Baixe Programação Linear Formulação de Problemas e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia de Produção, somente na Docsity!
Programação Linear: Maximização de Lucro e
Minimização de Custos
Afonso Celso Pagano Frossard
Faculdade Lourenço Filho
Resumo:
O presente artigo demonstra a importância da programação linear como ferramenta de suporte para a solução de problemas na área de custos nas organizações. Para alcançar seus objetivos, as empresas devem estar atentas ás diversas restrições apresentadas, tanto a nível interno, como resultantes de fatores externos estabelecidos, dentre outros, pelo mercado. Assim, levando em conta a competitividade e ás restrições existentes ao alcance de sua meta, torna-se necessário otimizar os recursos disponíveis existentes, de modo a maximizar os resultados ou minimizar os custos. É nesse momento que surge a programação linear auxiliando na realização de cálculos matemáticos, os quais consolidam esse fim. Portanto, esse constitui o foco desse artigo, o qual, inicia por estudos teóricos acerca da matéria, indo até a apresentação ilustrativa e didática de caso prático.
Palavras-chave: Programação Linear, Pesquisa Operacional, Otimização, Planilha
Eletrônica.
1 INTRODUÇÃO
Para que as empresas alcancem seus objetivos, elas devem se preocupar, obrigatoriamente, com as diversas restrições, tanto a nível interno como externo, sendo a mais importante, dentre as existentes, a política de formação de preços, a fim de programar a produção de seus produtos e atender com eficiência o mercado. Para que a empresa consiga atingir esse ponto ótimo ela tem que desenvolver seu próprio mecanismo de formação de custos, despesas, preços, remuneração do seu investimento, enfim obter um modelo ideal que vai desde a programação da produção até a colocação do produto no mercado. Para que a empresa possa cumprir sua missão, a organização depende dos resultados obtidos, assim, a otimização dos resultados disponíveis constitui um fator de extrema importância, principalmente se considerarmos o alto grau de competitividade como exigência do mercado atual.
O presente artigo objetiva demonstrar como a programação linear pode ser utilizada como ferramenta poderosíssima de apoio á tomada de decisão, objetivando a otimização do resultado
global da empresa. O trabalho foi estruturado de forma a apresentar um breve histórico sobre esse poderoso método quantitativo na resolução de problemas da contabilidade gerencial, identificar os conceitos básicos e as características da Pesquisa Operacional, descrever sucintamente as técnicas da Pesquisa Operacional e por fim apresentar um modelo prático e didático de solução, utilizando-se exercícios e das técnicas descritas. Para isso será dado ênfase no recurso chamado SOLVER, encontrado na Planilha eletrônica do Excel.
2 ORIGEM E EVOLUÇÃO DOS MÉTODOS QUANTITATIVOS
De uma maneira geral, até o final do século XVIII, quando se iniciou a Revolução Industrial, a gestão das empresas era relativamente simples, considerando que a produção era praticamente artesanal ou executada por pequenas empresas familiares. Com o advento da indústria, passou a produção ser processada no ambiente da fábrica e logicamente a complexidade para se administrar as empresas constituiu o ponto maior de preocupação das áreas notadamente ligadas à administração, economia e contabilidade. No inicio do século XX, surgem novos instrumentos visando a minimizar essa dificuldade. Um desses instrumentos é a utilização de Métodos Quantitativos no processo de gestão, muito embora Michels (1995), afirme que o emprego dos modelos matemáticos dirigidos para a solução de muitos problemas é muito antigo e tem acompanhado as gerações desde milênios atrás. Outros estudiosos e pesquisadores têm evidenciado que os métodos quantitativos nas organizações não são tão antigos assim e segundo McCloskey & Trefethen (1956) a análise quantitativa foi iniciada com Taylor, muito embora fôssem métodos comparativamente elementares. O que de fato poderia ser considerado relevante, atualmente se chama Pesquisa Operacional. Chiavenato (1983) descreve que o desenvolvimento da Teoria Matemática ocorre em função de quatro causas, que são: Teoria dos Jogos; Teoria das Decisões; Decisões Qualitativas e Quantitativas e Desenvolvimento de Sistemas Computacionais. Shamblin (1979), considera a Pesquisa Operacional como um método científico de tomada de decisão, o qual começa descrevendo um sistema por intermédio de um modelo e depois manipula o modelo para descobrir o melhor modo de operar esse sistema. Ramalhete et al. (1985), salienta “pesquisa operacional é o ramo científico autônomo de nascimento recente (teria surgido na Segunda
- Formulação do problema
- Construção de um modelo que represente o sistema em estudo
- Obtenção de solução a partir de um modelo
- Teste do modelo e da solução dele originada
- Estabelecimento do controle sobre a solução
- Colocação da solução em funcionamento, ou seja, implantação.
