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§1. Vetores, matrizes e sistemas lineares
O que ´e Algebra Linear? Por que estud´´ a-la? A Algebra Linear ´´ e a ´area da Matem´atica que estuda todos os aspectos relacionados com uma estrutura chamada Espa¸co Vetorial. Estrutura matem´atica ´e um conjunto no qual s˜ao defini- das opera¸c˜oes. As proprie- dades dessas opera¸c˜oes “es- truturam”o conjunto. Tal- vez vocˆe j´a tenha ouvido falar em alguma das principais es- truturas matem´aticas, como grupo, anel e corpo. Vocˆe estudar´a essas estruturas nas disciplinas de Algebra.´
Devido `as suas caracter´ısticas, essa estrutura permite um tratamento alg´ebrico bastante simples, admitindo, inclusive, uma abordagem computa- cional. A Algebra Linear tem aplica¸´ c˜oes em in´umeras ´areas, tanto da mate- m´atica quanto de outros campos de conhecimento, como Computa¸c˜ao Gr´afica, Gen´etica, Criptografia, Redes El´etricas etc.
Nas primeiras aulas deste m´odulo estudaremos algumas ferramentas para o estudo dos Espa¸cos Vetoriais: as matrizes, suas opera¸c˜oes e proprie- dades; aprenderemos a calcular determinantes e, finalmente, aplicaremos esse conhecimento para discutir e resolver sistemas de equa¸c˜oes lineares. Muitos dos principais problemas da f´ısica, engenharia, qu´ımica e, ´e claro, da ma- tem´atica, recaem (ou procuramos fazer com que recaiam) num sistema de equa¸c˜oes lineares. A partir da aula 8, estaremos envolvidos com Algebra Li-´ near propriamente dita e esperamos que vocˆe se aperceba, ao longo do curso, de que se trata de uma das ´areas mais l´udicas da Matem´atica!!.
Álgebra Linear 1
Matrizes
Defini¸c˜ao Uma matriz real A de ordem m × n ´e uma tabela de mn n´umeros reais, dispostos em m linhas e n colunas, onde m e n s˜ao n´umeros inteiros positivos. Os elementos de uma ma- triz podem ser outras enti- dades, que n˜ao n´umeros re- ais. Podem ser, por exem- plo, n´umeros complexos, po- linˆomios, outras matrizes etc.
Uma matriz real de m linhas e n colunas pode ser representada por Am×n(R). Neste curso, como s´o trabalharemos com matrizes reais, usaremos a nota¸c˜ao simplificada Am×n, que se lˆe “A m por n”. Tamb´em podemos escrever A = (aij ), onde i ∈ { 1 , ..., m} ´e o ´ındice de linha e j ∈ { 1 , ..., n} ´e o ´ındice de coluna do termo gen´erico da matriz. Representamos o conjunto de todas as matrizes reais “m por n”por Mm×n(R). Escrevemos os elementos As barras simples s˜ao usadas de uma matriz limitados por parˆenteses, colchetes ou barras duplas. para representar determinan- tes, como veremos na aula 5.
Exemplo 1
- Uma matriz 3 × 2 :
√^1
- Uma matriz 2 × 2 :
- Uma matriz 3 × 1 :
De acordo com o n´umero de linhas e colunas de uma matriz, podemos destacar os seguintes casos particulares:
- m = 1: matriz linha
- n = 1: matriz coluna
- m = n: matriz quadrada. Neste caso, escrevemos apenas An e dizemos que “A ´e uma matriz quadrada de ordem n”. Representamos o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n por Mn(R) (ou, simplesmente, por Mn).
Exemplo 2
- matriz linha 1 × 4:
[
]
- matriz coluna 3 × 1:
Matrizes (^) M ODULO 1´ - AULA 1
- matriz quadrada de ordem 2:
[
]
Os elementos de uma matriz podem ser dados tamb´em por f´ormulas, como ilustra o pr´oximo exemplo.
