com relação a uma base ORTONORMAL é simétrica, o operador é auto-adjunto.
Obs.: O fato de um operador ser auto-adjunto GARANTE que existe uma base ortonormal de autovetores. Pode ser obtida calculando-se os autovalores e assim os autovetores associados como na unidade anterior. Os autovetores de operadores auto-adjuntos são SEMPRE ortogonais, bastando portanto normalizar a base de autovetores para obter a base ortonormal. Com isso, é garantia que se pode diagonalizar este operador.
Obs².: Daí se tira o passo-a-passo para se determinar se o operador é auto-adjunto:
- Determinar uma base ortonormal ;
- Fazer a matriz de transformação dos vetores da base;
- Ver se a matriz é simétrica. Caso seja, então T será auto-adjunta.
X. Operador (e matriz) ortogonal:
Um operador é dito ortogonal quando ele preserva o módulo de um vetor. Ou seja:
Além disso, ele preserva o produto interno entre dois vetores. Ou seja:
Existem ainda outros dois métodos de se determinar se um operador é ortogonal:
i) Se a matriz transposta da transformação for igual à matriz inversa da transformação. Ou seja:
ii) Se as colunas da matriz de transformação (em relação a uma base ortonormal) formam uma base ortonormal em relação ao produto interno usual. Exemplo: Seja uma base ortonormal.
Seja , se forem tomados os vetores
, eles formam uma base ortonormal (VERIFIQUE).
Obs.: Uma matriz é dita ortogonal se ela define um operador ortogonal (basta verificar as condições anteriores).
Obs².: Para esta parte existem várias formas de se determinar se o operador é ortogonal (utilizando as condições dadas anteriormente), abaixo estão dois passo-a-passos possíveis:
i) Se você tem a matriz: a) A matriz tem que ser em relação a uma base ortonormal (se não for, basta obter uma através desta primeira); b) Verificar se as colunas formam uma base ortonormal em relação ao produto interno usual. ii) Se você tem a transformação linear definida: a) Verificar se um vetor (na forma mais geral ) tem seu módulo preservado. Ou seja, se.
Ex.: Diga se a matriz A é ortogonal:
Como temos a matriz, basta verificar se as colunas formam uma base ortonormal com relação ao produto escalar.
i) Coluna 1: ; ii) Coluna 2: ; iii) Coluna 3:.
Já está verificado que são normais, resta agora saber se são ortogonais entre si:
i) Colunas 1 e 2: ; ii) Colunas 1 e 3: ; iii) Colunas 2 e 3:.
Foi verificado que as colunas formam uma base ortonormal em relação ao produto escalar, então a matriz é ortogonal.
IMPORTANTE: Se a matriz caracterizasse uma transformação, esta seria ortogonal APENAS SE ESSA MATRIZ FOSSE EM RELAÇÃO A UMA BASE ORTONORMAL.
Ex².: Seja com produto interno usual onde. Diga se T é ortogonal.
Como temos a transformação linear definida, basta verificar (literalmente) se o módulo do vetor é preservado:
b) Calcula a projeção pela fórmula: , onde: Projeção do vetor sobre o subespaço ; Base ortogonal (ou ortonormal) de.
Obs.: Se for pedido a projeção de um subespaço sobre outro, é só usar o vetor na forma mais geral no lugar de.
Ex.: Seja , ache e depois ache.
Aplicando o passo-a-passo:
a) Achar uma base ortonormal (pode ser ortogonal, mas normalizar facilita as contas): i) Condição: a forma mais geral de um vetor de é ; ii) “Separando por letras”: (já está separado); iii) Colocando em evidência: Então é um gerador e, por ser LI a si mesmo, é uma base ortogonal (como é único é ortogonal); iv) Normalizando: ;
v) é base ortonormal de. b) Como estamos pedindo de um espaço, pegamos o vetor mais geral do espaço. No caso, e. Aplicando a “fórmula” de projeção (como está normalizada, : . c) Substituindo por :
Como dito antes, a projeção de um vetor sobre o subespaço em que ele está contido (repare que ) é ele mesmo, pois se trata de um autovetor associado ao autovalor.
XII. Reflexão:
Na reflexão de um vetor em relação a outro subespaço, é como se o subespaço funcionasse como um espelho e nós estivéssemos interessados no reflexo.
A figura abaixo serve para dar uma noção geométrica, tomando um vetor em (de vermelho) e uma reta. Acha-se a reflexão (em azul) em torno da reta.
A reflexão de um vetor do subespaço no próprio subespaço é ele mesmo.. Então os vetores de (exceto o vetor nulo) são autovetores associados ao autovalor. A reflexão em de um vetor ortogonal ao subespaço (ou seja, um vetor de ) é o seu oposto.
. Então os vetores de são autovetores associados ao autovalor.
IMPORTANTE: Passo-a-passo para se achar reflexão de um vetor em um subespaço :
a) Calcular a projeção ortogonal do vetor sobre o subespaço; b) Aplicar a “fórmula”: ;
A explicação para a fórmula vem da figura abaixo (foi usado para dar a ideia geométrica, mas a ideia é a mesma para qualquer subespaço).