Horngren et al. (2000), asseguram que a utilização de modelos matemáticos ajuda os contadores a solucionar problemas complexos na organização, principalmente quando se quer tomar decisão. Destaca, ainda, que a orientação básica da Teoria da Decisão tem as seguintes características:
- Um objetivo organizacional que possa ser quantificado – maximização ou minimização de lucro ou prejuízo (escolha da melhor alternativa)
- Um conjunto de diversas alternativas de ação que estejam sendo explicitamente consideradas – ações mutuamente exaustivas e mutuamente exclusivas
- Um conjunto de todos os eventos ou situações que tenham possibilidades de ocorrerem – coletivamente exaustivos e mutuamente exclusivos (somente ocorrerá de fato uma das situações)
- Um conjunto de probabilidades que descreva a probabilidade de ocorrência de cada evento
- Um conjunto de resultados ou rendimentos que possibilitem medir as conseqüências das várias ações possíveis em função de maximizar ou minimizar lucros ou prejuízos – cada resultado depende de um caminho e de um evento específicos.
Iudicibus (1987), ensina que em algumas décadas passadas já havia um forte tendência para o uso de métodos quantitativos que facilitassem a explicação e o encaminhamento de problemas empresariais. Analisa, ainda, que o grande erro dos contadores é usar
rudimentarmente raciocínios puramente aritméticos ao invés de utilizarem modelos quantitativos. Marion e Silva (1986), também abordam que a Contabilidade Gerencial tem utilizado, com muito mais segurança, métodos quantitativos para solucionar problemas contábeis, possibilitando tomar decisões mais apropriadas. Eles estão de acordo que o gestor de uma organização, para fins decisório, deve fazê-lo observando todo o cenário onde a empresa se encontra, ou seja, da definição do problema até as conseqüências da alternativa escolhida para implementação. Embora exista uma análise em bases qualitativas a se levar em conta nas alternativas disponíveis, deve-se considerar que bases quantitativas carregam certa objetividade, não deixando possibilidades de dúvidas no sentido de existência de erros. Koontz e O´Donnell (1982) alertam que um grande desafio para o gestor corresponde ao tratamento a ser dispensado ás novas perspectivas de informações e a maneira de trata-las, ou seja, estar atento ás informações de caráter econômico, por causa do seu valor elucidativo. Megginson, Mosley e Petri Jr (1986), enfatizam casos em que grupos de pesquisa juntaram os seus conhecimentos ao dos gestores para o desenvolvimento de modelos quantitativos a serem utilizados em processos decisórios. Como exemplo disso citam as instituições e mercados financeiros, securitários e de previdência complementar privada. Embora a maioria das empresas, na atualidade, independente do tipo e tamanho, vêm utilizando os métodos quantitativos como forma mais apropriada de auxiliar o processo decisório. Pode-se apresentar o esquema seguinte como influência dos Métodos Quantitativos na gestão organizacional das empresas:
Figura 1 – Esquema Organizacional de uma Empresa
- Teoria dos Conjuntos
- Cálculo Vetorial
- Lógica e Desenho
Outros instrumentos poderão ser utilizados com muita freqüência como a Matemática Financeira, Geometria Analítica e Programação em Computador. A Pesquisa Operacional tem sido largamente utilizada e aplicada em vasta área do conhecimento humano, sendo desenvolvida ao longo de milênios como pode ser remontada ao século III a.C, quando Euclides buscava medir a distância entre o ponto maior e o menor de uma circunferência; o desenvolvimento da Logística Militar durante a II Guerra Mundial e nos dias atuais a sua utilização na identificação dos estoques até a otimização de resultados, lucros e minimização de prejuízos das organizações.
3 TÉCNICAS LIGADAS À PESQUISA OPERACIONAL
Para compreender melhor as técnicas ligadas á Pesquisa Operacional, Costa (1987) as descreve de forma sucinta, a seguir.
3.1 Modelos de Substituição
Quando se tem em vista encontrar um intervalo ideal para troca de equipamentos ou de atividade numa organização. No caso de troca de equipamento, na medida em que é utilizado acontece aumento dos custos de manutenção e operação além dos problemas de obsolescência técnica ou econômica. Nesse caso, trata-se de um problema que pode ser resolvido através de um modelo estocástico ou determinístico, dependendo da formulação que lhe é aplicada. Em qualquer dos casos, o que se deseja saber é se o valor dos custos futuros sem substituição é menor que aquele com substituição, ou então se os custos médios são diferentes, de forma que ocorra um custo médio tido como ótimo ou uma vida útil ótima.