Exemplo 3 Vamos construir a matriz A ∈ M 2 × 4 (R), A = (aij ), tal que
aij =
i^2 + j, se i = j i − 2 j, se i = j
A matriz procurada ´e do tipo A =
[
a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24
]
Seguindo a regra de forma¸c˜ao dessa matriz, temos: a 11 = 1^2 + 1 = 2 a 12 = 1 − 2(2) = − 3 a 22 = 2^2 + 2 = 6 a 13 = 1 − 2(3) = − 5 a 14 = 1 − 2(4) = − 7 a 21 = 2 − 2(1) = 0 a 23 = 2 − 2(3) = − 4 a 24 = 2 − 2(4) = − 6
Logo, A =
[
]
Igualdade de matrizes
O pr´oximo passo ´e estabelecer um crit´erio que nos permita decidir se duas matrizes s˜ao ou n˜ao iguais. Temos a seguinte defini¸c˜ao:
Duas matrizes A, B ∈ Mm×n(R), A = (aij ), B = (bij ), s˜ao iguais quando aij = bij , ∀i ∈ { 1 , ..., m}, ∀j ∈ { 1 , ..., n}.
Exemplo 4 Vamos determinar a, b, c e d para que as matrizes
[
2 a 3 b c + d 6
]
e
[
1 2 c
]
sejam iguais. Pela defini¸c˜ao de igualdade de matrizes, podemos escrever:
[ 2 a 3 b c + d 6
]
[
1 2 c
]
2 a = 4 3 b = − 9 c + d = 1 6 = 2c
Matrizes (^) M ODULO 1´ - AULA 1
0 , se i = j 1 , se i = j
. Isto ´e, a identidade ´e uma matriz escalar e possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Representamos a matriz identidade de ordem n por In.
Exemplo 6
matriz classifica¸c˜ao
triangular superior
triangular superior
triangular superior, triangular inferior, diagonal
[
]
triangular inferior
[ 0 0 0 0
]
triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar
[ 5 0 0 5
]
triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar
Exemplo 7 S˜ao matrizes identidade:
I 1 = [1]; I 2 =
[
]
; I 3 =
; I 4 =
De modo geral, sendo n um n´umero natural maior que 1, a matriz
Álgebra Linear 1
Matrizes
identidade de ordem n ´e
In =
Defini¸c˜ao
A matriz nula em Mm×n(R) ´e a matriz de ordem m × n que possui todos os elementos iguais a zero.
Exemplo 8 Matriz nula 2 × 3:
[
]
Matriz nula 5 × 2:
Defini¸c˜ao Dada A = (aij ) ∈ Mm×n(R), a oposta de A ´e a matriz B = (bij ) ∈ Mm×n(R) tal que bij = −aij , ∀i ∈ { 1 , ..., m}, ∀j ∈ { 1 , ..., n}. Ou seja, os elemen- tos da matriz oposta de A s˜ao os elementos opostos aos elementos de A. Representamos a oposta de A por −A.
Exemplo 9 A oposta da matriz A =
´e a matriz
−A =
Álgebra Linear 1
Matrizes
Respostas dos exerc´ıcios
- (a)
[
]
(b)
(c)
(d)
- (a) x = 5; y = 1 (b) x = y = − 1
Auto-avalia¸c˜ao
Vocˆe n˜ao deve ter sentido qualquer dificuldade para acompanhar esta primeira aula. S˜ao apenas defini˜oes e exemplos. Se achar conveniente, antes de prosseguir, fa¸ca uma segunda leitura, com calma, da teoria e dos exemplos. De qualquer maneira, vocˆe sabe que, sentindo necessidade, pode (e deve!) entrar em contato com o tutor da disciplina. At´e a pr´oxima aula!!
Opera¸c˜oes com matrizes: transposi¸c˜ao, adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por n´umero real (^) M ODULO 1´ - AULA 2
Aula 2 – Opera¸c˜oes com matrizes:
transposi¸c˜ao, adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por
n´umero real
Objetivos
Obter a matriz transposta de uma matriz dada; Identificar matrizes sim´etricas e anti-sim´etricas; Obter a matriz soma de duas matrizes; Obter o produto de uma matriz por um n´umero real; Aplicar as propriedades das opera¸c˜oes nos c´alculos envolvendo matrizes.
