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- RESUMO TEÓRICO. - PROBLEMAS RESOLVIDOS - E PROPOSTOS. A - RIO DE JANEIRO — 1979. no. 12. 17. JUBIRY VICENTE DA SILVA INSTITUTO DE MATEMATICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO BACHARELADO EM CIÊNCIAS ESTATÍSTICAS - ENCE -CONRE 029 LINE COMBINITÓRIA RESUMO TEÓRICO PROBLEMAS RESOLVIDOS E PROPOSTOS SUMÁRIO pãe. Arranjos Simples.. 1 Permitações Simples. ....icteceseeecesesiesreeenerees cereeeraneerts p) Combinações Simples... .iiceeeeeeiseseeeeesseesesesesreecesenaeea 3 3.1, Propriedades das Conbinações.....cceecemenecerentececeemeneeeos 4 Triângulo Aritmético de Tartaglia - Pascal 4.1, Teorema das (Colunas. 4.2. Teorema das Linhas 6 Teorema de Bezout....... erenareeeieeeeneneeneneaseeenmeneneeness . Permutações Circulares. ..seccecesesteseeeneneseeaasaaneneneanerireas 8 Permutações com Repetição. «essas Arranjos com Repetição. Combinações com Repetição. rômiila de Euter Fórmula de Lagrango...eecersercermeceres erre enaaaanrerranicanaeaaa E Binômio.......c. 12.1. Fórmula de Stevih.....cccssseeeeass 1.2. Binômio de Newton. ssseseresessa 12,.2.1 Temo Geral do Desenvolvimento 12.2.2 lei de Formação dos Temos... 12.3. Termos Equidistantes. ..ccesesescerererireneneerineceririseaseald 12.4. Soma dos cooficientes do binômio. 12.5. Temo de Maior Coeficiente ia de Polinômios. 15.1 Fómula de Leibr “16 13.2. Fórmula do Binômio para Esposntos F Fracionários Positivos e Ne- ativos, 1 jas de Polinômios. .......e Problemas Propostos.........- Multiplicando membro a membro e simplificando as p igualdades, teremos: Pp A, = n(n=1)(n-2)... (n-pel) Nota: Fatorial de um número natural n & o produto dos n primeiros números naturais e se representa por n: decorrência: n por convenção: 0! 1.253. “(nn n> 1 m(n=1) = n(n=1) (n=2) + Te 1! =1 Expressão dos Arranjos em termos de Fatorial: Multiplicando e dividindo o segundo membro da formula acima por tn=p) +, teremos: EU mín) (n-2) enc pen cp) tn- po) (no po 2). .21 n Exemplo: AG = 9.8,7.8.5 = 15.1200u Age Para p=0- A = E) No caso n=1, temos A) = Chama-se permutações simples de n elementos ao arranjo de n objetos de classe n: Ps n n (=D! «Pi 2 9.8.7.6.5, = 15.120 (9-5) 4: = 1 sem significado completo = 1, justificando a convenção O | 2. Permutações Simples: no ' (rent 0! Exemplo: P;= 5! = 120 2 nº 0:=-1 -1 3. Combinações Simples Chama-se combinações simples de n elementos de classe p, Bos gru- pamentos não ordenados contendo p desses elementos. Assim, as combinações simples são grupamentos que diferem entre si pela natureza dos elementos. Pela definição, para que 2 combinações difiram uma da outra E ne- cessário que pelos menos um dos elementos de uma não figure na outra, uma vez que à ordem dos elementos não diferencia combinações. Por esse motivo as combinações são também chamadas de produto distintos. Consideramos formado o quadro das combinações simples de classe p de n elementos. Permutemos os elementos de cada uma dessas combinações, de modo a Formar O quadro. Neste quadro os grupamentos diferirão entre s a) pela ordem dos elementos, quando originários da mesma combina- ção, ou b) pela natureza dos elementos, quando originârios de duas combi- nações. Temos, assim formado o quadro dos arranjos de classe p dos h elementos, o que nos permite escrever: p An no mín 1) (u= 2) ooo quepel) n P Pp! 1.2. “(pp Exemplo 1: Quantos são os produtos ternários feitos com ós & primeiros núme- ros primos: Solução: 2,3,5,7,M,13,17,19 Demons tração: Consideremos as igualdades: p-1.. n-1) (n-2)... (n-p+1 Ent 1.2.3. ... (p-1) Po n=1) (n-2) ... (n-ptl (nr) n=1 0 1.2.3. ... (p-1)p Somando membro a membro e colocando em evidência, temos: cr) N Em . (e (u2 o (ope) q, np) 1.2.3. ... (p-1) p AP ls, Po. (n-1) (n-2) ... gnopri) no. A, ne n-1 1.23. ..(p-1) [ p! 1 n 1 +: E ou CP) + Ch) =Ch cad. Fôrmula generelizada de Stifel: P - cl p-1 p-1 p-1 p-1 Po= cd + Co t Cate t0 + Exemplo: 4 4 3 9.8.7.6 9.8.7 cdo-cosc) = &hO , D&lo 126 + 84 =210 0 903 1.2.3.4 1.2.3 4. Triângulo Aritmêtico de Tartaglia- Pascal Chama-se coeficiente binomial de classe p de n elementos, a relação: (My AD (neznoo. (oeprl para np n Pp 1.23... p = Estes coeficientes são tambêm chamados nimeros combinatôrios: Paran