3.2 Modelos de Estoque
As decisões relativas a estoque envolve o nível de estoque e sua reposição. Os modelos e a descrição do sistema de estocagem representam a base para a decisão. Esses modelos podem ser determinísticos ou estocásticos. Alguns desses modelos visam apurar as quantidades de aquisição que minimizem os custos incrementais, ou seja, um modelo de lote econômico de pedido. Exemplo: Modelo de compra com e sem carência; Modelo de fabricação com e sem carência.
3.3 Teoria das Filas
Quando os estudos se referirem a programação do atendimento dos elementos que chegam na fila, considerando o tempo de espera e a quantidade, de acordo com uma expectativa. Esses sistemas sujeitos á teoria podem ter uma fila ou uma estação, duas filas e uma estação, duas estações e uma fila, ou seja, várias combinações. Como exemplo pode-se destacar: carga e descarga de caminhões; controle de pedágio, troncos telefônicos; caixas de supermercados; tráfego de veículos, de embarcações, de aviões; atendimento em hospitais, etc.
3.4 Análise de Sensibilidade de Funções Contínuas
A análise de sensibilidade permite se verificar a precisão de dados e do modelo utilizados, como também permite conhecer o nível de afastamento possível da solução tida como ótima. Considerando, ainda a impossibilidade de se quantificar completamente todas as variáveis do modelo, a análise alerta sobre aquelas que merecem uma melhor atenção.
3.5 Modelos de Transportes e Designação
Objetiva minimizar os custos, tendo em vista existirem muitos centros fornecedores e muitos centros consumidores, sendo conhecidas as quantidades disponíveis na origem e no destino. Na resolução de problemas dessa natureza, cada origem corresponde a um destino.
3.8 Programação Dinâmica
É uma programação aplicável á otimização de eventos que sofrem uma seqüência de estados, podendo ser aplicada a sistemas lineares ou não lineares.
3.9 Teoria das Redes
Envolve o estudo das atividades, de forma a se obter uma base para a tomada de decisões quanto ao tempo, custo e áreas críticas. É o caso do estudo de atividades de rede como o PERT (Program Evaluation and Review Technique) e o CPM (Critical Path Method).
3.10 Teoria dos Jogos
Tem larga aplicação em leilões, operações de bolsa de valores e de mercadorias. Utilizado em eventos para os quais as regras estejam claramente definidas e na condição de se otimizar os resultados.
3.11 Médoto de Monte Carlo
É um processo de simulação com tabelas de números aleatórios, formando-se uma distribuição de probabilidade. Dada a sua complexidade é utilizado quando não se concebe um modelo que possa descrever o sistema.
4 EXEMPLO NUMÉRICO DAS TÉCNICAS UTILIZADAS
O exemplo que será descrito, foi desenvolvido com a utilização do comando SOLVER do programa Excel 2000, que pode ser entendido como importante aliado na solução de problemas que envolvam a programação linear. O estudo feito parte do pressuposto de que é viável projetar modelos de decisão eficazes, que apóiem o processo de gestão, através de um conjunto de premissas e requisitos lógicos e estruturados com conceitos adequados, que espelhem a realidade físico-operacional da organização. O objetivo principal é achar a melhor utilização dos recursos disponíveis, que são geralmente limitados, procurando determinar a melhor
programação otimizada que possa gerar o máximo de lucro para a empresa. De acordo com Garcia (1997), “ geralmente uma decisão está ligada ao objetivo de minimizar custos ou maximizar lucros, sob condições restritivas de recursos, mercado, políticas, dentre outras “. Assim, durante o processo de estudo, é fundamental a correta identificação do objetivo a ser alcançado, pois é a partir deste que o modelo será concebido. As alternativas de decisão e as limitações existentes devem ser explicadas em sua plenitude, cujas inobservâncias podem invalidar as soluções obtidas durante o processo. O modelo de otimização procura identificar a melhor alternativa de ação. São utilizados na tentativa de solucionar problemas onde as variáveis podem assumir um número elevado de valores. A solução ótima encontrada será utilizada como referência para a decisão real. Os principais passos, os quais serão utilizados no exemplo numérico, para a construção de um modelo, são:
- definição do problema
- identificação das variáveis relevantes
- formulação da função objetivo
- formulação das restrições
- escolha do método matemático de solução
- aplicação do método de solução
- análise avaliação da solução
4.1 Maximização do Lucro
Para o desenvolvimento e realização desse exemplo, é necessário fixar algumas hipóteses iniciais:
- O modelo é válido por uma unidade de tempo – dia, semana, mês, visto não existir variação de custos e preços na unidade de tempo considerado
- Os preços são constantes tanto no lado da demanda como da oferta, visto que a variação de preço exigiria um modelo não linear
- Os custos reagem de maneira linear, alguns estritamente variáveis, outros fixos e, ainda, outros terem variação mista
Na formulação do modelo a ser ilustrado, utilizar-se-á o método do custeio variável, pois além de identificar a margem de contribuição unitária por produto, os custos de produção estão intimamente relacionados com o produto e variam com o volume do parâmetro escolhido. Outra vantagem dessa escolha é que a programação linear busca um valor ótimo em pontos extremos de um conjunto convexo, cujas relações entre as variáveis são precipuamente lineares, isto é, o que importa na decisão é a relação entre as margens de contribuição advindas dos preços e os custos variáveis de produção. Nos exemplos que envolvam períodos de longo prazo, é necessário segmentar os períodos, para os quais não haja variação de custos e preços de forma relevante.