Na aula passada, definimos matrizes e vimos como verificar se duas matrizes s˜ao ou n˜ao iguais. Nesta aula iniciamos o estudo das opera¸c˜oes com matrizes. E atrav´´ es de opera¸c˜oes que podemos obter outras matrizes, a partir de matrizes dadas. A primeira opera¸c˜ao com matrizes que estuda- remos - a transposi¸c˜ao - ´e un´aria, isto ´e, aplicada a uma ´unica matriz. A seguir, veremos a adi¸c˜ao, que ´e uma opera¸c˜ao bin´aria, ou seja, ´e aplicada a duas matrizes. Finalmente, veremos como multiplicar uma matriz por um n´umero real. Por envolver um elemento externo ao conjunto das matrizes, essa opera¸c˜ao ´e dita ser externa.
Transposi¸c˜ao
Dada uma matriz A ∈ Mm×n(R), A = (aij ), a transposta de A ´e a matriz B ∈ Mn×m(R), B = (bji) tal que bji = aij , ∀i ∈ { 1 , ..., m}, ∀j ∈ { 1 , ..., n}. Representamos a matriz transposta de A por AT^.
Note que para obter a transposta de uma matriz A, basta escrever as linhas de A como sendo as colunas da nova matriz (ou, equivalentemente, escrever as colunas de A como as linhas da nova matriz.)
Exemplo 10
- Seja A =
[
]
. A transposta de A ´e a matriz AT^ =
Opera¸c˜oes com matrizes: transposi¸c˜ao, adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por n´umero real (^) M ODULO 1´ - AULA 2
Adi¸c˜ao
Vocˆe se lembra do exemplo que demos, na aula 1, com a rela¸c˜ao de nomes e notas da turma de Lugar Lindo? Cada aluno tem seu nome associado a um n´umero (o n´umero da linha). Assim, sem perder qualquer informa¸c˜ao sobre os alunos, podemos representar apenas as notas das avalia¸c˜oes numa matriz 5 por 4:
A =
Vamos supor que as provas tenham sido submetidas a uma revis˜ao e que as seguintes altera¸c˜oes sejam propostas para as notas:
R =
A matriz N, com as notas definitivas, ´e a matriz soma das matrizes A e R, formada pelas somas de cada nota com seu fator de corre¸c˜ao, isto ´e, cada termo de A com seu elemento correspondente em R:
N = A + R =
Logo, N =
Defini¸c˜ao
Dadas as matrizes A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n(R), a matriz soma de A e B ´e a matriz C = (cij ) ∈ Mm×n(R) tal que
cij = aij + bij , ∀i ∈ { 1 , ..., m}, ∀j ∈ { 1 , ..., n}
Álgebra Linear 1
Opera¸c˜oes com matrizes: transposi¸c˜ao, adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por n´umero real
Representamos a matriz soma de A e B por A + B. Em palavras, cada elemento de A + B ´e a soma dos elementos correspondentes das matrizes A e B. A diferen¸ca de A e B, indicada por A − B, ´e a soma de A com a oposta de B, isto ´e: A − B = A + (−B). Exemplo 13
[
]
[
]
[
]
Multiplica¸c˜ao por um n´umero real
Seja A =
[
]
. Queremos obter 2A:
2 A = A + A =
[
]
[
]
[
2 × 3 2 × 1
2 × 2 2 × (−4)
]
Em palavras, o produto da matriz A pelo n´umero real 2 ´e a matriz obtida multiplicando-se cada elemento de A por 2. Voltemos `a nossa tabela de notas dos alunos do CEDERJ. Suponhamos que, para facilitar o c´alculo das m´edias, queiramos trabalhar numa escala de 0 a 100 (em vez de 0 a 10, como agora). Para isso, cada nota dever´a ser multiplicada por 10. Teremos, ent˜ao, a seguinte matriz:
10 N =
Podemos, ent˜ao, definir a multiplica¸c˜ao de uma matriz por um n´umero real (ou, como ´e usual dizer no ˆambito da Algebra Linear, por um´ escalar).
Vocˆe ver´a que, em Algebra´ Linear, lidamos com dois tipos de objeto matem´atico: os escalares (que, neste curso, ser˜ao os n´umeros reais) e os vetores.
Álgebra Linear 1
Opera¸c˜oes com matrizes: transposi¸c˜ao, adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por n´umero real
Da´ı, AT^ T = BT^ = C = (cij ) ∈ Mm×n(R) tal que cij = bji = aij , ∀i ∈ { 1 , ...m}, ∀j ∈ { 1 , ..., n}. Logo, C = BT^ = AT^ T = A.
