Álgebra Linear, Notas de estudo de Engenharia Civil

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Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes

Notas de Aula

Petronio Pulino

= Q

Q

t

Q

t

Q =

PULINUS^ sq

Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes

Notas de Aula

Petronio Pulino

Departamento de Matem´atica Aplicada Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica Universidade Estadual de Campinas Caixa Postal 6065, CEP 13083–859, Campinas, SP, Brasil E–mail: [email protected] Homepage: www.ime.unicamp.br/∼pulino/ALESA/

Julho de 2008

• 1 Estruturas Alg´ebricas
  • 1.1 Opera¸c˜ao Bin´aria. Grupos
  • 1.2 Corpo Comutativo
  • 1.3 Corpo com Valor Absoluto
  • 1.4 Corpo Ordenado
  • 1.5 Valor Absoluto num Corpo Ordenado
  • 1.6 N´umeros Reais
  • 1.7 N´umeros Complexos
  • 1.8 Caracter´ıstica do Corpo
  • 1.9 M´etricas
• 2 Matrizes e Sistemas Lineares
  • 2.1 Matrizes
  • 2.2 Tipos Especiais de Matrizes
  • 2.3 Inversa de uma Matriz
  • 2.4 Matrizes em Blocos
  • 2.5 Opera¸c˜oes Elementares. Equivalˆencia
  • 2.6 Forma Escalonada. Forma Escada
  • 2.7 Matrizes Elementares
  • 2.8 Matrizes Congruentes. Lei da In´ercia
  • 2.9 Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares
• 3 Espa¸cos Vetoriais
  • 3.1 Espa¸co Vetorial. Propriedades
  • 3.2 Subespa¸co Vetorial
  • 3.3 Combina¸c˜ao Linear. Subespa¸co Gerado
  • 3.4 Soma e Intersec¸c˜ao. Soma Direta
  • 3.5 Dependˆencia e Independˆencia Linear
  • 3.6 Bases e Dimens˜ao
  • 3.7 Coordenadas
  • 3.8 Mudan¸ca de Base
• 4 Transforma¸c˜oes Lineares ii CONTE UDO´
  • 4.1 Transforma¸c˜oes do Plano no Plano
  • 4.2 Transforma¸c˜ao Linear
  • 4.3 N´ucleo e Imagem
  • 4.4 Posto e Nulidade
  • 4.5 Espa¸cos Vetoriais Isomorfos
  • 4.6 Algebra das Transforma¸´ c˜oes Lineares
  • 4.7 Transforma¸c˜ao Inversa
  • 4.8 Representa¸c˜ao Matricial
• 5 Produto Interno
  • 5.1 Introdu¸c˜ao
  • 5.2 Defini¸c˜ao de Produto Interno
  • 5.3 Desigualdade de Cauchy–Schwarz
  • 5.4 Defini¸c˜ao de Norma. Norma Euclidiana
  • 5.5 Defini¸c˜ao de Angulo. Ortogonalidadeˆ
  • 5.6 Base Ortogonal. Coeficientes de Fourier
  • 5.7 Processo de Gram–Schmidt
  • 5.8 Complemento Ortogonal
  • 5.9 Decomposi¸c˜ao Ortogonal
  • 5.10 Identidade de Parseval
  • 5.11 Desigualdade de Bessel
  • 5.12 Operadores Sim´etricos
  • 5.13 Operadores Hermitianos
  • 5.14 Operadores Ortogonais
  • 5.15 Proje¸c˜ao Ortogonal
  • 5.16 Reflex˜ao sobre um Subespa¸co
  • 5.17 Melhor Aproxima¸c˜ao em Subespa¸cos
• 6 Autovalores e Autovetores
  • 6.1 Autovalor e Autovetor de um Operador Linear
  • 6.2 Autovalor e Autovetor de uma Matriz
  • 6.3 Multiplicidade Alg´ebrica e Geom´etrica
  • 6.4 Matrizes Especiais
  • 6.5 Aplica¸c˜ao. Classifica¸c˜ao de Pontos Cr´ıticos
  • 6.6 Diagonaliza¸c˜ao de Operadores Lineares
  • 6.7 Diagonaliza¸c˜ao de Operadores Hermitianos
• 7 Funcionais Lineares e Espa¸co Dual CONTE UDO´ iii
  • 7.1 Introdu¸c˜ao
  • 7.2 Funcionais Lineares
  • 7.3 Espa¸co Dual
  • 7.4 Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz
• 8 Algebra Linear Computacional´
  • 8.1 Introdu¸c˜ao
  • 8.2 Decomposi¸c˜ao de Schur. Teorema Espectral
  • 8.3 Normas Consistentes em Espa¸cos de Matrizes
  • 8.4 An´alise de Sensibilidade de Sistemas Lineares
  • 8.5 Sistema Linear Positivo–Definido
  • 8.6 M´etodos dos Gradientes Conjugados
  • 8.7 Fatora¸c˜ao de Cholesky
  • 8.8 M´etodos Iterativos para Sistemas Lineares
  • 8.9 Sistema Linear Sobredeterminado
  • 8.10 Subespa¸cos Fundamentais de uma Matriz
  • 8.11 Proje¸c˜oes Ortogonais
  • 8.12 Matriz de Proje¸c˜ao Ortogonal
  • 8.13 Fatora¸c˜ao QR
  • 8.14 Modelos de Regress˜ao Linear
  • 8.15 Solu¸c˜ao de norma–2 M´ınima
  • 8.16 Problemas de Ponto Sela
  • 8.17 Decomposi¸c˜ao em Valores Singulares
  • Bibliografia

