algebra - mod1, Notas de estudo de Matemática

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ALGEBRA I´

Maria L´ucia Torres Villela Instituto de Matem´atica Universidade Federal Fluminense Junho de 2007 Revis˜ao em Fevereiro de 2008

Introdu¸c˜ao

A Matem´atica faz parte do nosso cotidiano e, em particular, recorremos aos n´umeros para descrever diversas situa¸c˜oes do dia a dia.

Contamos com os n´umeros naturais, repartimos um bolo usando os n´umeros racionais, medimos comprimentos com os n´umeros reais, contabili- zamos preju´ızos com n´umeros negativos. Comparamos dois n´umeros inteiros, dois n´umeros racionais e dois n´umeros reais. Calculamos ra´ızes de polinˆomios com coeficientes reais com os n´umeros complexos.

Estamos familiarizados com n´umeros naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, que est˜ao relacionados pelas seguintes inclus˜oes:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Esses conjuntos est˜ao munidos com opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao, que tˆem diversas propriedades.

O objetivo deste texto ´e introduzir o estudo de estruturas alg´ebricas, abordando os conceitos de anel, dom´ınio, corpos, dom´ınio ordenado, corpo ordenado e dom´ınio principal.

O conjunto dos inteiros ´e o primeiro exemplo de dom´ınio principal, ser´a estudado sob o ponto de vista alg´ebrico e aritm´etico e faremos um estudo detalhado das suas propriedades no contexto dos dom´ınios principais.

Outro exemplo de dom´ınio principal que ser´a introduzido ´e o anel K[x] de polinˆomios com coeficientes no corpo K.

Estudaremos congruˆencias de inteiros e introduziremos os an´eis Zn dos inteiros m´odulo n.

Mostraremos que Q ´e um corpo ordenado e ´e o corpo de fra¸c˜oes de Z e faremos a constru¸c˜ao dos n´umeros racionais a partir dos n´umeros inteiros no contexto dos dom´ınios ordenados.

Mostraremos que, a menos de isomorfismo, Z ´e o ´unico dom´ınio bem ordenado.

N˜ao faremos a constru¸c˜ao axiom´atica dos n´umeros naturais e dos n´umeros inteiros, usaremos apenas as suas no¸c˜oes intuitivas.

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Parte 1

Preliminares

Consideraremos que a linguagem e as nota¸c˜oes da teoria de conjuntos s˜ao bem conhecidas, assim como as no¸c˜oes elementares de fun¸c˜oes.

Relembramos alguns conceitos elementares da teoria de conjuntos e propriedades de fun¸c˜oes que faremos uso no texto.

Introduziremos os conceitos de rela¸c˜ao de equivalˆencia e de conjunto quociente, que tˆem aplica¸c˜oes em diversas ´areas da Matem´atica, desempe- nham um papel importante no contexto das estruturas alg´ebricas e apresen- taremos muitas aplica¸c˜oes interessantes.

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No¸c˜oes sobre conjuntos

Defini¸c˜ao 1 Dizemos que A est´a contido em B ou A ´e um subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A ´e elemento de B. Nesse caso, escrevemos A ⊂ B.

O s´ımbolo ∀ significa^ A^ ⊂^ B^ se, e somente se, para todo^ a^ ∈^ A^ temos^ a^ ∈^ B. para todo. Tamb´em dizemos que B cont´em A e escrevemos B ⊃ A. Escrevemos A 6 ⊂ B, para dizer que A n˜ao est´a contido em B. Nesse caso, existe a ∈ A tal que a 6 ∈ B.

O s´ımbolo ∃ significa existe. (^) A 6 ⊂ B se, e somente, existe a ∈ A tal que a 6 ∈ B.

Tamb´em dizemos que B n˜ao cont´em A e escrevemos B 6 ⊃ A. Exemplo 6 Temos as seguintes rela¸c˜oes entre os conjuntos dos exemplos anteriores: A ⊂ N, A ⊂ C, B ⊂ N, B ⊂ C, A ⊂ C, D 6 ⊂ C, B 6 ⊂ D. Escreva outras rela¸c˜oes usando ⊂ ou 6 ⊂ e os conjuntos dos Exemplos 1 a 5.

Se os conjuntos A e B tˆem exatamente os mesmos elementos, dizemos Para demonstrar a afirma¸c˜ao que A = B. A = B devemos provar, primeiramente, que A ⊂ B e depois que B ⊂ A.

Exemplo 7 Seja A = { |x| ; x ∈ Z }, onde |x| =

x, se x ≥ 0 −x, se x < 0 Facilmente, verificamos que A = N.

Exemplo 8 Seja A o conjunto dos triˆangulos retˆangulos is´osceles e seja B o conjunto dos triˆangulos retˆangulos cujos ˆangulos dos catetos com a hipotenusa s˜ao iguais. Ent˜ao, A = B.

Defini¸c˜ao 2 Se A ⊂ B, mas A 6 = B, ent˜ao A ´e chamado um subconjunto pr´oprio de B.

Quando consideramos subconjuntos de um conjunto fixado, chamamos esse conjunto de conjunto universo e denotamos por U. Exemplo 9 Se estamos considerando figuras geom´etricas planas, podemos tomar U como o conjunto dos pontos do plano. Nos Exemplo 2 e Exemplo 3 podemos considerar U = N.

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No¸c˜oes sobre conjuntos (^) PARTE 1 - SEC¸ AO 1˜

As opera¸c˜oes com conjuntos s˜ao uni˜ao, interse¸c˜ao e complementar e s˜ao utilizadas para construir outros conjuntos.

Defini¸c˜ao 3 O conjunto A uni˜ao B, denotado por A ∪ B, ´e o conjunto dos elementos de pelo menos um dos conjuntos A ou B.

A ∪ B = { x ; x ∈ A ou x ∈ B }.

x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ A ou x ∈ B.

O conjunto A interse¸c˜ao B, denotado por A ∩ B, ´e o conjunto dos elementos que est˜ao, simultaneamente, em ambos os conjuntos A e B.

x ∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ A e x ∈ B.

A ∩ B = { x ; x ∈ A e x ∈ B }.

Defini¸c˜ao 4 Os conjuntos A e B s˜ao disjuntos se, e somente se, A ∩ B = ∅.

Defini¸c˜ao 5 O complementar CU (A) de A ⊂ U ´e o conjunto dos elementos de U que n˜ao est˜ao em A.

CU (A) = { x ∈ U ; x 6 ∈ A }.

O complementar de A em B tamb´em ´e chamado de diferen¸ca de A e B.

O complementar de A em B, denotado por A\B (ou A−B), ´e o conjunto dos elementos de A que n˜ao est˜ao em B.

A\B = { x ∈ A ; x 6 ∈ B }.

Exemplo 10 Sejam A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, B = {−2, 0, 2, 4, 6 } e C = {−2, −1, 0, 7}. Ent˜ao,

A ∪ B = {−2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 },

A ∩ B = { 2, 4, 6 },

A\B = { 1, 3, 5 },

B\A = { −2, 0 },

A ∩ C = ∅,

B ∩ C = { −2, 0 } e

C\B = { −1, 7 }.

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No¸c˜oes sobre conjuntos (^) PARTE 1 - SEC¸ AO 1˜

Defini¸c˜ao 6 O produto cartesiano dos conjuntos A e B ´e o conjunto A × B de pares ordenados (a, b), tais que a ∈ A e b ∈ B.

Se A ou B ´e vazio, ent˜ao A × B = { (a, b) ; a ∈ A e b ∈ B }. A × B = ∅

Exemplo 11 Sejam A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}. Ent˜ao,

A × B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} e

B × A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}.

Exemplo 12 Sejam A = {a, b} e B = {b, c}. Ent˜ao,

A × B = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c)} e

B × A = {(b, a), (b, b), (c, a), (c, b)}.

Os exemplos acima mostram que em geral A × B 6 = B × A. Podemos generalizar a defini¸c˜ao acima a n conjuntos.

Defini¸c˜ao 7 Sejam n ≥ 2 um n´umero natural e A 1 , A 2 ,... , An conjuntos.

O produto cartesiano A 1 × A 2 × · · · × An ´e o conjunto das n-uplas ordenadas (a 1 , a 2 ,... , an), tais que a 1 ∈ A 1 , a 2 ∈ A 2 ,... , an ∈ An.

A 1 × A 2 × · · · × An = { (a 1 , a 2 ,... , an) ; a 1 ∈ A 1 , a 2 ∈ A 2 ,... , an ∈ An }.

Quando A = Ai para i = 1, 2,... , n, denotamos An^ = A︸ × · · · ×︷︷ A︸ n conjuntos

Exemplo 13 Sejam A = {a, b}, B = {c, d} e C = {e}. Ent˜ao,

A × B × C = {(a, c, e), (a, d, e), (b, c, e), (b, d, e)}.

Sejam I um conjunto n˜ao-vazio e, para cada i ∈ I, Ai um conjunto. Dizemos que {Ai, i ∈ I} ´e uma fam´ılia de conjuntos indexada por I.

As opera¸c˜oes de uni˜ao e interse¸c˜ao de conjuntos podem ser generaliza- das a uma fam´ılia de conjuntos.

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No¸c˜oes sobre conjuntos

Defini¸c˜ao 8 Seja a fam´ılia de conjuntos {Ai, i ∈ I}. Ent˜ao, definimos a uni˜ao dessa fam´ılia como o conjunto dos elementos que est˜ao em algum Ai ⋃ i∈I

Ai = {x ; x ∈ Ai, para algum i ∈ I}.

e definimos a interse¸c˜ao dessa fam´ılia como o conjunto dos elementos que est˜ao em todos Ai ⋂ i∈I

Ai = {x ; x ∈ Ai, para todo i ∈ I}.

Uma subdivis˜ao de um conjunto em subconjuntos disjuntos e n˜ao-vazios ´e chamada uma parti¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 9 Seja A um conjunto. Uma fam´ılia F de subconjuntos n˜ao-vazios de A ´e chamada uma parti¸c˜ao de A se, e somente se,

(i) A =

X∈F

X.

(ii) Se X, Y ∈ F e X 6 = Y, ent˜ao X ∩ Y = ∅. Exemplo 14 Tomando X = {x ∈ Z ; x ´e par }, Y = {x ∈ Z ; x ´e ´ımpar }, F = { X, Y } vemos que Z = X ∪ Y e X ∩ Y = ∅. Logo, F ´e uma parti¸c˜ao de Z.

Lembre que... A ∩ B = B ∩ A.

Exemplo 15 Os conjuntos X 1 = { 1, 2, 4, 5, 6 }, X 2 = { 3, 7, 8 } e X 3 = { 9, 10 } definem uma

parti¸c˜ao de A = { 1, 2,... , 10 }, pois A =

⋃^3

i= 1

Xi e Xi ∩ Xj = ∅, para quaisquer i, j tais que 1 ≤ i < j ≤ 3.

Exerc´ıcio

1. Determine os conjuntos descritos a seguir:

(a) { x ∈ N ; 2x > 10 e 3x < 28 }; (b) { x ∈ Z ; 2x = n^2 , para algum n ∈ N };

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No¸c˜oes sobre conjuntos

11. Mostre que A ∪ B = A ∩ B se, e somente se, A = B.
12. Indicamos por |A| o n´umero de elementos de um conjunto finito A. Mostre que se B e C s˜ao conjuntos finitos, ent˜ao

|B ∪ C| = |B| + |C| − |B ∩ C|.

13. Seja A um conjunto com n elementos, isto ´e, |A| = n. Seja P(A) = { B ; B ⊂ A }. Mostre que P(A) tem 2 n^ elementos.

Sugest˜ao: Para cada natural r com 0 ≤ r ≤ n determine o n´umero mr de subconjuntos de A com r elementos. Conclua que |P(A)| = ∑^ n r= 0

mr e determine a soma. (^) 14. Sejam A, B, C conjuntos.

(a) Mostre que (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C). (b) Mostre que (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C).

15. Demonstre as propriedades (1), (2), (4), (5) e (6) da Proposi¸c˜ao 1.
16. Demonstre a Proposi¸c˜ao 2.
17. Mostre que se A e B s˜ao subconjuntos n˜ao-vazios de U com A 6 ⊂ B e B 6 ⊂ A, ent˜ao A∪B ´e um subconjunto n˜ao-vazio de U, tal que A∪B 6 = A e A ∪ B 6 = B.
18. Sejam B um conjunto e Ai, i ∈ I, uma fam´ılia de conjuntos.

(a) Mostre que

i∈I

Ai

× B =

i∈I

(Ai × B).

(b) Mostre que

i∈I

Ai

× B =

i∈I

(Ai × B).

(c) Mostre que B\

i∈I

Ai

i∈I

(B\Ai).

(d) Mostre que B\

i∈I

Ai

i∈I

(B\Ai).

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Fun¸c˜oes (^) PARTE 1 - SEC¸ AO 2˜

Fun¸c˜oes

Veremos alguns resultados importantes sobre fun¸c˜oes.

Defini¸c˜ao 10 (Fun¸c˜ao, dom´ınio e contradom´ınio) Sejam A e B conjuntos n˜ao-vazios. Uma fun¸c˜ao f de A para B, denotada por f : A −→ B, associa a cada a ∈ A exatamente um elemento b ∈ B; b ´e dito o valor da fun¸c˜ao f em a ou a imagem de a e escrevemos b = f(a).

Tamb´em costumamos denotar a fun¸c˜ao f por f : A −→ B a 7 −→ f(a) O conjunto A ´e o dom´ınio e o conjunto B ´e o contradom´ınio de f.

Defini¸c˜ao 11 (Igualdade de fun¸c˜oes) Sejam f : A −→ B e g : A −→ B fun¸c˜oes. f e g s˜ao iguais se, e somente se, para cada a ∈ A temos f(a) = g(a).

Portanto, duas fun¸c˜oes s˜ao iguais se, e somente se, tˆem mesmos dom´ınios e contradom´ınios e tˆem valor igual em cada elemento do dom´ınio.

Exemplo 16 S˜ao exemplos de fun¸c˜oes:

(1) f : Z −→ Z definida por f(x) = 2x, para cada x ∈ Z.

(2) g : Z −→ {0, 1} definida por

g(x) =

0 , se x ´e par 1 , se x ´e ´ımpar

(3) h : Z{ 0 } −→ Q definida por h(x) = (^1) x , para cada x ∈ Z{ 0 }.

(4) u : R −→ R definida por u(x) = 4x + 3 , para cada x ∈ R.

Exemplo 17 A associa¸c˜ao entre os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {3, 4, 5} definida a seguir n˜ao ´e uma fun¸c˜ao:

0 → 3 ց 5 1 → 4 2 → 3

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Fun¸c˜oes (^) PARTE 1 - SEC¸ AO 2˜

Demonstra¸c˜ao: (i) E claro que o dom´´ ınio de ambas as fun¸c˜oes ´e A = Dom(f), assim como o contradom´ınio ´e D, o contradom´ınio de h. Al´em disso, para cada x ∈ A, temos:

(h ◦ (g ◦ f))(x) = h((g ◦ f)(x)) = h(g(f(x))) = (h ◦ g)(f(x)) = ((h ◦ g) ◦ f)(x).

Logo, h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f.

(ii) A fun¸c˜ao IB ◦ f tem dom´ınio A, igual ao dom´ınio de f e contradom´ınio B, o mesmo de f. Para cada x ∈ A, temos (IB ◦ f)(x) = IB(f(x)) = f(x). Portanto, IB ◦ f = f.