Se um vetor (em vermelho) for decomposto em sua componente vertical (roxo) e horizontal (verde projeção do vetor em π) e for feito a reflexão em relação à reta, é fácil notar que, por soma vetorial:
Além de:
Substituindo a primeira igualdade na segunda:
IMPORTANTE: Existe um outro passo-a-passo para se resolver esse tipo de problema. Se der preguiça de calcular a projeção (muito embora esse método também tenha muito cálculo), a reflexão de um subespaço em um subespaço :
a) Encontrar uma base ortogonal do subespaço ; b) Encontrar uma base ortogonal do complemento ortogonal do subespaço ; c) Fazer a base do subespaço ser a união das duas bases encontradas; d) Escrever o vetor mais geral de como combinação linear de sua base (os coeficientes que multiplicam os vetores da base devem ser deixados em função das entradas do vetor mais geral); e) “Aplicar” o operador reflexão dos dois lados da combinação linear;
Obs.: Mais uma vez, se for pedido um vetor específico ou de um subespaço inteiro, basta alternar no uso do vetor ou do vetor na forma mais geral.
Obs².: Eu aconselho usar o primeiro método (=P).
e) “Aplicar” o operador reflexão dos dois lados da combinação linear:
Como se trata de uma transformação linear, podemos aplicar as propriedas aqui (vide resumo da 2ª unidade):
Substituindo os valores de e :
Vale agora lembrar que, como o vetor , a reflexão de um vetor em relação ao seu próprio subespaço é ele mesmo (autovetor associado ao autovalor ), portanto:
Como o vetor , a reflexão de um vetor do complemento ortogonal de um subespaço em relação ao subespaço é seu oposto (autovetor associado ao autovalor ), portanto:
Então temos no fim que:
Para o vetor específico (4,-2):
XIII. Cônicas:
Chamamos de cônica um conjunto de pontos do plano que satisfazem a equação:
E pode ser representado por uma matriz associada ao vetor correspondente ao ponto, onde a matriz é:
Assim, a cônica pode ser escrita na forma matricial:
Como pode ser observado, a matriz está determinada para a base canônica de (espaço ao qual pertence o vetor ) que é ortonormal. Além disso ela é simétrica. Portanto admite uma base de autovetores ortonormais.
Rotação :
As cônicas podem ser “desenhadas” no plano. O que chamamos de termo cruzado é o termo que multiplica ao mesmo tempo e. No caso apresentado, é o termo. O termo cruzado está associado à rotação da cônica no plano e, para melhor ser representado é preferível eliminar esse termo (fazer ). Isso é possível se mudarmos da base ortonormal canônica para a base ortonormal de autovetores. Podemos escrever a cônica eliminando o termo cruzado da seguinte forma:
Onde e representam as novas coordenadas. Equivalentemente, podemos achar a forma canônica da cônica:
Isso nada mais é do que uma mudança de base. Podemos então definir e e, assim, toda a forma canônica.
Serão encontrados dois autovetores unitários (que formarão a nova base ortonormal do plano). Esses dois autovetores serão chamados e. Temos então que fazer a mudança de coordenadas de para :
Temos então que:
Obs.: Note que não muda com a mudança de base.
A cônica pode ser classificada de três maneiras, de acordo com seus autovalores:
Translação :
Por vezes, ao eliminar o termo misto, a equação obtida ainda não fica na origem, então recorremos à translação dos novos eixos (visto em Geometria Analítica, Cálculo 1 e Cálculo 2). Basta completar quadrados, ver o centro da cônica e, então, transladar os eixos de modo que a origem coincida com o centro da cônica.
IMPORTANTE: Para eliminar o termo cruzado, o passo-a-passo é:
a) Achar os autovalores e e os autovetores associados a eles. (Esses vetores formarão a nova base ortonormal); b) Determinar e ; c) Classificar a cônica e determinar sua nova forma canônica.
Normalizando para a forma :
A base ortonormal que elimina o termo cruzado é:
Determinando e :
Lembrar que:
Fazendo as equivalências:
E portanto:
Determinando a nova forma matricial da cônica:
Lembrar que:
Fazendo as equivalências:
Determinando a nova forma canônica da cônica:
Lembrar que:
Fazendo as equivalências:
E não há necessidade de fazer translação.
Classificando a cônica:
Logo, a cônica é uma parábola.
A figura abaixo mostra o que foi feito nessa questão. A cônica (de verde) não sofre alteração, tudo o que é feito é a definição de novos eixos (de roxo) com vetores diretores e (em vermelho). Como não houve translação, os novos eixos são os antigos, rotacionados de um ângulo.
XIV. Quádricas:
As quádricas são semelhantes às cônicas, mas são superfícies, ou seja, são tridimensionais. Tudo o que se aplica nas cônicas, aplica-se nas quádricas.
Elas são da forma:
E pode ser representado por uma matriz associada ao vetor correspondente ao ponto, onde a matriz é:
Assim, a cônica pode ser escrita na forma matricial:
Como pode ser observado, a matriz está determinada para a base canônica de (espaço ao qual pertence o vetor ) que é ortonormal. Além disso ela é simétrica. Portanto admite uma base de autovetores ortonormais.
Rotação :
As quádricas podem ser “desenhadas” no espaço. No caso apresentado, são os termos „d‟, „e‟, „f‟. Assim como nas cônicas, é preferível eliminar esses termos. Isso é possível se mudarmos da base ortonormal canônica para a base ortonormal de autovetores. Podemos escrever a quádrica eliminando os termos cruzados da seguinte forma:
