Introdução a Algebra Linear , Exercícios de Engenharia Civil

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Ana Paula Santana Jo˜ao Filipe Queir´o

INTRODUC¸ ˜AO `A ´ALGEBRA LINEAR

Departamento de Matem´atica - Universidade de Coimbra

Nota

Este texto ´e uma vers˜ao provis´oria de um livro que em breve ser´a publicado. Substitui a vers˜ao de 2003 que tem sido disponibilizada online. Trata-se tamb´em de uma vers˜ao parcial, pois n˜ao inclui os cap´ıtulos 8, 9 e 10 que por vezes s˜ao referidos no texto. Esses cap´ıtulos dir˜ao respeito a espa¸cos vec- toriais abstractos, transforma¸c˜oes lineares entre tais espa¸cos, e espa¸cos abstractos com produto interno.

Coimbra, Setembro de 2008

Ana Paula Santana Jo˜ao Filipe Queir´o

• 0 Os n´umeros complexos
• 1 Matrizes
  • 1.1 Generalidades
  • 1.2 Opera¸c˜oes com matrizes
  • 1.3 Inversa de uma matriz quadrada
  • 1.4 Transposi¸c˜ao de matrizes
  • 1.5 Matrizes elementares
• 2 Sistemas de equa¸c˜oes lineares
  • 2.1 Generalidades
  • 2.2 O algoritmo de elimina¸c˜ao de Gauss
  • 2.3 O algoritmo de Gauss-Jordan para invers˜ao de matrizes
• 3 Determinantes
  • 3.1 Defini¸c˜ao e primeiras propriedades
  • 3.2 Permuta¸c˜oes
  • 3.3 Existˆencia e unicidade do determinante
  • 3.4 Outras propriedades dos determinantes
  • 3.5 O Teorema de Laplace e a Regra de Cramer
• 4 O espa¸co Rn, subespa¸cos, dimens˜ao
  • 4.1 Subespa¸cos
  • 4.2 Dependˆencia e independˆencia linear
  • 4.3 Base e dimens˜ao
  • 4.4 Mudan¸ca de base
  • 4.5 Caracter´ıstica e nulidade de uma matriz
  • 4.6 Soma e soma directa de subespa¸cos
  • 4.7 Transforma¸c˜oes lineares em Rn
  • 4.8 Nota sobre espa¸cos vectoriais abstractos
• 5 Angulos e distˆˆ ancias em Rn
  • 5.1 Sistemas imposs´ıveis
  • 5.2 Produto interno em Rn
  • 5.3 Projec¸c˜ao ortogonal sobre um subespa¸co
  • 5.4 M´ınimos quadrados
  • 5.5 Complemento ortogonal de um subespa¸co
  • 5.6 Determinantes e medidas de paralelip´ıpedos
  • 5.7 Produto externo em R
• 6 Planos em Rn
• 7 Valores pr´oprios e vectores pr´oprios de matrizes
  • 7.1 Conceitos b´asicos
  • 7.2 Matrizes diagonaliz´aveis
  • 7.3 Um exemplo de aplica¸c˜ao da diagonalizabilidade
  • 7.4 O caso das matrizes sim´etricas reais
  • 7.5 Curvas e superf´ıcies do 2o grau
  • 7.6 Estudo da semelhan¸ca de matrizes
  • 7.7 A decomposi¸c˜ao dos valores singulares
  • 7.8 A norma de uma matriz
  • 7.9 O n´umero de condi¸c˜ao de uma matriz
• 11 Apˆendices
  • 11.1 Hist´oria dos n´umeros complexos
  • 11.2 Permuta¸c˜oes
  • 11.3 O Teorema de Laplace

0 Os n´umeros complexos

Esta sec¸c˜ao ´e uma breve introdu¸c˜ao aos conjuntos de n´umeros que ser˜ao mais utilizados no texto. Destina-se principalmente ao leitor pouco familiarizado com os n´umeros complexos.

Os conjuntos de n´umeros mais conhecidos e habituais s˜ao os seguintes: o conjunto dos n´umeros naturais N = { 1 , 2 , 3 ,.. .},

o conjunto dos n´umeros inteiros

Z = {... , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,.. .},

o conjunto dos n´umeros racionais

Q =

{m

n

: m, n ∈ Z, n 6 = 0

e o conjunto dos n´umeros reais, para o qual usaremos o s´ımbolo R. Tem-se a seguinte cadeia de inclus˜oes:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Exemplos de n´umeros reais que n˜ao s˜ao racionais s˜ao

3 , e e π. A melhor maneira de “visualizar”o conjunto R ´e pensar nos pontos de uma recta, o “eixo real”. Marcando no eixo dois pontos para representar os n´umeros 0 e 1, obt´em-se uma correspondˆencia perfeita entre R e o conjunto dos pontos do eixo.

0 1 α

R

Supor-se-˜ao conhecidas as propriedades b´asicas destes n´umeros.

No s´eculo XVI, a prop´osito da descoberta da f´ormula resolvente das equa¸c˜oes do 3 o^ grau, “descobriu-se”um novo conjunto de n´umeros contendo R. Essa hist´oria ´e recordada em apˆendice. O novo conjunto de n´umeros ´e o conjunto dos n´umeros complexos

C = {a + bi : a, b ∈ R}

onde i satisfaz i^2 = −1. As opera¸c˜oes com n´umeros complexos realizam-se tratando- os como n´umeros como os outros e usando as propriedades habituais das opera¸c˜oes, bem como a igualdade i^2 = −1. Assim, por exemplo,

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Do Teorema Fundamental da Algebra tira-se uma importante conclus˜´ ao: um polin´omio com coeficientes reais ou complexos pode sempre escrever-se como produto de factores de grau 1:

anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 = an(x − α 1 )(x − α 2 )... (x − αn) ,

onde α 1 , α 2 ,... , αn s˜ao as ra´ızes do polin´omio.

O conjunto C ´e portanto muito rico do ponto de vista alg´ebrico.

Encerramos esta sec¸c˜ao introduzindo alguma terminologia sobre n´umeros com- plexos.

Seja z = a + bi ∈ C. Chamamos a a parte real de z e escrevemos a = Re z. Chamamos a b parte imagin´aria de z e escrevemos b = Im z. Se a = 0 dizemos que z ´e imagin´ario puro. O conjugado de z ´e z = a − bi. O m´odulo de z ´e o n´umero real n˜ao negativo |z| =

a^2 + b^2. (A fun¸c˜ao m´odulo em C estende a fun¸c˜ao m´odulo conhecida em R.) Geometricamente, |z| ´e a distˆancia do ponto z do plano complexo `a origem (isto ´e, ao ponto 0). Mais geralmente, |z − w| ´e a distˆancia entre os pontos z e w.

1 Matrizes

Neste cap´ıtulo estudam-se os conceitos e resultados fundamentais sobre matrizes. As matrizes s˜ao objectos b´asicos da Matem´atica: ´e imposs´ıvel estudar Matem´atica a n´ıvel superior sem conhecer a linguagem matricial. Esta linguagem ´e usada naturalmente em todos os contextos “multidimensio- nais”, isto ´e, em que os objectos considerados podem ser descritos por sequˆencias de v´arios n´umeros. A introdu¸c˜ao das matrizes e das opera¸c˜oes entre elas permite em geral uma descri¸c˜ao muito abreviada dos problemas e rela¸c˜oes que surgem nesses contextos. Uma matriz pode ser definida de forma muito simples, como um quadro de n´umeros dispostos segundo umas tantas linhas e colunas. Com este tipo de objectos — uma esp´ecie de “n´umeros generalizados” — podem fazer-se “contas”como com os n´umeros vulgares (embora algumas propriedades falhem), o que ´e ´util nas partes mais computacionais da Algebra Linear. Em cap´´ ıtulos posteriores veremos que as matrizes s˜ao ´uteis tamb´em em contextos mais abstractos. Nos primeiros cap´ıtulos deste texto, trabalharemos, em geral, com matrizes de n´umeros reais. No entanto, praticamente tudo o que veremos ´e tamb´em v´alido para n´umeros complexos.

1.1 Generalidades

Defini¸c˜ao 1.1 Chama-se matriz do tipo m × n sobre R (ou C) a todo o quadro que se obt´em dispondo mn n´umeros segundo m linhas e n colunas. Esses n´umeros dizem-se os elementos da matriz. Uma matriz diz-se real ou complexa consoante os seus elementos forem n´umeros reais ou complexos. O conjunto de todas as matrizes do tipo m × n sobre R representa-se por Mm×n(R). Usamos a nota¸c˜ao Rm^ para Mm× 1 (R).

Exemplo 1.

[ 1 2 7 − 5 3 8

] ,

 

0 − 2 7 1 2 3 12 5 8

  (^) e

 

2 4 9

  (^) s˜ao matrizes reais dos tipos 2 × 3 ,

3 × 3 e 3 × 1 , respectivamente. A primeira pertence M 2 × 3 (R), a segunda a M 3 × 3 (R) e a terceira a R^3.

Usam-se letras mai´usculas para designar matrizes. Exceptua-se o caso das matrizes- coluna, isto ´e, matrizes s´o com uma coluna, para as quais, frequentemente, se utilizam letras min´usculas. Numa matriz abstracta ´e comum designar os elementos por uma letra min´uscula com dois ´ındices, indicando o primeiro a linha da matriz em que o elemento se encontra e o segundo a coluna.

Defini¸c˜ao 1.2 1. Duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] ∈ Mm×n(R) s˜ao iguais se aij = bij , para i = 1,... , m, j = 1,... , n.

1. A ∈ Mm×n(R) diz-se quadrada de ordem n se m = n, e rectangular se m 6 = n.
2. Os elementos diagonais de A = [aij ] ∈ Mn×n(R) s˜ao a 11 , a 22 ,... , ann. A sequˆencia ordenada constitu´ıda por estes elementos diz-se diagonal principal de A.
3. Seja A = [aij ] quadrada. A diz-se triangular superior se aij = 0 quando i > j, triangular inferior se aij = 0 quando i < j, e diagonal se aij = 0 quando i 6 = j.
4. A matriz identidade de ordem n, In, ´e a matriz diagonal, de ordem n, com os elementos diagonais iguais a 1.

In =

Se a ordem estiver clara do contexto usamos simplesmente I.

1. A matriz nula m×n ´e a matriz m×n cujos elementos s˜ao todos iguais a zero. Representa-se por (^0) m×n, ou simplesmente por 0 se o tipo estiver claro do contexto.
2. Sendo A = [aij ]m×n, define-se −A = [− aij ]m×n.
3. Sendo A uma matriz, uma submatriz de A ´e uma matriz que se obt´em por supress˜ao de linhas e/ou colunas de A.

Exemplo 1.2 As matrizes

[ 1 2 7 − 5 3 8

] e

[ a 2 7 − 5 b 8

] s˜ao iguais se a = 1 e b = 3. Estas duas

matrizes s˜ao rectangulares, enquanto a matriz A =

 

10 5 − 7 8 2 3 15 6 5

  (^) ´e quadrada de ordem 3. Os

elementos diagonais de A s˜ao 10, 2 , 5 e a sua diagonal principal ´e (10, 2 , 5). As matrizes (^)  

1 2 − 7 0 2 1 0 0 − 2

  (^) ,

 

1 0 0 7 3 0 5 0 5

  (^) e

 

2 0 0 0 2 0 0 0 7

 

s˜ao, respectivamente, triangular superior, triangular inferior e diagonal.

As matrizes

[ 10 − 7 15 5

] e

 

5 − 7 2 3 6 5

  (^) s˜ao exemplos de submatrizes de A =

 

10 5 − 7 8 2 3 15 6 5

 .

1.2 Opera¸c˜oes com matrizes

As opera¸c˜oes mais simples com matrizes s˜ao a adi¸c˜ao (ou soma) de matrizes e a multiplica¸c˜ao de um n´umero por uma matriz.

Defini¸c˜ao 1.3 Sendo A = [aij ] ∈ Mm×n(R), B = [bij ] ∈ Mm×n(R) e α ∈ R, define-se:

1. A+B como sendo a matriz do tipo m×n cujo elemento (i, j) ´e aij +bij. Assim A + B = [aij + bij ]m×n.
2. αA como sendo a matriz do tipo m × n cujo elemento (i, j) ´e α aij. Tem-se ent˜ao αA = [α aij ]m×n.

Exemplo 1.3 Sendo A =

[ 1 0 − 6 − 2 1 8

] e B =

[ 10 3 8 1 6 4

] , tem-se

A + B =

[ 11 3 2 − 1 7 12

] e 1 2 A =

[ (^1) 2 0 −^3 − 1 12 4

] .

Teorema 1.1 Sejam A, B e C matrizes arbitr´arias em Mm×n(R). Ent˜ao verifica- se:

1. (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade da adi¸c˜ao).
2. A + B = B + A (comutatividade da adi¸c˜ao).
3. A + 0m×n = 0m×n + A = A (a matriz nula ´e elemento neutro da adi¸c˜ao).
4. A + (−A) = (−A) + A = 0m×n (−A ´e o elemento sim´etrico ou oposto de A).

Demonstra¸c˜ao. Apenas demonstramos a primeira destas propriedades, deixando as restantes como exerc´ıcio. Sejam A = [aij ] , B = [bij ] , C = [cij ] ∈ Mm×n(R). Sejam D = (A + B) + C = [dij ] e E = A + (B + C) = [eij ]. Note-se que D e E s˜ao matrizes m × n. Por outro lado, da defini¸c˜ao de adi¸c˜ao de matrizes, tem-se dij = (aij + bij ) + cij e eij = aij + (bij + cij ). Mas a associatividade da adi¸c˜ao em R diz-nos que estas duas somas s˜ao iguais. Logo, dij = eij para i = 1,... , m, j = 1,... , n, e portanto D = E.

Teorema 1.2 Sejam A e B matrizes arbitr´arias em Mm×n(R) e α, β ∈ R. Ent˜ao verifica-se:

1. α(A + B) = αA + αB.
2. (α + β)A = αA + βA.

1. Sejam A =

[ 3 1 5

] e B =

 

2 7 4

  (^). Ent˜ao

AB =

[ 3 × 2 + 1 × 7 + 5 × 4

]

[ 33

] ;

e BA =

 

2 × 3 2 × 1 2 × 5 7 × 3 7 × 1 7 × 5 4 × 3 4 × 1 4 × 5

  (^) =

 

6 2 10 21 7 35 12 4 20

  (^).

1. Sejam A =

 

3 0 0 0 5 0 0 0 1

  (^) e B =

 

5 0 0 0 7 0 0 0 9

  (^). Ent˜ao

AB = BA =

 

15 0 0 0 35 0 0 0 9

  (^).

1. Sendo A =

[ 1 2 − 1 − 2

] e B =

[ 4 − 6 − 2 3

] , tem-se

AB =

[ 0 0 0 0

] ; BA =

[ 10 20 − 5 − 10

] .

Como pode ser observado nestes exemplos, a multiplica¸c˜ao de matrizes comporta- se de modo diferente da multiplica¸c˜ao de n´umeros. Dadas matrizes A e B, pode acontecer estar o produto AB definido, mas o produto BA n˜ao estar. Estando AB e BA definidos, nada implica que AB seja igual a BA. Verificamos ainda outra anomalia: o produto de duas matrizes pode ser nulo sem que nenhuma delas o seja. Estas e outras propriedades do produto de matrizes est˜ao contidas no teorema que se segue.

Teorema 1.3 Sejam A,A′^ ∈ Mm×n(R), B,B′^ ∈ Mn×p(R), C ∈ Mp×q(R) matrizes ar- bitr´arias e α∈R. Ent˜ao tem-se:

1. A (^0) n×p = 0m×p, (^0) r×mA = 0r×n , AIn = ImA = A.
2. (AB)C = A(BC) (associatividade da multiplica¸c˜ao).
3. A(B + B′) = AB + AB′^ , (A + A′)B = AB + A′B (distributividades do produto em rela¸c˜ao `a adi¸c˜ao).
4. α(AB) = (αA)B = A(αB).
5. AB = 0 6 ⇒ (A = 0 ou B = 0).
6. (AB = AB′^ e A 6 = 0) 6 ⇒ B = B′, e tamb´em (AB = A′B e B 6 = 0) 6 ⇒ A = A′.
7. A multiplica¸c˜ao de matrizes n˜ao ´e comutativa.

Demonstra¸c˜ao. As afirma¸c˜oes contidas nas al´ıneas 5, 6 e 7 s˜ao do tipo negativo, em que se diz que certa propriedade geral n˜ao ´e verdadeira. Para provar uma afirma¸c˜ao desse tipo basta apresentar um exemplo, um caso concreto, em que a propriedade geral indicada n˜ao se verifica. (A um exemplo apresentado com tal objectivo chama-se um contra-exemplo.) No caso das propriedades 5 e 7, veja-se o Exemplo 1.4. Para a primeira parte da propriedade 6, considere, por exemplo, as

matrizes A =

[

]

, B =

[

]

e B′^ =

[

]

Passemos agora `a demonstra¸c˜ao da propriedade 2, ficando as restantes como exerc´ıcio. Sejam A = [aij ] ∈ Mm×n(R), B = [bij ] ∈ Mn×p(R) e C = [cij ] ∈ Mp×q(R). Ent˜ao (AB)C e A(BC) s˜ao ambas matrizes do tipo m×q. Da defini¸c˜ao de produto sabemos

que o elemento (i, j) de AB ´e

∑^ n

k=

aikbkj. Assim, o elemento (i, l) de (AB)C ser´a

∑^ p

t=

( (^) n ∑

k=

aikbkt

ctl.

De modo an´alogo, o elemento (i, l) de A(BC) ´e

∑^ n

k=

aik

( (^) p ∑

t=

bktctl

Utilizando as propriedades distributiva da multiplica¸c˜ao em rela¸c˜ao `a adi¸c˜ao, asso- ciativa da multiplica¸c˜ao e da adi¸c˜ao e comutativa da adi¸c˜ao em R, tem-se

∑^ n

k=

aik

( (^) p ∑

t=

bktctl

∑^ n

k=

∑^ p

t=

aik(bktctl) =

∑^ p

t=

∑^ n

k=

(aikbkt)ctl =

∑^ p

t=

( (^) n ∑

k=

aikbkt

ctl.

Da associatividade do produto de matrizes conclu´ımos que n˜ao temos que nos preocupar com parˆenteses quando lidarmos com mais de dois factores. Em particu- lar, fica bem definido o significado da express˜ao Ak, onde A ´e uma matriz quadrada e k ∈ N.

Teorema 1.4 Seja A ∈Mm×n(R) e designe-se por cj a coluna j de A, j = 1,... , n. Dada a matriz-coluna

x =

x 1 x 2 .. . xn

tem-se Ax = x 1 c 1 + x 2 c 2 +... + xncn. Dizemos ent˜ao que Ax ´e uma combina¸c˜ao linear das colunas de A.

1. Sejam A, B, C matrizes dos tipos m × n, n × p e p × q, respectivamente. Calcule o n´umero de multiplica¸c˜oes necess´arias para obter o produto ABC. (Note que a resposta depende de como considerarmos os parˆenteses no produto ABC.)
2. (a) Dˆe exemplos que mostrem que as identidades alg´ebricas (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 , (A − B)^2 = A^2 − 2 AB + B^2 , (A + B)(A − B) = A^2 − B^2 e (AB)^2 = A^2 B^2 nem sempre s˜ao verdadeiras quando A e B s˜ao matrizes. (b) Transforme os segundos membros daquelas identidades de forma a obter identidades sempre v´alidas para A e B matrizes quadradas quaisquer da mesma ordem.
3. Mostre atrav´es de exemplos que uma matriz real quadrada A pode satisfazer: (a) A^2 = −I; (b) A^2 = 0, sendo A n˜ao nula.
4. Prove que multiplicar A a esquerda por uma matriz diagonal de elementos diagonais μ 1 ,... , μm equivale a multiplicar a primeira linha de A por μ 1 , a segunda linha por μ 2 , etc. Multiplicar Aa direita por uma matriz diagonal de elementos diagonais μ 1 ,... , μn equivale a multiplicar a primeira coluna de A por μ 1 , a segunda coluna por μ 2 , etc.
5. Prove que uma matriz que comuta com uma matriz diagonal de elementos diagonais todos distintos tem de ser ela pr´opria uma matriz diagonal.
6. Prove que uma matriz quadrada que comuta com todas as matrizes quadradas da mesma ordem tem que ser uma matriz escalar (isto ´e, da forma αI para algum n´umero α).
7. Se os elementos aij de uma matriz A forem fun¸c˜oes diferenci´aveis de uma vari´avel t, define- se dAdt como sendo a matriz de elementos da dtij. Demonstre que dAB dt = dA dt B + A dB dt .
8. Sejam A e B matrizes m × n. Prove que, se Av = Bv para todo o vector coluna n × 1 v, ent˜ao A = B. (Sugest˜ao: O que conclui se v for uma das colunas da matriz In?)
9. (Produto por blocos.) Sejam A m × n e B n × p duas matrizes. Suponhamos que as particionamos em submatrizes (ou “blocos”) assim

