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Instituto Superior T´ecnico Departamento de Matem´atica Sec¸c˜ao de Algebra e An´´ alise
Exerc´ıcios de Algebra Linear´
LEIC – Alameda 1 o^ Semestre 2005/
Paulo Pinto http://www.math.ist.utl.pt/˜ ppinto/
Setembro 2005
Conte´udo
1 Sistemas Lineares de Equa¸c˜oes e o C´alculo Matricial 2 1.1 N´umeros complexos....................................... 2 1.2 M´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss................................. 2 1.3 Algebra das matrizes...................................... .´ 4
2 Espa¸cos Lineares (Vectoriais) 7 2.1 Subespa¸cos lineares........................................ 7 2.2 Vectores geradores........................................ 8 2.3 Independˆencia linear....................................... 9 2.4 Bases e dimens˜ao de espa¸cos lineares.............................. 9 2.5 Matriz mudan¸ca de base..................................... 11
3 Transforma¸c˜oes Lineares 11 3.1 Representa¸c˜ao matricial de transforma¸c˜oes lineares...................... 12 3.2 Transforma¸c˜oes injectivas/sobrejectivas e bijectivas...................... 13
4 Determinante e Aplica¸c˜oes 14
5 Valores Pr´oprios e Vectores Pr´oprios 15 5.1 Alguns exerc´ıcios resolvidos................................... 17
6 Produtos Internos 22 6.1 Complemento, projec¸c˜oes e bases ortogonais.......................... 23 6.2 Alguns exerc´ıcios resolvidos................................... 24 6.3 Formas quadr´aticas........................................ 27
1 Sistemas Lineares de Equa¸c˜oes e o C´alculo Matricial
1.1 N´umeros complexos
Exerc´ıcio 1.1 Verifique, com exemplos, que as inclus˜oes N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C s˜ao todas estritas. Ser´a que isto implica que, p.ex., #N 6 = #Z??
Exerc´ıcio 1.2 Escreva na forma a + bi os seguintes n´umeros complexos:
(a) (2 − i)^2 (b) (^4) −^23 i (c) 1+ 1 −ii (d) (i)n, n ∈ N.
Exerc´ıcio 1.3 Escreva os seguintes n´umeros na forma polar z = ρeiθ^ :
(a) 7 (b) -2i (c)
1 − i (d) 3
−i.
Exerc´ıcio 1.4 Seja p(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z^2 + · · · + anzn^ um polin´omio de coeficientes reais (i.e. todos os coeficientes ak ∈ R) e na vari´avel complexa z. (a) Mostre que p(¯z) = p(z) para qualquer z ∈ C. (b) Conclua que se λ = a + ib, com a, b ∈ R e b 6 = 0, ´e raiz de p(z), ent˜ao ¯λ tamb´em o ´e. (c) Mostre que se n = 3 e p(z) tem uma raiz com parte imagin´aria n˜ao nula, ent˜ao p possui trˆes raizes distintas. (d) Calcule todas as raizes de p(z) = 5 + 9z + 8z^2 + 4z^3.
1.2 M´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss
Exerc´ıcio 1.5 Quais das seguintes equa¸c˜oes s˜ao equa¸c˜oes lineares em x, y e z? (a) x + π^2 y +
2 z = 0, (b) x + y + z = 1, (c) x−^1 + y + z = 0, (d) xy + z = 0.
Exerc´ıcio 1.6 Resolva cada um dos sistemas de equa¸c˜oes lineares, utilizando o m´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss:
(a)
x + y + 2z = 8 −x − 2 y + 3z = 1 3 x − 7 y + 4z = 10
(b)
3 x + 2y = 1 6 x + 4y = 0 9 x + 6y = 1
(c)
x + y + z + w = 1 2 x + 2y + 2z + 3w = 1
(d)
2 x + 8y + 6z = 20 4 x + 2y − 2 z = − 2 3 x − y + z = 11
(e)
2 x + 8y + 6z = 20 4 x + 2y − 2 z = − 2 − 6 x + 4y + 10z = 24
(f )
y + z = 2 3 y + 3z = 6 y + x + y = 0
Exerc´ıcio 1.7 Indique a matriz aumentada de cada sistema linear do exerc´ıcio 1.6 e aplique o m´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss para confirmar o resultado obtido no exerc´ıcio 1.6. Indique o conjunto solu¸c˜ao.
Exerc´ıcio 1.8 Encontre um sistema equa¸c˜oes lineares cujo conjunto solu¸c˜ao seja dado por S: (a) S = {(1 + t, 1 − t) : t ∈ R}; (b) S = {(1, 0 , 1)}; (c) S = {(t, 2 t, 1) : t ∈ R}; (d) S = {(t, s, t + s) : t, s ∈ R}; (e) S = ∅.
1.3 Algebra das matrizes´
Exerc´ıcio 1.12 Considere o sistema Ax = b cuja matriz matriz aumentada ´e
1 2 −α 1 2 − 1 − 1 β 9 − 2 1 − 1
(a) Calcule as caracter´ısticas de A e da matriz aumentada
[
A b
]
em fun¸c˜ao dos parˆametros α e β. (b) Discuta o tipo de solu¸c˜ao dos sistema em fun¸c˜ao dos parˆametros α e β.^1
Resolu¸c˜ao: Usando elimina¸c˜ao de Gauss temos
1 2 −α 1 2 − 1 − 1 β 9 − 2 1 − 1
− 2 L−→ 1 +L 2 − 9 L 1 + L 3
1 2 −α 1 0 − 5 2 α − 1 β − 2 0 − 20 1 + 9α − 10
−→ − 4 L 2 + L 3
1 2 −α 1 0 − 5 2 α − 1 β − 2 0 0 α + 5 − 4 β − 2
.
(a) Donde
car A =
3 , α 6 = − 5 2 , α = − 5
, car [A|b] =
3 , α 6 = − 5 , β ∈ R 3 , α = − 5 e β 6 = − 1 / 2 2 , α = −5 e β = − 1 / 2
(b) Dado o coment´ario em rodap´e (e analisando novamente a matriz em escada de linhas) temos que o sistems ´e imposs´ıvel quando α = −5 e β 6 = − 1 /2. E determinado quando´ α 6 = −5 e indeternminado quando α = −5 e β = − 1 /2.
Exerc´ıcio 1.13 Sejam A =
[
1 π − 1 2 3
]
, B =
[
]
, C =
[
]
, D =
[
π 3
]
Calcule se poss´ıvel A + B, 2A, CD, AB, AC, DC, CB e AD.
Resolu¸c˜ao: Dadas as defini¸c˜oes AB, AC, AD e DC n˜ao s˜ao poss´ıveis de calcular.
Exerc´ıcio 1.14 (a) Encontre matrizes A e B do tipo 2 × 2 tais que AB 6 = BA. Ser´a que (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2? (b) Prove que dadas duas matrizes quadradas A e B tais que AB = B e BA = A ent˜ao temos A^2 = A.
Resolu¸c˜ao: (a) H´a muitas – use por exemplo as seguintes A =
[
]
e B =
[
]
Exerc´ıcio 1.15 Sejam A, B ∈ Matn×n(R) invert´ıveis. Prove que AB tamb´em ´e invert´ıvel e que (AB)−^1 = B−^1 A−^1.
Resolu¸c˜ao: Temos que provar que existe uma matrix X tal que X(AB) = (AB)X = I, onde I denota a matriz identidade n × n. Mas como sugere o enunciado, X = B −^1 A−^1. Provemos p.ex. que X(AB) = I:
X(AB) = B−^1 A−^1 (AB) = B−^1 (A−^1 A)B = B−^11 B = B−^1 B = 1 ,
onde na segunda igualdade usa-se associatividade a da multiplica¸c˜ao matricial, na terceira igualdade a hip´otese de A−^1 ser a inversa de A e na ´ultima igualdade a hip´otese de B−^1 ser a inversa de B. (^1) Note que num sistema Ax = b: car(A) = car [A|b] sse o sistema ´e poss´ıvel (portanto imposs´ıvel sse car [A] 6 = car [A|b]). Mais car (A) = car [A|b]=n´umero de inc´ognitas sse ´e poss´ıvel determinado e poss´ıvel indeterminado sse car (A) = car [A|b] 6 =n´umero de inc´ognitas
Exerc´ıcio 1.16 Prove que
[
a b c d
]− 1
= (^) ad^1 −cb
[
d −b −c a
]
sempre que ad − cb 6 = 0.
Resolu¸c˜ao: Aplique o m´etodo de Gauss-Jordan, [A| 1 ] − − > [ 1 |A−^1 ], verificando que car A=2 sse ad − cb 6 = 0. Confronte com o exerc´ıcio 1.9, al´ınea (b).
Exerc´ıcio 1.17 Sendo A = [aij ] uma matriz n × n, define-se o tra¸co de A, tr(A), como sendo a soma dos elementos da diagonal pincipal, i.e. tr(A) = ∑nk=1 akk. (a) Prove que tr(A + B) = tr(A) + tr(B) e tr(A) = tr(AT^ ) onde AT^ designa a matriz transposta de A (b) Prove que tr(AB) = tr(BA). (c) Se B = S−^1 AS para alguma matriz invert´ıvel S, ent˜ao prove que tr(A) = tr(B).
Resolu¸c˜ao: As al´ıneas (a) e (b) seguem directamente das defini¸c˜oes. Use a al´ınea (b) para resolver (c).
Exerc´ıcio 1.18 Encontre matrizes A e B do tipo 2 × 2 reais, tais que AB 6 = BA. Ser´a que (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 para quaisquer matrizes A e B? Justifique.
Resolu¸c˜ao: Use, por exemplo, A =
[
]
e B =
[
]
Exerc´ıcio 1.19 Prove que {A ∈ Mat 2 × 2 (R) : AB = BA, para qualquer B} = {aI : a ∈ R} onde I denota a matriz identidade do tipo 2 × 2. Generalize para matrizes n × n.
Resolu¸c˜ao: Dada uma matriz A ∈ {A ∈ Mat 2 × 2 (R) : AB = BA, para toda B} escrever as condi¸c˜oes
que provˆem de AB = BA quando fazemos B ∈ {
[
]
[
]
[
]
[
]
Exerc´ıcio 1.20 Sejam A, B, C matrizes n×n, tais que A e B s˜ao invert´ıveis. Resolva a seguinte equa¸c˜ao matricial em X: AXB = C.
Resolu¸c˜ao: Como A ´e invert´ıvel A−^1 A = I onde I designa a matriz identidade n × n. Portanto multi- plicando `a esquerda por A−^1 obt´em-se
AXB = C ⇔ A−^1 AXB = A−^1 C ⇔ IXB = A−^1 C ⇔ XB = A−^1 C.
De forma similar, multiplica-se `a direita esta ´ultima equa¸c˜ao por B −^1 e conclui-se que X = A−^1 CB−^1.
Exerc´ıcio 1.21 Seja A ∈ Matn×n(R) tal que Ak^ = 0 para algum k ∈ N, k 6 = 1. Prove que
(I − A)−^1 = I + A + A^2 + · · · + Ak−^1.
Exerc´ıcio 1.22 Seja A =
(a) Verifique que A^3 ´e a matriz nula. Prove que A n˜ao ´e invert´ıvel. (b) Calcule (I + A + A^2 )(I − A).
Resolu¸c˜ao: Facilmente se calcula A^3 por defini¸c˜ao de produto de matrizes. Supor que A ´e invert´ıvel, ent˜ao como o produto de matrizes invert´ıveis ´e invert´ıvel, conluimos que A^2 e A^3 tamb´em s˜ao invert´ıveis. Mas A^3 n˜ao ´e invert´ıvel. Alternativelmente, verifique que car (A) = 2 6 = 3. Donde A n˜ao ´e invert´ıvel.
(a) Se x ´e solu¸c˜ao de Ax = b e y ´e solu¸c˜ao do sistema homog´eneo associado Ay = 0, ent˜ao x − y ´e solu¸c˜ao de Ax = b. (b) Se x 1 e x 2 s˜ao duas solu¸c˜oes de Ax = b, ent˜ao x − y ´e solu¸c˜ao de Ax = b. (c) Se x 1 e x 2 s˜ao duas solu¸c˜oes de Ax = b, ent˜ao x − y ´e solu¸c˜ao de Ax = 0. (d) Se A ´e invert´ıvel, entao x = 0 ´e a ´unica solu¸c˜ao de Ax = 0.
2 Espa¸cos Lineares (Vectoriais)
2.1 Subespa¸cos lineares
Exerc´ıcio 2.1 Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos s˜ao espa¸cos lineares (considere as opera¸c˜oes usuais de adi¸c˜ao de vectores e multiplica¸c˜ao por escalares): (a) {(0, 0)}. (b) {(x, y) ∈ R^2 : x − 2 y = 0}. (c) {(x, y) ∈ R^2 : x + y = π}. (d) {(x, y) ∈ R^2 : ax + by = k}.
Resolu¸c˜ao: Os subespa¸co lineares de R^2 s˜ao as rectas que contˆem a origem, al´em dos dois subespa¸cos triviais: {(0, 0)} e R^2.
Exerc´ıcio 2.2 Considere o espa¸co linear V = R^3 com as opera¸c˜oes usuais. Diga, justificando, quais dos seguintes subconjuntos de R^3 s˜ao subespa¸cos lineares de V : (a) {(x, y, z) ∈ R^3 : z = 1}, (b) {(x, y, z) ∈ R^3 : xy = 0}, (c) {(x, y, z) ∈ R^3 : x + y + 2z = 0, x − y = 0}, (d) {(x, y, z) ∈ R^3 : ax + by + cz = d, kx + ly + mz = r}.
Exerc´ıcio 2.3 Seja A uma matriz real n×m. Prove que V =
(x 1 , · · · , xm) ∈ Rm^ : A
x 1 x 2 ... xm
^ =
´e um subespa¸co linear de Rm^ (isto ´e: o conjunto das solu¸c˜oes de qualquer sistema homog´eneo forma um espa¸co linear).
Exerc´ıcio 2.4 Considere V o espa¸co linear das fun¸c˜oes reais de vari´avel real. Diga, justificando, quais dos seguintes subconjuntos de V s˜ao subespa¸cos lineares de V : (a) {f : R → R : f (x) = f (−x)}, (b) {f : R → R : f diferenci´avel e f ′(x) = f (x)} onde f ′^ designa a derivada de f , (c) {f : R → R : f cont´ınua}, (d) {p : R → R : p polin´omino}, (e) Pn = {p(x) = ∑n i=1 αixi^ :^ grau de^ p^ ≤^ n}, (f) {p(x) = ∑ni=1 αixi^ : grau p = n}, (g) {p(x) = ∑ni=1 αixi^ : grau de p ≤ n e p(1) = 0}.
Exerc´ıcio 2.5 Considere V o espa¸co linear das sucess˜oes. Diga, justificando, quais dos seguintes sub- conjuntos de V s˜ao subespa¸cos lineares de V : (a) {(un) : un = un− 1 + un− 2 }, (b) {(un) : un ´e convergente}, (c) {(un) : un → 0 }, (d) {(un) : un → 1 }, (e) {(un) : un limitada}, (f) {(un) : un mon´otona crescente}.
Exerc´ıcio 2.6 Considere V = Matn×n(R) os espa¸co linear das matrizes n × n. Diga, justificando, quais dos seguintes subconjuntos de V s˜ao subespa¸cos lineares de V : (a) {matrizes triagulares superiores}, (b) {X ∈ V : X ´e invert´ıvel}, (c) {X ∈ V : T r(X) = 0}, (d) {X ∈ V : XT^ = X} onde XT^ denota a transposta da matriz X,
(e)
{ [^ x 11 x 12 x 21 x 2
]
∈ Mat 2 × 2 (R) : x 12 = x 22
2.2 Vectores geradores
Exerc´ıcio 2.7 Considere em R^2 o conjunto de vectores S = {(1, 1), (− 1 , −1)}. (a) Mostre que o vector (3, 3) ´e combina¸c˜ao linear de vectores de S. (b) Mostre que o vector (0, 1) n˜ao ´e combina¸c˜ao linear de vectores de S. (c) Determine a forma geral de vectores (a, b) ∈ L(S) no espa¸co gerado por S.
Exerc´ıcio 2.8 No espa¸co linear R^3 considere os vectores v 1 = (1, 2 , 1), v 2 = (1, 0 , 2) e v 3 = (1, 1 , 0). Mostre que os seguintes vectores s˜ao combina¸c˜oes lineares de v 1 , v 2 e v 3 : (a) v = (3, 3 , 3) (b) v = (2, 1 , 5) (c) v = (− 1 , 2 , 0).
Exerc´ıcio 2.9 Determine o valor de k para o qual o vector v = (1, − 2 , k) ∈ R^3 ´e combina¸c˜ao linear dos vectores v 1 = (3, 0 , −2) e v 2 = (2, − 1 , −5).
Exerc´ıcio 2.10 Decida quais dos seguintes conjuntos geram R^3 : (a) {(1, 1 , 1), (1, 0 , 1)}, (b) {(1, 1 , 1), (1, 0 , 1), (0, 0 , 1)}, (c) {(1, 1 , 1), (1, 0 , 1), (0, 0 , 1), (2, 1 , 3)}.
Exerc´ıcio 2.11 Considere, no espa¸co linear P 2 dos polin´omios de grau menou ou igual a 2, os vectores p 1 (x) = 2 + x + 2x^2 , p 2 (x) = − 2 x + x^2 , p 3 (x) = 2 − 5 x + 5x^2 e p 4 (x) = − 2 − 3 x − x^2. O vector p(x) = 2 + x + x^2 pertence `a expans˜ao linear L({p 1 , p 2 , p 3 , p 4 })? Podem p 1 , p 2 , p 3 e p 4 gerar P 2?
Exerc´ıcio 2.12 Considere A 1 =
[
]
, A 2 =
[
]
, A 3 =
[
]
e A 4 =
[
]
no
espa¸co linear V =Mat 2 × 2 (R). Prove que S = {A 1 , A 2 , A 3 , A 4 } gera V. Escreva A =
[
]
como
combina¸c˜ao linear de matrizes de S.
Exerc´ıcio 2.19 Considere V = L({v 1 , v 2 , v 3 }) onde v 1 = (1, 1 , 1 , 1), v 2 = (0, 1 , 1 , −1) e v 3 = (1, 2 , 2 , 0). Encontre uma base para V e indique a respectiva dimens˜ao.
Exerc´ıcio 2.20 Seja A =
^.^ Determine a dimens˜ao dos seguintes espa¸cos lineares, indi-
cando uma base em cada caso: (a) N´ucleo de A (b) Espa¸co linhas de A (c) Espa¸co colunas de A.
Exerc´ıcio 2.21 Encontre a caracter´ıstica, bases para o n´ucleo, espa¸co das linhas e das colunas das ma- trizes seguintes:
[
]
[
]
[
]
^ e
Para cada matriz A verifique que: dim Nuc(A)+ car(A)= n´umero de colunas de A.
Exerc´ıcio 2.22 Encontre bases e respectivas dimens˜oes para os seguintes espa¸cos lineares: (a) V = {p ∈ P 3 : p(1) = 0}; (b) V = {p ∈ P 2 : p(0) = p(1) = 0};
(c) V = {
[
a b c d
]
∈ Mat 2 × 2 (R) : a + 2b = 0};
(d) {A ∈ Mat 2 × 2 (R) : A = AT^ };
(e)
A ∈ Mat 2 × 2 (R) : A
[
]
[
]
A
Exerc´ıcio 2.23 Sejam E = L({(1, 1 , 1), (1, 2 , 2)}) e F = L({(0, 1 , −1), (1, 1 , 2)}). (a) Determine a dimens˜ao^2 de E + F. (b) Determine a dimens˜ao de E ∩ F.
Resolu¸c˜ao: (a) Temos que E + F = L(E ∪ F ) = L({(1, 1 , 1), (1, 2 , 2), (0, 1 , −1), (1, 1 , 2)}).
Escrevendo as componentes destes vectores como linhas de uma matriz e usando elimina¸c˜ao de Gauss
^ →
obtemos uma matriz de caracter´ıstica 3 pelo que a dimens˜ao de E + F ´e 3.
(b) Como os vectores (1, 1 , 1), (1, 2 , 2) s˜ao linearmente independentes, por n˜ao serem m´ultiplos um do outro, a dimens˜ao de E ´e 2. Analogamente se vˆe que a dimens˜ao de F ´e 2. Dado que dim E + F = dim E+ dim F − dim E ∩ F e pela al´ınea anterior dim E + F = 3, temos que a dimens˜ao de E ∩ F ´e 1. (^2) Note que em geral se E = L({v 1 , · · · , vp}) e F = L({w 1 , · · · wq }) ent˜ao E + F = L({v 1 , · · · , vp, w 1 , · · · , wq })
Exerc´ıcio 2.24 Determine a dimens˜oes de E ∩ F e E + F :
(a) E = L({(1, 1 , − 1 , −1), (1, 1 , 1 , 1), (1, 1 , 2 , 2)}) e F = L({(1, 0 , 0 , 1), (0, 1 , 1 , 1), (1, 1 , 0 , 1)});
(b) E = {(x, y, z, w) ∈ R^4 : x + y + z = 0} e F = ({(x, y, z, w) ∈ R^4 : x + w = 0, y + w = 0};
(c) E = L({1 + x + x^2 , 1 + x^2 }) e F = L({3 + 2x + 3x^2 }) em P 2.
2.5 Matriz mudan¸ca de base
Exerc´ıcio 2.25 (a) Seja BC= {e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1)} e B = {v 1 = (1, 1), v 2 = (− 1 , 0)} duas bases de R^2. Encontre a matriz S mudan¸ca de base da base BC para a base B e a matriz P mudan¸ca de base da base B para a base BC. Quais s˜ao as coordenadas do vector v = (3, 4) na base B. (b) Encontre as coordenadas do vector v = (1, 2 , −3) numa base do espa¸co linear E = {(x, y, z) ∈ R^3 : x + y + z = 0} `a sua escolha.
Exerc´ıcio 2.26 (a) Prove que A 1 =
[
]
, A 2 =
[
]
, A 3 =
[
]
e A 4 =
[
]
constituem uma base para o espa¸co linear V =Mat 2 × 2 (R). (b) Determine a matriz mudan¸ca de base S da base can´onica de Mat 2 × 2 (R) para a base {A 1 , A 2 , A 3 , A 4 }.
(c) Encontre as coordenadas de A =
[
a b c d
]
na base can´onica de Mat 2 × 2 (R) e na base {A 1 , A 2 , A 3 , A 4 }.
3 Transforma¸c˜oes Lineares
Exerc´ıcio 3.1 Sejam E e F espa¸cos lineares e T : E → F uma transforma¸c˜ao linear. Prove que ent˜ao T transforma o vector nulo (^0) E de E no vector nulo (^0) F de F , i.e. T ( (^0) E ) = (^0) F.
Exerc´ıcio 3.2 Determine quais das seguintes transforma¸c˜oes s˜ao lineares: Em Rn: (a) T : R^2 → R^2 , T (x, y) = (x, y) (b) T : R^2 → R^2 , T (x, y) = (x + 1, y) (c) T : R^2 → R^2 , T (x, y) = (2x, y^2 ) (d) T : R^3 → R^3 , T (x, y, z) = (x + 2y + z, y − 3 z, 0) (e) T : R^2 → R^3 , T (x, y) = (x, 2 x + 3y, x + y) (f) T : R^2 → R^3 , T (x, y) = (x, 2 x + 3y, 1)
Em Pn na var´avel x e onde p′^ designa a derivada de p: (g) T : P 2 → P 2 , T (p)(x) = xp′(x) + p(x) (h) T : P 2 → P 3 , T (p)(x) = x^2 p′(x) + p(x + 1) (i) T : P 2 → P 2 , T (p)(x) = p(x + 1) + p(x − 1) (j) T : P 2 → P 3 , T (p)(x) = p(−1) + p(0) + p(1) (l) T : P 3 → P 2 , T (p)(x) = p(0)p′(x)
3.2 Transforma¸c˜oes injectivas/sobrejectivas e bijectivas
Exerc´ıcio 3.9 Seja T : R^2 → R^2 a transforma¸c˜ao linear que na base B = {(1, 1), (1, 2)} ´e representada
pela matriz A =
[
]
. Calcule T (x, y) e verifique se T ´e uma transforma¸c˜ao injectiva ou sobrejectiva.
Exerc´ıcio 3.10 Considere T : P 2 → P 2 , T (p)(x) = xp′(x) + p(x). Encontre a matriz que representa T na base can´onica de P 2 , i.e. { 1 , x, x^2 }. Ser´a T uma transforma¸c˜ao invert´ıvel?
Exerc´ıcio 3.11 Considere as transforma¸c˜oes lineares do exerc´ıcio 3.2. (a) Indique as que s˜ao injectivas ou sobrejectivas. Nos casos em que o espa¸cos de partida e de chegada coincidem e a transforma¸c˜ao for bijectiva, determine a transforma¸c˜ao T −^1 inversa. (b) Se T ´e n˜ao injectiva, ent˜ao encontre uma base para o n´ucleo de T. (b) Se T ´e n˜ao sobrejctiva, entre encontre uma base para o imagem de T.
Exerc´ıcio 3.12 Seja T : R^3 → R^2 a transforma¸c˜ao linear definida por
T (x, y, z) = (x + y, x + y − z).
(a) Calcule a matriz que representa T nas bases can´onicas. (b) Calcule uma base para o n´ucleo de T. A transforma¸c˜ao ´e injectiva? (c) Calcule uma base para a imagem de T. Ser´a T sobrejectiva? (d) Resolva a equa¸c˜ao linear T (x, y, z) = (1, 1). (e) Existe algum (a, b) ∈ R^2 tal que a equa¸c˜ao T (x, y, z) = (a, b) seja imposs´ıvel? (f) Existe algum (a, b) ∈ R^2 tal que a equa¸c˜ao T (x, y, z) = (a, b) seja indeterminada?
Exerc´ıcio 3.13 Decida o valor l´ogico das seguintes proposi¸c˜oes: (a) Existem transforma¸c˜oes lineares injectivas de R^8 para R^6. (b) Existem transforma¸c˜oes lineares sobrejectivas de R^8 para R^6. (c) Existem transforma¸c˜oes lineares injectivas de R^6 para R^8. (d) Existem transforma¸c˜oes lineares sobrejectivas de R^6 para R^8. (e) Existem transforma¸c˜oes lineares injectivas de Mat 2 × 2 para P 2.
Exerc´ıcio 3.14 Seja S =
[
a b c d
]
matriz n˜ao nula e a transforma¸c˜ao T : Mat 2 × 2 (R) → Mat 2 × 2 (R)
dada por T (X) = tr(X)S
onde tr(X) designa o tra¸co da matriz X. (a) Prove que T ´e uma transforma¸c˜ao linear.
(b) Considere a base can´onica Bc =
{ [^1
]
[
]
[
]
[
] }
de Mat 2 × 2 (R). Calcule
a matriz que representa T nesta base. (c) Encontre uma base para o n´ucleo de T e verifique se T ´e injectiva. (d) Encontre uma base para a imagem de T e verifique se T ´e sobrejectiva. (e) Determine uma base de Mat 2 × 2 (R) cuja representa¸c˜ao matricial de T nessa base seja uma matriz diagonal. (f) Qual ´e a matriz mudan¸ca de base da base con´onica para a base da al´ınea anterior?
Exerc´ıcio 3.15 Seja T : P 2 → P 2 a transforma¸c˜ao linear definida por
(T p)(x) = x^2 p′′(x) − 2 p(x).
(a) Calcule a matriz que representa T na base can´onica {p 1 , p 2 , p 3 } onde
p 1 (x) = 1, p 2 (x) = x, p 3 (x) = x^2.
(b) Calcule uma base para o n´ucleo de T e conclua que T n˜ao ´e injectiva nem sobrejectiva. (c) Resolva, em P 2 , a equa¸c˜ao linear x^2 p′′(x) − 2 p(x) = 1.
4 Determinante e Aplica¸c˜oes
Exerc´ıcio 4.1 Seja A uma matriz n × n e B. Decida se cada afirma¸c˜ao seguinte ´e verdadeira: (a) Seja B a matriz que se obt´em de A fazendo uma troca de linhas Li ←→ Lj com i 6 = j. Ent˜ao det(A) = det(B). (b) Seja B a matriz que se obt´em de A multiplicando uma linha de A por um escalar n˜ao nulo k. Ent˜ao det(A) = (^1) k det(B). (c) Seja B a matriz que se obt´em de A substituindo a linha Li de A por Li + αLj , para qualquer escalar α. Ent˜ao det(A) = det(B). (d) Sendo At^ a matriz transposta de A, det(A) = det(At). (e) det(αA) = αn^ det(A).
Exerc´ıcio 4.2 Seja A =
a b c d e f g h i
tal que det(A) =^ −5. Calcule
(a) det(3A) (b) det(A−^1 ) (c) det(− 2 A−^1 ) (d) det((− 2 A)−^1 ) (e) det(A^3 ) (f) det
a g d b h e c i f
Exerc´ıcio 4.3 Mostre que det
b + c a + c a + b a b c 1 1 1
= 0 para quaisquer^ a, b, c^ ∈^ R.^ Ser´a que^ A^ ´e
invert´ıvel para algum a, b, c ∈ R?
Exerc´ıcio 4.4 Para que valores de k a matriz A ´e singular?
(a) A =
k 3 2
(b)^ A^ =
[
k − 2 − 2 − 2 k − 2
]
Exerc´ıcio 4.5 Use a Regra de Laplace para calcular os determinantes das matrizes
A =
1 π − 1 0 2 0 3 4 5
,^ B^ =
^ ,^ C^ =
(c) Determine os espa¸co pr´oprios e indique as respectivas dimens˜oes. (d) Prove que T ´e diagonaliz´avel e indique uma matriz S tal que SAS −^1 ´e uma matriz diagonal. (e) Calcule T 9.
Exerc´ıcio 5.4 Considere a transforma¸c˜ao linear T : P 2 → P 2 que na base { 1 , x, x^2 } ´e representada pela matriz
A =
(a) Determine os valores e vectores pr´prios de T. (b) Diga, justificando, se existe alguma base de P 2 cuja representa¸c˜ao matricial de T ´e uma matriz diagonal.
Exerc´ıcio 5.5 Considere a transforma¸c˜ao T do exerc´ıcio 3.14, mas fixando S =
[
]
(a) Encontre os valores e vectores pr´oprios de T. (b) Verifique se T ´e diagonaliz´avel.
Exerc´ıcio 5.6 Seja T : P → P 2 a transforma¸c˜ao linear cuja matriz na base can´onica ´e
(a) Prove que p(x) = 1 − x^2 e q(x) = 1 − 2 x + x^2 s˜ao vectores pr´oprios de T. Indique os valores pr´oprios associados. (b) verifique se T ´e diagonaliz´avel.
Exerc´ıcio 5.7 Seja p(λ) = det(A − λI) o polion´omio caracter´ıstico de uma matriz real do tipo n × n e E(λ) = Nuc(A − λI). Decida sobre o valor l´ogico das seguintes proposi¸c˜oes: (a) Temos p(λ) = 0 se e s´o se dim NucE(λ) 6 = 0. (b) A matriz ´e invert´ıvel se e s´o se 0 e valor pr´oprios de A. (c) Se a matriz B se obt´em de A aplicando o m´etodo de Gauss, ent˜ao os valores pr´oprios de A e B coincidem. (d) Se A ´e sim´etrica A = At, ent˜ao ´e diagonaliz´avel. (e) Se λ e μ s˜ao valores pr´oprios distintos de A, u vector pr´oprio associado ao valor pr´oprio λ, v vector pr´oprio associado ao valor pr´oprio μ, ent˜ao u + v ´e um vector pr´oprio associado ao valor pr´oprio λ + μ. (f) O conjunto {λ ∈ C : dim Nuc(A − λI) = 0} ´e infinito.
Exerc´ıcio 5.8 (a) Mostre que a matriz A =
[
]
´e diagonaliz´avel, indicando uma matriz diagonal
D e matriz mudan¸ca de base S tais que D = SAS−^1. (b) Encontre a ´unica solu¸c˜ao do seguinte sistema de equa¸c˜oes diferenciais: { 2 x 1 (t) + x 2 (t) = x′ 1 (t) − 2 x 1 (t) + 5x 2 (t) = x′ 2 (t)
com as condi¸c˜oes x 1 (0) = 1, x 2 (0) = −1.