4.2 Minimização dos Custos
O exercício a ser desenvolvido é o mesmo anteriormente ilustrado. Essa opção visa estabelecer a comparação entre a maximização do lucro e a minimização dos custos. A função objetivo da minimização dos custos é a seguinte: CDVu_ X_Qde Produzida = 50 X1 + 100 X2 + 250 X3 + 800 X4 + 650 X5 + 100. As análises dos relatórios estão comentadas nos relatórios de respostas gerados pelo Excel.
5 CONCLUSÃO
Administrar com eficiência os recursos disponíveis na empresa, através do planejamento, controle e execução das atividades relacionadas á utilização destes, é fator fundamental na busca da otimização do resultado global da empresa. A programação linear juntamente com as técnicas de pesquisa operacional, permite identificar o resultado ótimo, considerando todas as restrições impostas no modelo adotado. Assim, o resultado ótimo esperado é possível acontecer, visto que os vários cenários que serão analisados têm o objetivo de definir a política de ação da organização. Espera-se que com a utilização da pesquisa operacional, utilizando-se do comando SOLVER do programa Excel, para solução de problemas que envolvam a procura
de solução ótima, tem o propósito de, exclusivamente, direcionar os gestores na tomada de decisões que visam otimizar o resultado da empresa. Considera-se que a contabilidade tem papel relevante como sistema de informação para a administração de recursos escassos á disposição da empresa, necessário e urgente se faz a utilização de ferramental que possa contribuir para a redução de custos de processamento e aumentar a competitividade da organização. A contabilidade, pois, como maior banco fornecedor de informações relevantes, interna e externamente, não pode ficar omissa em relação aos novos instrumentos de apoio a gestão, devendo aplica-los juntamente com outras tantas técnicas contábeis, para melhor informar o usuário e constituir-se numa potente área de linguagem dos negócios.
Linear programming: Maximization of Profit and
Minimization of Costs
Abstract:
The present article demonstrates the importance of the linear programming as support tool for the solution of problems in the area of costs in the organizations. To reach your objectives the companies they should be attentive ace several restrictions, so much at internal level, as resultants of external factors, established, among other, for the market. Like this, taking into account the competitiveness and the existent restrictions to the reach your goal, becomes necessary to optimize the existent available resources in way to maximize results or to minimize costs. It is on that moment that the linear programming appears, aiding in the accomplishment of mathematical calculations which consolidate that end. Therefore, that constitutes the focus of that article, which, it begins for theoretical studies concerning the matter, going until the illustrative and didactic presentation of practical case.
Keywords: Linear programming, Operation research, Optimization, Spreadsheet.
REFERÊNCIAS
BELCHIOR, P.G.O. PERT/CPM – Técnica de Avaliação, Revista Controle de Projetos , Tecnoprint Gráfica Editora do Brasil, 1974.
CHIAVENATO, Idalberto, Introdução á Teoria Geral da Administração , São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1983.