©cPetronio Pulino, 2008 DMA – IMECC – UNICAMP

Matrizes e Sistemas Lineares

Conte´udo

2.1 Matrizes................................ 30 2.2 Tipos Especiais de Matrizes.................... 39 2.3 Inversa de uma Matriz....................... 57 2.4 Matrizes em Blocos......................... 61 2.5 Opera¸c˜oes Elementares. Equivalˆencia.............. 74 2.6 Forma Escalonada. Forma Escada................ 79 2.7 Matrizes Elementares........................ 82 2.8 Matrizes Congruentes. Lei da In´ercia.............. 99 2.9 Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares.................. 105

30 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

2.1 Matrizes

Defini¸c˜ao 2.1.1 Denominamos matriz a um conjunto de n´umeros reais (complexos) dispostos em linhas e colunas, numa certa ordem, e colocados entre colchetes. Assim, uma matriz real (complexa) A com m linhas e n colunas ´e representada da forma:

A =

a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n ... ... ... am 1 am 2 · · · amn

com aij ∈ IR (ou aij ∈ C). Os escalares aij s˜ao denominados elementos da matriz, onde o primeiro ´ındice indica a linha e o segundo ´ındice indica a coluna `as quais pertence o elemento. Neste caso, dizemos que a matriz A ´e de ordem m × n. Por simplicidade, vamos utilizar a indica¸c˜ao A = [aij ] para denotar a matriz A e seus elementos.

Defini¸c˜ao 2.1.2 Dizemos que uma matriz A = [aij ] de ordem m × n ´e quadrada se m = n, isto ´e, se possui o mesmo n´umero de linhas e de colunas. Neste caso, dizemos simplesmente que A ´e uma matriz de ordem n.

Defini¸c˜ao 2.1.3 Dizemos que uma matriz A = [aij ] de ordem m×n ´e a matriz nula se seus elementos aij s˜ao todos nulos. Neste caso, denotamos A = 0. Freq¨uentemente, indicamos (^0) m×n para denotar uma matriz nula de ordem m×n, onde pode causar alguma d´uvida sobre a ordem da matriz.

Defini¸c˜ao 2.1.4 Sejam A = [aij ] e B = [bij ] duas matrizes de ordem m × n. Dizemos que as matrizes A e B s˜ao iguais se, e somente se,

aij = bij ; i = 1, · · · , m e j = 1, · · · , n.

Defini¸c˜ao 2.1.5 Dizemos que uma matriz A = [aij ] de ordem m × 1 ´e uma matriz coluna, que representamos por:

A =

a 11 a 21 ... am 1

32 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

Defini¸c˜ao 2.1.7 Considere os seguintes subconjuntos de IN

Im = { 1 , 2 , · · · , m } e In = { 1 , 2 , · · · , n }.

Uma matriz sobre o corpo IF de ordem m × n ´e uma fun¸c˜ao

A : Im × In −→ IF

que para cada para ordenado (i, j) ∈ Im × In est´a associado um ´unico escalar

aij = A(i, j) ∈ IF ,

denominado elemento da matriz A.

Rigorosamente falando, a tabela retangular exibida na Defini¸c˜ao 2.1.1, n˜ao ´e uma matriz, mas sim a representa¸c˜ao de uma matriz.

Exemplo 2.1.5 Considere o seguinte conjunto I 3 = { 1 , 2 , 3 }. Vamos definir uma matriz real A : I 3 × I 3 −→ IR da seguinte forma:

aij = A(i, j) = 1 i + j − 1

que ´e denominada matriz de Hilbert de ordem 3 × 3.

De acordo com a Defini¸c˜ao 2.1.1, representamos a matriz A da seguinte forma:

A =

De modo an´alogo, definimos a matriz de Hilbert de ordem n × n.

Petronio Pulino 33

Defini¸c˜ao 2.1.8 Sejam A = [aij ] e B = [bij ] duas matrizes de ordem m × n. Definimos a soma das matrizes A e B, que denotamos por A + B, como sendo a matriz C = [cij ] , de ordem m × n, onde cada elemento ´e definido da seguinte forma:

cij = aij + bij ; i = 1, · · · , m e j = 1, · · · , n.

Por simplicidade, indicamos A + B = [aij + bij ] para denotar a soma das matrizes A e B. De modo an´alogo, definimos a diferen¸ca das matrizes A e B, que denotamos por A − B = [aij − bij ].

Defini¸c˜ao 2.1.9 Sejam A = [aij ] uma matriz de ordem m × n e um escalar λ. Definimos a multiplica¸c˜ao da matriz A pelo escalar λ, e denotamos λA, como sendo a matriz C = [cij ] , de ordem m × n, onde cada elemento ´e definido da seguinte forma:

cij = λ aij ; i = 1, · · · , m e j = 1, · · · , n.

Por simplicidade, indicamos λA = [λaij ] para denotar a multiplica¸c˜ao da matriz A pelo escalar λ.

Exemplo 2.1.6 Considerando as matrizes A = [aij ] e B = [bij ] de ordem 2 × 3 ,

A =

[

]

e B =

[

]

a matriz C = A + 2B = [aij + 2bij ] ´e dada por:

C =

[

]

[

]

[

]

Teorema 2.1.1 Sejam A, B e C matrizes de mesma ordem. Ent˜ao,

(a) A + B = B + A.

(b) A + (B + C) = (A + B) + C.

(c) Existe uma matriz nula 0 , da mesma ordem da matriz A, tal que A + 0 = A.

(d) Existe uma matriz D, da mesma ordem da matriz A, tal que A + D = 0.

Demonstra¸c˜ao – A prova ´e feita utilizando as defini¸c˜oes das opera¸c˜oes de soma de matrizes e da multiplica¸c˜ao de uma matriz por escalar, juntamente com as propriedades das opera¸c˜oes com n´umeros reais (complexos). ¤

Petronio Pulino 35

Exemplo 2.1.9 Dada a matriz A de ordem 3 × 2 e a matriz B de ordem 2 × 4 ,

A =

 e B =

[

]

a matriz C = AB de ordem 3 × 4 ´e dada por:

C =

[

]

Exemplo 2.1.10 Dada a matriz coluna X , de ordem 3 × 1 ,

X =

determine a matriz Z = XXt^ de ordem 3 × 3.

Exemplo 2.1.11 Dada uma matriz coluna X , de ordem m × 1 ,

X =

x 11 ... xi 1 ...

xm 1

deduza uma regra para a forma¸c˜ao da matriz Z = XXt^ de ordem m × m.

Exemplo 2.1.12 Dada a matriz coluna X , de ordem 3 × 1 ,

X =

determine todas as matrizes Y , de ordem 3 × 1 , tais que Y tX = 0.

Exemplo 2.1.13 Determine um escalar λ tal que AX = λX, onde

A =

[

]

e X =

[

]

36 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

Teorema 2.1.2 Sejam as matrizes A = [aij ] de ordem m × n, B = [bij ] de ordem n × p e C = [cij ] de ordem n × p. Ent˜ao, A(B + C) = AB + AC.

Demonstra¸c˜ao – Chamando D = A(B + C) = [dij ] , sabemos que

dij =

∑^ p k=

aik(bkj + ckj ) =

∑^ p k=

aikbkj +

∑^ p k=

aikckj

para i = 1, · · · , m e j = 1, · · · , n.

Logo, temos que a primeira parcela ´e o elemento da i–´esima linha e da j–´esima coluna do produto AB e a segunda parcela ´e o elemento da i–´esima linha e da j–´esima coluna do produto AC. Portanto, provamos que A(B + C) = AB + AC. ¥

Teorema 2.1.3 Sejam as matrizes A = [aij ] de ordem m × n, B = [bij ] de ordem m × n e C = [cij ] de ordem n × p. Ent˜ao, (A + B)C = AC + BC.

Demonstra¸c˜ao – A prova pode ficar a cargo do leitor. ¤

Teorema 2.1.4 Sejam as matrizes A = [aij ] de ordem m × n, B = [bij ] de ordem n × p e C = [cij ] de ordem p × q. Ent˜ao, A(BC) = (AB)C.

Demonstra¸c˜ao – A prova pode ficar a cargo do leitor. ¤

E importante observar que^ ´

(a) AB 6 = BA , em geral.

(b) AB = 0 n˜ao implica necessariamente que A = 0 ou B = 0.

(c) AB = AC n˜ao implica necessariamente que B = C.

Exemplo 2.1.14 Dadas as matrizes

A =

 , B =

 e C =

Mostre que AB = BA = 0 , AC = A e CA = C.

38 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 2.1 Considere A = [aij ] uma matriz de ordem m × n e λ um escalar. Mostre que se λA = 0, ent˜ao λ = 0 ou A = 0.

Exerc´ıcio 2.2 Dadas as matrizes

A =

[

a + 2b 2 a − b 2 c + d c − 2 d

]

e B =

[

]

Determine os parˆametros a, b, c e d tal que A = B.

Exerc´ıcio 2.3 Dadas as matrizes

X =

a 2 1

 , Y =^ [ − 1 b 2 ] e Z =

Determine os parˆametros a e b tais que Y X = 0 e Y Z = 1.

Exerc´ıcio 2.4 Determine todas as matrizes X tais que Y X = 0, onde

X =

a b c

 e Y =^ [ 1 1 − 1 ].

Exerc´ıcio 2.5 Dadas as matrizes

A =

[

cos(θ) sin(θ) − sin(θ) cos(θ)

]

, X =

[

]

e Y =

[

]

Determine os valores do parˆametro θ ∈ IR de modo que AX = Y.

Exerc´ıcio 2.6 Dadas as matrizes

A =

[

]

; B =

[

]

e C =

[

]

Verifique que AB = AC.

Exerc´ıcio 2.7 Dada a matriz

A =

[

]

Determine as matrizes B tais que AB − BA = 0 , se poss´ıvel.

Petronio Pulino 39

2.2 Tipos Especiais de Matrizes

Defini¸c˜ao 2.2.1 Seja U = [uij ] uma matriz de ordem n × n. Dizemos que U ´e uma matriz triangular superior se os elementos abaixo da diagonal principal s˜ao todos nulos, isto ´e, uij = 0 para j < i.

Exemplo 2.2.1 A matriz U dada por:

U =

´e uma matriz triangular superior.

Defini¸c˜ao 2.2.2 Seja L = [lij ] uma matriz de ordem n × n. Dizemos que L ´e uma matriz triangular inferior se os elementos acima da diagonal principal s˜ao todos nulos, isto ´e, lij = 0 para j > i.

Exemplo 2.2.2 A matriz L dada por:

L =

´e uma matriz triangular inferior.

Exemplo 2.2.3 Mostre que o produto de duas matrizes triangulares superiores ´e uma matriz triangular superior.

Exemplo 2.2.4 Mostre que o produto de duas matrizes triangulares inferiores ´e uma matriz triangular inferior.

Defini¸c˜ao 2.2.3 Seja D = [dij ] uma matriz de ordem n × n. Dizemos que D ´e uma matriz diagonal se os elementos fora da diagonal principal s˜ao todos nulos, isto ´e, dij = 0 para j 6 = i. Freq¨uentemente, indicamos D = diag(d 1 , · · · , dn) , para dizer que D ´e uma matriz diagonal de ordem n × n.

Petronio Pulino 41

Defini¸c˜ao 2.2.5 Uma matriz diagonal D = diag(d 11 , · · · , dnn) cujos elementos da diagonal principal s˜ao todos iguais, isto ´e, dii = α para i = 1, · · · , n, ´e denominada matriz escalar.

Exemplo 2.2.8 A matriz D dada por:

D =

´e uma matriz escalar de ordem 3.

Defini¸c˜ao 2.2.6 Uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal s˜ao todos iguais a 1 ´e denominada identidade. Freq¨uentemente, indicamos In para denotar uma matriz identidade de ordem n.

Exemplo 2.2.9 A matriz I dada por:

I =

´e uma matriz identidade de ordem 3.

Exemplo 2.2.10 Seja A uma matriz de ordem m × n. Podemos verificar facilmente que ImA = AIn = A.

Defini¸c˜ao 2.2.7 Se A ´e uma matriz de ordem m × n , denominamos transposta de A `a matriz de ordem n × m obtida trocando–se as linhas pelas colunas. Denotamos a transposta da matriz A por At.

Exemplo 2.2.11 Temos o seguinte exemplo de uma matriz real A de ordem 4 × 3 e de sua respectiva transposta At^ de ordem 3 × 4.

A =

 At^ =

Exemplo 2.2.12 Seja A uma matriz real de ordem n. Podemos verificar facilmente que tr(At) = tr(A).

42 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

Exemplo 2.2.13 Temos o seguinte exemplo de uma matriz complexa A de ordem 2 × 3 e de sua respectiva transposta At^ de ordem 3 × 2.

A =

[

2 1 + i i 3 + i 2 i 1

]

At^ =

2 3 + i 1 + i 2 i i 1

Defini¸c˜ao 2.2.8 Seja A = [aij ] uma matriz quadrada. Dizemos que A ´e sim´etrica se At^ = A, isto ´e, aij = aji para todos i, j.

Exemplo 2.2.14 As matrizes A e B dadas por:

A =

 e B =

[

1 + 2i 2 + i 2 + i 3

]

s˜ao matrizes sim´etricas, isto ´e, At^ = A e Bt^ = B.

Defini¸c˜ao 2.2.9 Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A ´e anti–sim´etrica se At^ = −A, isto ´e, aij = −aji para todos i, j.

Exemplo 2.2.15 As matrizes A e B dadas por:

A =

 e B =

0 2 − i − 3 −2 + i 0 i 3 −i 0

s˜ao matrizes anti–sim´etricas, isto ´e, At^ = −A e Bt^ = −B.

Defini¸c˜ao 2.2.10 Considere A = [aij ] uma matriz complexa de ordem m × n. A matriz obtida de A substituindo cada elemento por seu conjugado ´e denominada matriz conjugada da matriz A, que denotamos por A. Assim, A = [aij ].

Exemplo 2.2.16 Dada a matriz complexa

A =

[

1 + 2i i 3 2 − 3 i

]

A matriz conjugada de A, que denotamos por A, ´e obtida da seguinte forma:

A =

[

1 − 2 i −i 3 2 + 3i

]