A =

   

A 11 A 12... A 1 s A 21 A 22... A 2 s .. .

.. .

... .. . Ar 1 Ar 2... Ars

    , B =

   

B 11 B 12... B 1 t B 21 B 22... B 2 t .. .

.. .

... .. . Bs 1 Bs 2... Bst

    ,

de forma que, para todos os poss´ıveis valores de i, j, e k, o n´umero de colunas de Aik seja igual ao n´umero de linhas de Bkj. Mostre que, ent˜ao, o produto AB se pode calcular do seguinte modo (note-se que o n´umero de colunas de blocos de A ´e igual ao n´umero de linhas de blocos de B):

AB =

  

∑s k=1 A^1 kBk^1

∑s k=1 A^1 kBk^2...^

∑s ∑s k=1^ A^1 kBkt k=1 A^2 kBk^1

∑s k=1 A^2 kBk^2...^

∑s k=1 A^2 kBkt .. .

.. .

... .. ∑. s k=1 ArkBk^1

∑s k=1 ArkBk^2...^

∑s k=1 ArkBkt

  .

( Sugest˜ao: Talvez ajude come¸car por considerar o caso s = 2, r = t = 1.)

1. Calcule os seguintes produtos matriciais usando a multiplica¸c˜ao por blocos (fazendo a parti¸c˜ao indicada):

(a)

 

2 1 5 3 1 4 2 − 1 3 − 1 2 2

 

  

4 1 1 5 − 2 2 3 6

   ;^ (b)

   

2 0 0 0 0 1 5 2 0 0 2 − 1 3 0 0 1 4 − 1 3 − 1 − 1 5 2 1 6

   

2

1. Dˆe uma nova demonstra¸c˜ao do Teorema 1.4 usando o produto por blocos.
2. Seja A ∈Mm×n(R) e designe-se por Li a linha i de A, i = 1,... , m. Dada a matriz-linha x = [x 1 x 2... xn] , prove que se tem xA = x 1 L 1 + x 2 L 2 +... + xnLm.
3. Sendo A uma matriz m × n e B uma matriz n × p cujas colunas s˜ao v 1 , v 2 ,... , vp, mostre que as colunas de AB s˜ao Av 1 , Av 2 ,... , Avp.

1.3 Inversa de uma matriz quadrada

Dado um n´umero α n˜ao nulo, real ou complexo, podemos falar do seu inverso multiplicativo: α−^1 ´e o n´umero que multiplicado por α d´a 1. O que se passar´a com matrizes?

Defini¸c˜ao 1.5 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A ´e invert´ıvel se existir uma matriz X, quadrada de ordem n, tal que AX = XA = In.

Teorema 1.5 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Ent˜ao existe no m´aximo uma matriz X quadrada de ordem n tal que AX = XA = In.

Demonstra¸c˜ao. Sejam X e Y matrizes quadradas de ordem n tais que AX = XA = In e AY = Y A = In. Ent˜ao Y = Y In = Y (AX) = (Y A)X = InX = X. Logo, existe no m´aximo uma matriz X nas condi¸c˜oes referidas.

Defini¸c˜ao 1.6 Nas condi¸c˜oes do Teorema, X diz-se a inversa de A e representa-se por A−^1.

Exemplo 1.5 A matriz

[ 1 2 1 1

] ´e invert´ıvel, sendo a sua inversa a matriz

[ − 1 2 1 − 1

] . De facto tem-se [ 1 2 1 1

] [ − 1 2 1 − 1

] = I 2 e

[ − 1 2 1 − 1

] [ 1 2 1 1

] = I 2.

1. Seja A uma matriz particionada da seguinte forma:

  

A 1 0... 0 0 A 2... 0 .. .