Anexo- MAXIMIZAÇÃO DE MULTIPRODUTOS COM RESTRIÇÕES
Um Exemplo ilustrativo
Uma empresa produz e vende cinco produtos. Os preços, custos e despesas são:
Produto Preço de venda Custo e despesa variáveis Produto Alfa 100,00 50, Produto Beta 200,00 100, Produto Delta 500,00 250, Produto Gama 1000,00 800, Produto Sigma 800,00 650,
A partir deste mês a empresa formalizou um contrato de entrega de 1.000 produtos Alfa, projetando a venda máxima de mais 4.000 unidades do produto, para os meses seguintes. O produto Sigma é fabricado especialmente para atender o mercado fora do Estado e é vendido para um cliente específico, numa quantidade fixa de 120 unidades por mês. Os outros três produtos (Beta, Delta e Gama), têm grande procura, de modo que qualquer quantidade produzida é absorvida pelo mercado. O processamento de fabricação passa por três departamentos, cuja produção é limitada pela utilização de horas-máquinas disponíveis. No quadro abaixo, é apresentado os coeficientes de utilização por unidade produzida de cada produto.
Departamento Hs Máq. p/unidade Hs Máq. p/unidade Hs Máq. p/unidade Produto Depto A Depto B Depto C
Produto Alfa 1 2 1 Produto Beta 2 1 1 Produto Delta 4 2 3 Produto Gama 15 10 5 Produto Sigma 10 6 4 Hs máq. disponível 3.000 hs 3.800 hs 2.700 hs
Os custos e despesas fixos para o presente mês deve importar em 100.000,00. A gerência administrativa da empresa quer conhecer qual deve ser a produção do mês deste mês, em termos de combinação dos cinco produtos que venham a apresentar o melhor resultado operacional possível (maior lucro), nas condições de produção, custos, despesas e vendas programadas.
SOLUÇÃO
O primeiro passo é formular o problema a fim de identificar a função objetivo e as restrições. As quantidades produzidas e vendidas de cada produto podem ser representadas assim: X1 = Quantidade produzida e vendida dos produtos Alfa X2 = Quantidade produzida e vendida dos produtos Beta X3 = Quantidade produzida e vendida dos produtos Delta X4 = Quantidade produzida e vendida dos produtos Gama X5 = Quantidade produzida e vendida dos produtos Sigma A função objetivo deve considerar as margens de contribuição unitária de cada produto e os custos de despesas variáveis, ou seja: MCu = PVu - CDVu. Assim, para otimizar a função, isto é, maximizar o resultado temos: Y = 50 X1 + 100 X2 + 250 X3 + 200 X4 + 150 X5 - 100.
Identificando as restrições que estão envolvendo o sistema: a) Restrição de demanda: X1 ≥ 1000 (quantidade a ser vendida neste mês do produto Alfa) X1 ≤ 5000 (quantidade máxima a ser vendida nos próximos meses do produto Alfa) X5 = 120 (quantidade fixa de venda do produto Sigma)
Restrições de capacidade fabril: X1 + 2X2 + 4X3 + 15X4 + 10X5 ≤ 3000 (Hs Máq. disponíveis no Depto A) 2X1 + X2 + 2X3 + 10X4 + 6X5 ≤ 3800 (Hs Máq. disponíveis no Depto B) X1 + X2 + 3X3 + 5X4 + 4X5 ≤ 2700 (Hs Máq. disponíveis no Depto C) Condições Obrigatórias: X 1 ≥ 0 ; X 2 ≥ 0 ; X 3 ≥ 0 ; X 4 ≥ 0 ; X5 ≥ 0
Figura 3 - Relatório de Respostas – Maximização de Resultados A partir dos dados originais fornecidos, é solicitado o comando SOLVER. Após inseridos os dados (células para resultado e as restrições), o programa encontra uma solução e gera três relatórios :
- Relatório de resposta
- Relatório de sensibilidade
- Relatório de limites
Figura 4 - Relatório de Respostas - Maximização de Resultados
Restrições Célula Nome Valor da célula Fórmula Status $B$13 HM Depto A - Total Alfa 1000 $B$13<=3000 Sem agrupar $C$13 HM Depto A - Total Beta 0 $C$13<=3000 Sem agrupar $D$13 HM Depto A - Total Delta 800 $D$13<=3000 Sem agrupar $E$13 HM Depto A - Total Gama 0 $E$13<=3000 Sem agrupar $F$13 HM Depto A - Total Sigma 1200 $F$13<=3000 Sem agrupar $G$13 HM Depto A - Total TOTAL 3000 $G$13<=$G$9 Agrupar $G$14 HM Depto B - Total TOTAL 3120 $G$14<=$G$10 Sem agrupar $B$14 HM Depto B - Total Alfa 2000 $B$14<=3800 Sem agrupar $C$14 HM Depto B - Total Beta 0 $C$14<=3800 Sem agrupar