(iii) A fun¸c˜ao f ◦ IA tem dom´ınio A, igual ao dom´ınio de f e contradom´ınio B, o mesmo de f. Para cada x ∈ A, temos (f ◦ IA)(x) = f(IA(x)) = f(x). Portanto, f ◦ IA = f. 

Defini¸c˜ao 14 (Imagem) Seja f : A −→ B uma fun¸c˜ao.

A imagem de f ´e o conjunto Imagem(f) = {f(a); a ∈ A} = f(A).

A imagem de f ´e um subconjunto de B, a saber, Se f : A −→ B ´e uma fun¸c˜ao, ent˜ao Imagem(f) = {b ∈ B ; b = f(a) para algum a ∈ A}. Imagem(f) = f(A) ⊂ B.

Exemplo 19 Seja h : Z{ 0 } −→ Q definida por h(x) = (^1) x , para cada x ∈ Z{ 0 }. Ent˜ao,

Imagem(h) =

±1, ±^12 , ±^13 , ±^14 ,...

Defini¸c˜ao 15 (Injetora, sobrejetora ou bijetora) Seja f : A −→ B uma fun¸c˜ao.

f ´e injetora se, e somente se,

para a, a′^ ∈ A a 6 = a′^ =⇒ f(a) 6 = f(a′).

f ´e injetora se, e somente se, para a,a′^ ∈ A, f(a) = f(a′) implica a = a′.

f ´e sobrejetora se, e somente se, a imagem de f ´e o seu contradom´ınio.

f ´e sobrejetora se, e somente se, B = f(A); em outras palavras,

para cada b ∈ B, existe a ∈ A tal que b = f(a).

f ´e bijetora se, e somente se, ´e injetora e sobrejetora.

Exemplo 20 (1) Segue, imediatamente, das defini¸c˜oes acima, que IA : A −→ A ´e bijetora. (2) f : Z −→ Z definida por f(x) = 2x, para cada x ∈ Z, ´e injetora e n˜ao ´e sobrejetora.

De fato, para x, x′^ ∈ Z temos

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Fun¸c˜oes

f(x) = f(x′) ⇐⇒ 2x = 2x′^ ⇐⇒ x = x′,

mostrando que f ´e injetora. Al´em disso, qualquer inteiro ´ımpar n˜ao est´a na imagem de f, que se constitui dos inteiros pares. Logo, Imagem(f) = 2 Z 6 = Z = contradom´ınio(f) e f n˜ao ´e sobrejetora.

(3) g : Z −→ {0, 1} definida por

g(x) =

0 , se x ´e par 1 , se x ´e ´ımpar

claramente, n˜ao ´e injetora e ´e sobrejetora.

(4) h : Z{ 0 } −→ Q definida por h(x) = (^1) x , para cada x ∈ Z{ 0 }, ´e injetora e n˜ao ´e sobrejetora. Essa fun¸c˜ao n˜ao ´e sobrejetora pois, por exemplo, o n´umero racional 23 n˜ao pertence `a imagem de h. Por outro lado, para x, x′^ ∈ Z{ 0 },

h(x) = h(x′) ⇐⇒ (^1) x = (^) x^1 ′ ⇐⇒ x = x′,

mostrando que h ´e injetora.

Exemplo 21 A fun¸c˜ao f : Z −→ Z definida por f(x) = −x + 3 ´e bijetora. Dado y ∈ Z, existe x ∈ Z tal que y = f(x), pois y = −x + 3 se, e somente se, x = 3 − y. Logo, dado y, tomamos x = −y + 3 e f(x) = f( 3 − y) = −( 3 − y) + 3 = y. Portanto, f ´e sobrejetora. Da unicidade de x, obtida acima, temos que f ´e injetora.

Teorema 1 Seja f : A −→ B uma fun¸c˜ao.

(i) f ´e injetora se, e somente se, existe uma fun¸c˜ao g : B −→ A, tal que g ◦ f = IA. Nesse caso, dizemos que g ´e uma inversa `a esquerda de f.

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