.. .

... .. . 0 0... Ar

   ,^ onde os

blocos A 1 , A 2 ,... , Ar s˜ao quadrados e invert´ıveis e os zeros designam matrizes nulas dos tipos adequados. Mostre que A ´e invert´ıvel e determine A−^1.

1. Seja A uma matriz quadrada cujos elementos s˜ao fun¸c˜oes diferenci´aveis de uma vari´avel t. Suponhamos que A ´e invert´ıvel para todos os valores de t. Demonstre que, ent˜ao, d(A−^1 ) dt = −A−^1 dA dt A−^1.

Que igualdade ´e esta no caso n = 1? Sugest˜ao: Parta da igualdade AA−^1 = I e use o exerc´ıcio 13 da sec¸c˜ao 1.2.

1.4 Transposi¸c˜ao de matrizes

Uma transforma¸c˜ao simples mas importante que se pode fazer a uma matriz ´e a transposi¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 1.7 Dada uma matriz do tipo m × n

A =

a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n .. .

am 1 am 2... amn

define-se a transposta de A como sendo a matriz do tipo n × m

AT^ =

a 11 a 21... am 1

a 12 a 22... am 2 .. .

a 1 n a 2 n... amn

Ou seja: o elemento (i, j) de AT^ ´e aji, para i = 1,... , n, j = 1,... , m. A matriz A diz-se sim´etrica se A = AT^.

Como se vˆe da defini¸c˜ao, os elementos da coluna j de AT^ s˜ao precisamente os da linha j de A, para j = 1,... , m. Vemos tamb´em que uma matriz ´e sim´etrica se e s´o se for quadrada e forem iguais os elementos situados em posi¸c˜oes sim´etricas relativamente `a diagonal principal.

Exemplo 1.6 A transposta da matriz A =

[ 1 2 0 1 5 3

] ´e a matriz AT^ =

 

1 1 2 5 0 3

  (^).

A matriz (^)  

3 2 5 2 1 7 5 7 9

 

´e sim´etrica, mas a matriz (^) 



3 1 5 2 1 7 5 7 9

 

j´a o n˜ao ´e, uma vez que os elementos nas posi¸c˜oes (1, 2) e (2, 1) n˜ao s˜ao iguais.

Teorema 1.7 A transposi¸c˜ao de matrizes goza das seguintes propriedades:

1. (AT^ )T^ = A;
2. (A + B)T^ = AT^ + BT^ ;
3. (αA)T^ = αAT^ , sendo α um n´umero;
4. (AB)T^ = BT^ AT^ ;
5. (Ak)T^ = (AT^ )k, sendo k um n´umero natural;
6. Se A for invert´ıvel, AT^ tamb´em ´e, tendo-se (AT^ )−^1 = (A−^1 )T^.

Demonstra¸c˜ao. As propriedades 1, 2, 3 e 5 ficam como exerc´ıcio. Provemos 4 e 6.

1. Sejam A = [aij ] e B = [bij ] , dos tipos m × n e n × p , respectivamente. Ent˜ao BT^ AT^ e (AB)T^ s˜ao ambas do tipo p × m. Sendo bki e ajk os elementos (i, k) e (k, j) de BT^ e AT^ , respectivamente, tem-se que o elemento (i, j) de BT^ AT^ ´e ∑^ n

k=

bkiajk =

∑^ n

k=

ajkbki, que ´e o elemento (i, j) de (AB)T^ , para i = 1,... , p, j =

1 ,... , m. Logo, (AB)T^ = BT^ AT^.

1. Seja agora A = [aij ] invert´ıvel de ordem n. Ent˜ao, usando a propriedade 4, tem-se

AT^ (A−^1 )T^ = (A−^1 A)T^ = InT = In e (A−^1 )T^ AT^ = (AA−^1 )T^ = InT = In.

Logo (AT^ )−^1 = (A−^1 )T^.

Defini¸c˜ao 1.8 Uma matriz quadrada diz-se ortogonal se for invert´ıvel e a sua inversa coincidir com a sua transposta.

Exemplo 1.7 A matriz AT^ =

[ (^) √ 2 2 −^

√ 2 √ 2 2 2

√ 2 2

] ´e ortogonal.