Propriedades da adi¸c˜ao de matrizes
Para demonstrar as propriedades da adi¸c˜ao de matrizes, usaremos as propriedades correspondentes, v´alidas para a adi¸c˜ao de n´umeros reais. Sejam A = (aij ), B = (bij ) e C = (cij ) matrizes quaisquer em Mm×n(R). Valem as seguintes propriedades. (a1) Comutativa: A + B = B + A De fato, sabemos que A + B = (sij ) ´e tamb´em uma matriz m × n cujo elemento gen´erico ´e dado por: sij = aij + bij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Como a adi¸c˜ao de n´umeros reais ´e comutativa, podemos escrever sij = bij +aij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto ´e, A+B = B +A. Em palavras: a ordem como consideramos as parcelas n˜ao altera a soma de duas matrizes. (a2) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) De fato, o termo geral sij de (A+B)+C ´e dado por sij = (a+b)ij +cij = (aij + bij ) + cij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Como a adi¸c˜ao de n´umeros reais ´e associativa, podemos escrever sij = aij + (bij + cij ) = aij +(b+c)ij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, sij ´e tamb´em o termo geral da matriz obtida de A+(B+C). Isto ´e, (A+B)+C = A+(B+C). Em palavras: podemos estender a adi¸c˜ao de matrizes para o caso de trˆes parcelas, associando duas delas. A partir dessa propriedade, podemos agora somar trˆes ou mais matrizes. (a3) Existˆencia do elemento neutro: Existe O ∈ Mm×n(R) tal que A+O = A. De fato, seja O a matriz nula de Mm×n(R), isto ´e, O = (oij ), onde oij = 0, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Sendo sij o termo geral de A + O, temos sij = aij + oij = aij + 0 = aij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, A + O = A. Em palavras: na adi¸c˜ao de matrizes a matriz nula desempenha o mesmo papel que o zero desempenha na adi¸c˜ao de n´umeros reais.
O elemento oposto ´e tamb´em (a4) Da existˆencia do elemento oposto : Existe (−A) ∈ Mm×n(R) tal que chamado elemento sim´etrico ou inverso aditivo. A^ + (−A) =^ O. De fato, sabemos que cada elemento de −A ´e o oposto do elemento correspondente de A. Ent˜ao, sendo sij o termo geral de A + (−A), temos
Opera¸c˜oes com matrizes: transposi¸c˜ao, adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por n´umero real (^) M ODULO 1´ - AULA 2
sij = aij + (−aij ) = 0 = oij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto ´e, A + (−A) = O. Em palavras: Cada matriz possui, em correspondˆencia, uma matriz de mesma ordem tal que a soma das duas ´e a matriz nula dessa ordem.
(a5) Da soma de transpostas: AT^ + BT^ = (A + B)T
De fato, seja sij o termo geral de AT^ +BT^. Ent˜ao, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n, sij = aji +bji = (a+b)ji, que ´e o termo geral de (A+B)T^. Ou seja, AT^ + BT^ = (A + B)T^. Em palavras: A soma das transpostas ´e a transposta da soma. Ou, vendo sob outro ˆangulo: a transposi¸c˜ao de matrizes ´e distributiva em rela¸c˜ao `a adi¸c˜ao.
Propriedades da multiplica¸c˜ao de uma matriz por um escalar
Vocˆe ver´a que, tamb´em neste caso, provaremos a validade dessas propri- edades usando as propriedades correspondentes da multiplica¸c˜ao de n´umeros reais.
Sejam A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n(R), α, β, γ ∈ R. Valem as seguin- tes propriedades:
(mn1) (αβ)A = α(βA)
De fato, seja pij o termo geral de (αβ)A, isto ´e, pij = ((αβ)a)ij = (αβ)aij = α(βaij ) = (α(βa))ij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, pij ´e tamb´em o termo geral de α(βA). Logo, (αβ)A = α(βA).
Exemplo 15 Dada A ∈ Mm×n(R), 12 A = 3(4A) = 2(6A).