5.1 Alguns exerc´ıcios resolvidos
Exerc´ıcio 5.9 Determine todos os vectores e valores pr´oprios da transforma¸c˜ao linear T : R^2 → R^2
representada em rela¸c˜ao `a base can´onica de R^2 pela matriz A =
[
]
Resolu¸c˜ao O polin´omio caracter´ıstico de A ´e:
p(λ) = det(A − λI) = det
[
1 − λ − 2 − 2 4 − λ
]
= (1 − λ)(4 − λ) − 4 = λ^2 − 5 λ,
pelo que os valores pr´oprios de T (os mesmos que os de A) s˜ao { 0 , 5 }. Resta-nos encontrar os vectores pr´oprios associados a cada valor pr´oprio. O espa¸co pr´oprio E(0) associado a valor pr´oprio λ=0 ´e E(0) = Nuc(A − 0 I) = Nuc(A), cuja base ´e {(2, 1)}. Portanto os vectores pr´oprios associados ao valor pr´oprio λ=0 s˜ao {(2a, a)} para qualquer escalar a n˜ao nulo. Finalmente, o espa¸co pr´oprio E(5) associado ao valor pr´oprio λ = 5 ´e
E(5) = Nuc(A − 5 I) = Nuc
[
]
cuja base ´e {(1, −2)}, donde {(b, − 2 b) : b 6 = 0} s˜ao os vectores pr´oprios associados ao valor pr´oprio λ = 5.
Exerc´ıcio 5.10 Seja A ∈ Matn×n(R) matriz invert´ıvel. (a) Prove que 0 n˜ao ´e valor pr´oprio de A. (b) Encontre os valores e vectores pr´oprios de A−^1 em fun¸c˜ao dos de A.
Resolu¸c˜ao: (a) Comece por notar que, por defini¸c˜ao, 0 ´e valor pr´oprio de A sse 0 ´e raiz do polin´omio caracter´ıstico p(λ) = det(A − λI), i.e. 0 = p(0) = det(A − 0 I) = det(A). Pelo que 0 ´e valor pr´oprio de A sse det A = 0, ou seja sse A n˜ao ´e invert´ıvel. Conclus˜ao: A invert´ıvel sse p(0) 6 = 0. (b) Seja λ valor pr´oprio de A. Por (a), λ 6 = 0. Vamos agora provar que 1/λ ´e valor pr´oprio de A−^1. Usando propriedades dos determinantes temos:
det(A−^1 − (^) λ^1 I) = det(A−^1 − (^1) λ A−^1 A) = det(A−^1 ) det(I − (^) λ^1 A) = det(A−^1 ) det( λ^1 λI − (^1) λ A) =
det(A−^1 ) det
λ (A^ −^ λI)
λ
)n det A−^1 det(A − λI),
pelo que λn^ det(A) det(A−^1 − 1 /λI) = (−1)n^ det(A − λI). Portanto λ ´e valor pr´oprio de A sse 1/λ ´e valor pr´oprio de A−^1. Seja v um vector pr´oprio de A associado a um valor pr´oprio λ. Portanto Av = λv por defini¸c˜ao. Aplicando a inversa de A em ambos os membros desta igualdade obtemos A−^1 Av = λA−^1 v, logo v = λA−^1 v. Portanto A−^1 v = (^1) λ v. Assim concluimos que v tamb´em ´e vector pr´oprio de A−^1 associado ao valor pr´oprio 1/λ.
Exerc´ıcio 5.11 Prove que A =
[
]
n˜ao ´e diagonaliz´avel.
Falta investigar dois casos singulares. No caso α = −1, {(− 1 , 1 , 0), (0, 0 , 1)} forma uma base para E(−1), enquanto {(1, 1 , 0)} forma uma base para E(3). No caso α = 3, {(− 1 , 1 , 0)} forma uma base para E(−1), e {(1, 1 , 0), (0, 0 , 1)} forma uma base para E(3). (c) A matriz Aα ´e diagonaliz´avel para todo o α porque ´e simetrica ATα = Aα. (Alternativelmente, verifique que a multiplicidade alg´ebrica e geom´etrica de cada valor pr´oprio coincidem.) Sendo Sα = M (id; Bvp, Bc) a matriz mudan¸ca de base, as colunas de Sα s˜ao formadas pelos vectores que provˆem das bases dos espa¸cos pr´oprios, e as entrada na matriz diagonal Dα s˜ao os valores pr´oprios
correspondentes aos vectores pr´oprios em Sα. Assim, e em todos os casos, Sα =
,^ Dα^ =
0 0 α
. Note que se^ Aα^ representa a transforma¸c˜ao linear^ Tα^ na base can´onica,^ Sα^ ´e a matriz
mudan¸ca de base (da base formada por vectores pr´oprios para a base can´onica) e Dα representa Tα na base formada pelo vectores pr´oprios (verifique!). (d) A matriz ´e invert´ıvel sse α 6 = 0. Os valores pr´oprios de A−^1 s˜ao pelo exerc´ıcio 5.10, {− 1 , 1 / 3 , 1 /α}. As bases para os espa¸cos pr´oprios E(−1), E(1/3) e E(1/λ) de A−^1 coincidem (novamente pelo exerc´ıcio 5.10) com as bases para os espa¸cos pr´oprios E(−1), E(3) e E(α) de A, respectivamente. Temos trivial- mente A− α 1 = S− α 1 D α− 1 Sα, onde Sα e Dα s˜ao as matrizes calculadas em (c).
(e) Observe que Aα t´em pelo menos um valor pr´oprio negativo (para qualquer α)!
Exerc´ıcio 5.13 Considere a matriz A =
e^ x(t) =
x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)
para cada t ∈ R.
(a) Encontre a solu¸c˜ao geral^3 do sistema de equa¸c˜oes diferencias x′=Ax, onde x′(t)=(x′ 1 (t), x′ 2 (t), x′ 3 (t)). (b) Calcule a solu¸c˜ao de x′(t) = Ax(t) que passa no ponto x(0) = (1, 1 , 1).