O. A construção do triângulo justifica-se pela relação de Stifel em que um elemento da linha n e coluna p & obtido pela soma dos elementos da linha n - 1 correspondentes às colunas p-1 e p, ou seja: =D + (5) Exemplo de triângulo de Pascal ou de Tartaglia: 4.1. Teorema das colunas - expressão analítica: n- n-2 n-3 Pp PI) cen (mi) ta) + Dt +) tg =) Ou seja a soma dos elementos de uma coluna atê determinada linha & igual ao elemento da linha e coluna seguintes às consideradas. Exemplo Greca += (5) = 1+3+6410=20 4.2. Teorema das linhas. A soma dos elementos da linha n do triângulo de Pascal É igual = - =n = à potência n do número 2, isto E, E, (1) = 2h, se fizer a soma com sinais nos alternados & zero, isto & ECN) (5) = 0 d=0 Representando os subconjuntos ay,a,, ... , à, = A e » 9) = B tem-se: À a, as. mr j Trocando-se ajea, de posição, temos Aa, a; B. O que não acarreta alteração no número de inversões nos subconjuntos À e B. Apenas, se a; a, cons tituia uma inversão (permanência) na primeira, passou a constituir permanência (inversão) na segunda, havendo então, diminuido (aumentado) de 1 0 número de inversões, que se era par (impar) passou a ser impar (par), mudando a classe da permutação. 29 Caso: Os dois elementos não são consecutivos: Suponha à; +... açõ Pp Efetuando p mudanças sucessivas de classe, chegar-se-à a posição. Finalmente, fazendo mais uma troca, ou seja p+1, chegar-se a 2.000. B Aa, à; p k Tem-se, então, um total de p+1+p = 2p+1 (nimero ímpar) de mudanças de classe. Portanto, se o número de inversões era impar (par), somando a núme ro ímpar, passou a ser par (impar), havendo a permutação mudado de classe. Consequência: Feitas as n! permutações entre n elementos, hã tantas de classe par (p) quantas de classe Impar (1), isto E, P = 1 = 6. Permutações Circulares, P( - n Os elementos estão dispostos segundo uma circunferência e de acordo com um sentido determinado. Chama-se permutações circulares de n elementos às permutações obtí- das passando sucessivamente para o Último lugar o primeiro elemento da per- mutação. Para exemplificação, tomemos os elementos a,b,Cyd: abcd bcda cdab dabc 8 E claro que ao agrupamento de n elementos, correspondem n permutações circulares desses agrupamentos . Designemos por P. o numero das disposições possíveis, distintas, n de n elementos sobre uma circunferência, como cada uma dessas disposições dã origem a n permutações circulares, e como o número total das permuta - ções de n elementos é nº, tem-se: nP. = n! poi (nm! do anterior: 7. Permutações com Repetição, ou seja com elementos nem todos distintos. Consideremos a permutação: ajaegay byby CCC, Total das permutações simples desses 10 elementos & 10! Fazendo ay = ap =a,=&, =a,0 no de permutações dos mesmos 10 elementos em que 4 deles são iguais serã evidentemente. 10: 4 Fazendo ema aaa bb 6 o C 4 » = b, O nb de permutações será: 4 Finalmente, fazendo C, =C, =C,=C,=C o n9 de permutações dos elementos aaaabbccccõserã evidentemente: ou seja: 10: 4.214 Represente-se por: CAR? = nº Formação dos arranjos binârios com repetição com quatro elementos a,b,c,d. aa ba ca de ml = 42.16 ab bb cb ab ac be cc dc ad bd cd ad Número de arrajos, com repetição, de classe p 1 - (Ap =, (ARZ=n (AlG. 0.5 taRjD = n (ARjDT] Mul tfplicando, menbro à membro, essas p igualdades, e suprimindo os fatores comuns a anbos os membros, obtemos: PP AM, =n 9. Combinações com repetição: As combinações com repetição de p dos n elementos são.os conjuntos de p elementos, distintos ou não, dentre n elementos dados. Representa-se por: (CRF = cl p> 0 o VIA > p m+p-1 Uma combinação difere da outra pela natureza ou pela frequência dos elementos. Exemplo: 22 be gáferem pela natureza do Ultimo elemento. aabd à ; ; € diferem pela frequência dos elementos a e b. a c un Formação das combinações: binárias com repetição de três elementos asb,c: Acrescenta-se ao elemento a sucessivamente os elementos a,b e c,ao elemento b sucessivamente b e c e ao elemento c ele proprio, ou seja: aa bb cc 2 2 2 4.3 (cRjÊ = € = cê dio. ab be 3 3421 4a ac Formam-se analogamente, as combinações ternárias, acrescentando-se ao grupo a a sucessivamente a,b e c, àos grupos a be bb sucessivamente be c e aos grupos ac, bceccoelementoc, ou seja: ada bbb ecc aBb bbc asc abb bec (om3. cê. St 19 3 5 1.2.3 abc E acc Número de combinações com repetição. seja (CR)P 0 número de combinações com repetições de classe p(p > 1) dos n elementos. Como hã n elementos distintos e cada um deles entra no quadro igual nômero de vezes, o elemento à aparecerá — (CR)P vezes. Isolando no quadro todos os agrupamentos iniciado por a. Suprimindo esse elemento inicial, ficaremos con o quadro das (GR)B"T, que é o número de vezes que a entra como primeiro elemento. Se a não for elemento inicial entrarã tantas vezes quantas faça parte do quadro das corpo, isto é, eo (erp. Concluimos que o e Temento a entra no quadro das combinações com repetições de classe p do n ele mentos tantas vezes quantas são. (oRjPT + BELO (cryP-1 podemos escrever: R n n Po P. p-1 p-1 po. Atpd p= po (erp = (eRf] + E terjP = + (cep Substituindo sucessivamente p = 2,3, ..., p, temos 12 Dizemos, então, que são iguais os números de combinações complementares (termos equidistantes), isto é, de clas- ses cuja soma é igual ao número de objetos. 12.4. - Soma dos coeficientes do binômio. se, na formula do binômio, fizemos em ambos os membros x =a =, teremos: le en" 12.4.1 - Fazendo x = a = 1, obtem-se a soma de todos os coeficientes binominais de classe par e classe impar: [ classes par : (De(BacD je. zero] n [ 2 nP=o í nm p=o ( Classes impar : UG .= 12.5. - Termo de Maior Coeficiente. No desenvolvimento do binômio de Newton os coeficientes são: = Demo (= srlspo ca Q=1 Para um deles ser maior que o precedente, é preciso que: AB, ou Al, noprl>p= pote (1) ia ips + . Seja k, o maior inteiro inferior a LS] ; então: n+1 2— K< ex+2> Lilo ok+2 DO QD (a) > > O) 15 O coeficiente máximo É, portanto o maior dos dois números ) e (> se não forem iguais; se forem ambos são maximo. Para comparar (8) e (Do estudaremos a relação. mk K+1 i) Quando n for par n = 2k, o número de termos do desenvol - vimento serã impar 2k+1.0 termo de coeficiente máximo serã o do meio. n (1) ii) se n for máximo, n = 2k+1,0 número de termos do desenvol vimento serã par, 2k+2, e consequentemente havera dois termos centrais: n n () . (11 7 rs 13. - Potência de Polinômios. 13,1 Fórmula de Leibniz. Seja um polinômio de k termos, elevado a potência n: n n (aptagteta= (ia) i=] Dedução pela fórmula do binômio de Newton: (ay tat tadletay sm = 2 (8) apo xls a n - nes e E (a, raçh rapa (a, ty (8) ob ylrac6 qa-b=. ot 2 (apra jMReBe oc a KIT k 16 Logo: 2 2: 2 2 - mtatatetafes O — anã =ca +2raja Exemplo 2 - cubo de um Polinômio: (tagtagt o ta))= raj+3za apt 6Ea) à) à Exemplo 3 - Quarta Potência de um Polinômio (aytaztagt e. ta! =L E +4E a ag + 6z a? aj? + 125 a? azãy+ Exemplo 4 atas cx 6 4 3 ij 13.2 Fórmula do Binomio para Expoentes Fracionários Positivos ou Negativos. i) Fórmula do binômio para expoentes fracionários positivos: , h h h h . Querer (Eds a o od a. 1 ã ii) Fórmula do binômio para expoentes negativos, inteiro ou Fracionários; 18 rr + 13.2.1 Aplicação: na Pe den do deteroo 2) qagte dec FX Er) a vier Eni! Liga fic d ja eds! a datas E (pd ra 3 endemias ja 1 al 5º ei js 3 ns mil d 9 oe 1 º = 47 (3) 0-2). 9 —& -1+ 5 a 1-3x . e 19 3. 