(mn2) (α + β)A = αA + βA
De fato, seja pij o termo geral de (α + β)A, isto ´e, pij = ((α + β)a)ij = (α + β)aij = αaij + βaij = (αa)ij + (βa)ij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, pij ´e tamb´em o termo geral de αA + βA. Logo, (α + β)A = αA + βA.
Exemplo 16 Dada A ∈ Mm×n(R), 12 A = 7A + 5A = 8A + 4A.
(mn3) α(A + B) = αA + αB
De fato, seja pij o termo geral de α(A+B). Ent˜ao, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n, temos pij = (α(a + b))ij = α(a + b)ij = α(aij + bij ) =
Opera¸c˜oes com matrizes: transposi¸c˜ao, adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por n´umero real (^) M ODULO 1´ - AULA 2
Observa¸c˜ao. E claro que vocˆ´ e, ao efetuar opera¸c˜oes com matrizes, n˜ao precisar´a explicitar cada propriedade utilizada (a n˜ao ser que o enunciado da quest˜ao assim o exija!) e nem resolver a quest˜ao passo-a-passo. O impor- tante ´e constatar que s˜ao as propriedades das opera¸c˜oes que nos possibilitam reescrever a matriz pedida numa forma que nos pare¸ca mais “simp´atica”.
Resumo
Nesta aula come¸camos a operar com as matrizes. Vimos como ob- ter a transposta de uma matriz e a reconhecer matrizes sim´etricas e anti- sim´etricas. A seguir, aprendemos a somar duas matrizes e a multiplicar uma matriz por um escalar. Finalizamos com o estudo das propriedades das opera¸c˜oes vistas. A aula ficou um pouco longa, mas ´e importante conhecer as propriedades v´alidas para cada opera¸c˜ao estudada.
Exerc´ıcios
- Obtenha a transposta da matriz A ∈ M 2 × 4 (R), A = (aij ), tal que aij =
2 i + j, se i = j i^2 − j, se i = j
- Determine a e b para que a matriz
2 4 2 a − b a + b 3 0 − 1 0 5
seja sim´etrica.
- Mostre que a soma de duas matrizes sim´etricas ´e uma matriz sim´etrica.
- Determine a, b, c, x, y, z para que a matriz
2 x a + b a − 2 b − 6 y^2 2 c 5 8 z − 1
seja
anti-sim´etrica.
- Sendo A =
e B =
, determine A + B.
- Determine a, b, e c para que
[
a 3 2 a c 0 − 2
]
[
b − 3 − 1 1 4 3
]
[
]
Álgebra Linear 1
Opera¸c˜oes com matrizes: transposi¸c˜ao, adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por n´umero real
- Dada A =
[
]
, determine a matriz B tal que A+B ´e a matriz nula de M 2 (R).
- Considere as matrizes A =
, B =
, e C =
[ 0 − 2 1
]
. Determine a matriz X em cada caso:
(a) X = 2A − 3 B
(b) X + A = B − CT^ − 2 X
(c) X + BT^ = 3AT^ + 12 C
- Sendo A =
[
]
e B =
[
]
, determine as
matrizes X e Y tais que
2 X + Y = A
X − 2 Y = B
- Sendo A, B ∈ Mm×n(R), use as propriedades vistas nesta aula para simplificar a express˜ao 3
2 AT^ − B
)T
5 B
T − AT + 3
5 B
)T
Auto-avalia¸c˜ao
Vocˆe deve se sentir `a vontade para operar com matrizes nas formas vis- tas nesta aula: transpor, somar e multiplicar por um escalar. S˜ao opera¸c˜oes de realiza¸c˜ao simples, que seguem a nossa intui¸c˜ao. Al´em disso, ´e importante que vocˆe reconhe¸ca a utilidade das propriedades no sentido de nos dar mobi- lidade na hora de operarmos com matrizes. Propriedades de opera¸c˜oes n˜ao s˜ao para serem decoradas, mas apreendidas, assimiladas, utilizadas ao pˆor a teoria em pr´atica! Se vocˆe sentiu qualquer dificuldade ao acompanhar a aula ou ao resolver os exerc´ıcios propostos, pe¸ca aux´ılio ao tutor da teoria. O importante ´e que caminhemos juntos nesta jornada! At´e a pr´oxima aula!!