Resolu¸c˜ao: (a) • Comece por observar que A ´e sim´etrica, portanto A ´e diagonaliz´avel. Vamos encontrar, em primeiro lugar, matriz mudan¸ca de base S e matriz diagonal D tais que S −^1 AS = D. O polin´omio caracter´ıstico de A ´e p(λ) = −λ(λ − 2)^2 , pelo que os valores pr´oprios de A s˜ao { 0 , 2 }. O vector (− 1 , 0 , 1) forma uma base para E(0), enquanto (1, 0 , 1), (0, 1 , 0) fornecem uma base para o espa¸co pr´oprio E(2). Logo
S =
,^ D^ =
- De seguida, vamos resolver o sistema de equa¸c˜oes diferenciais y′^ = Dy. Como D ´e diagonal, a solu¸c˜ao geral desta equa¸c˜ao ´e imediata: y(t) = (c 1 e^0 t, c 2 e^2 t, c 3 e^2 t) = (c 1 , c 2 e^2 t, c 3 e^2 t) com c 1 , c 2 , c 3 constantes. (^3) No caso geral de uma matriz A diagonaliz´avel, para resolver o sistema de equa¸c˜oes diferenciais x′ (^) = Ax, primeiro lugar encontra-se uma martiz mudan¸ca de base S = M (id, Bvp, Bc) e matrix diagonal D (formada pelos vectores pr´oprios de A) tais que D = S−^1 AS. De uma forma equivalente, encontra-se a matriz mudan¸ca de base P = M (id, Bc, Bvp) tal que D = P AP −^1 , uma vez que P = S−^1. Depois, usa-se a mudan¸ca de var´avel y = S−^1 x e resolve-se a o sistema de equa¸c˜oes difereniais y′^ = Dy, cuja solu¸c˜ao geral ´e y(t) = (c 1 eλ^1 t, · · · , cneλnt) onde λi, · · · , λn s˜ao os valores pr´oprios de A e c 1 , · · · , cn s˜ao constantes. Finalmente, a solu¸c˜ao geral do sistema inicial x′^ = Ax ´e x = Sy
- Finalmente, a solu¸c˜ao geral de x′^ = Ax obt´em-se da de y′^ = Dy da seguinte forma
x(t) = Sy(t) =
c 1 c 2 e^2 t c 3 e^2 t
−c 1 + c 3 e^2 t c 2 e^2 t c 1 + c 3 e^2 t
(b) J´a vimos em (a) que a solu¸c˜ao geral de x′^ = Ax ´e x(t) = (−c 1 + c 3 e^2 t, c 2 e^2 t, c 1 + c 3 e^2 t). Falta-nos determinar os valores das constantes c 1 , c 2 , c 3 , pelo que temos de usar a condi¸c˜ao x(0) = (1, 1 , 1) da seguinte maneira: (1, 1 , 1) = x(0) = (−c 1 + c 3 , c 2 , c 1 + c 3 )
donde c 1 = 0, c 2 = 1, c 3 = 1. Portanto x 1 (t) = e^2 t, x 2 (t) = e^2 t^ e x 3 (t) = e^2 t.
Exerc´ıcio 5.14 No espa¸co dos polin´omios reais de grau menor ou igual a 3, P 3 , considere os vectores v 1 = 1 + x^3 , v 2 = 1 + x^2 + x, v 3 = x − x^3 , v 4 = 1 − x. (a) Verifique que B = (v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ) ´e uma base de P 3. (b) Sendo T : P 3 → P 3 a transforma¸c˜ao linear tal que
T (y 1 v 1 + y 2 v 2 + y 3 v 3 + y 4 v 4 ) = (y 1 + y 2 )v 3 + (y 3 + y 4 )v 1
determine a imagem, o n´ucleo e os subespa¸cos pr´oprios de T. (c) Escreva a matriz C que representa T em rela¸c˜ao `a base B 2 = (1, x, x^2 , x^3 ) e diga justificando se C ´e diagonaliz´avel. (d) Resolva a equa¸c˜ao T (p(x)) = 3v 3.
Resolu¸c˜ao: (a) Escrevendo as componentes destes vectores em rela¸c˜ao `a base B 1 = (1, x, x^2 , x^3 ) de P 3 como linhas de uma matriz e usando elimina¸c˜ao de Gauss
^ →
^ →
conclu´ımos que, dado que a dimens˜ao do espa¸co das linhas da matriz ´e 4, tamb´em a expans˜ao linear L({v 1 , v 2 , v 3 , v 4 }) tem dimens˜ao 4 (igual a dimens˜ao de P 3 ), donde B = (v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ) ´e uma base de P 3. (b) Como T (v 1 ) = v 3 , T (v 2 ) = v 3 , T (v 3 ) = v 1 , T (v 4 ) = v 1 , a matriz que representa T em rela¸c˜aoa base B (ou seja M (T ; B)) ´e
A =
^.
O espa¸co de colunas desta matriz ´e L({(0, 0 , 1 , 0), (1, 0 , 0 , 0)}), e logo ImT = {v ∈ P 3 : vB ∈ C(A)} = L({v 3 , v 1 }). O n´ucleo de A ´e {(x, y, z, w) ∈ R^4 : x + y = 0 e z + w = 0 } = {(−y, y, −w, w) : y, w ∈ R} = L({(− 1 , 1 , 0 , 0), (0, 0 , − 1 , 1)}), e logo Nuc T = {v ∈ P 3 : vB ∈ N uc(A)} = L({−v 1 + v 2 , −v 3 + v 4 }). O polin´omio caracter´ıstico p(λ) de A ´e
