Análise Combinatória, Notas de estudo de Matemática

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia - IFBACampus Eunápolis Professor MsC: José Alves de Oliveira Neto

Conteúdos

Princípio Fundamental da Contagem.

Arranjos Simples.

Permutações Simples e Circulares. Fatorial.

Fatorial.

Combinações Simples.

Permutações com Elementos Repetidos

.

O Princípio Fundamental da Contagem

Exemplo 1: Uma bandeira com a forma abaixo deve serpintada utilizando 2 das cores dadas. Liste todas as possíveis bandeiras.

As possíveis soluções são:^ Há, portanto,

maneiras distintas de colorir a

bandeira nas condições dadas.

Principio Fundamental da Contagem

Se

determinada

decisão

ocorre

em

n

decisões

distintas e, a primeira decisão pode ser tomada de d

1

maneiras diferentes, a segunda decisão de d

2

maneiras

diferentes, e assim sucessivamente até a última decisão, então

o

número

total

de

se

tomar

consecutivamente

as

n

então

o

número

total

de

se

tomar

consecutivamente

as

n

decisões é:

1

2

1

...

n

n

T

d

d

d

d

−

=

⋅

⋅

⋅

⋅

Exemplo 3: Para colorir a bandeira abaixo, há 4 coresdisponíveis. De quantas maneiras é possível pintá-la demodo que faixas adjacentes tenham cores distintas?

Fatorial Definição

Seja m um número natural, m > 2. Chama-se fatorial

de m, indicado por m!, o número calculado da seguinteforma:

m! =m.(m

1).(m

m! =m.(m

1).(m

Exemplos:1) 2! = 2.1=22) 3! = 3.2.1=63) 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1=403204) 9! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1=3628805) 9! = 9.8!=9.40320=

Este último exemplo nos permite escrever:

m! =m.(m-1)!

Com

este

resultado

é

possível

fazer

simplificações

e

também determinar os valores de

! e

De fato, substituindo o número m da expressão acima por

e depois por

, teremos:

i) ii) Permite também realizar simplificações:

m

⋅^

⋅^

m

⋅^

⋅^

⋅^

Fórmula do número de arranjos Pelo exemplo anterior vemos que:1) 2) Em geral,

5,

A

⋅^

⋅^

6,

A

⋅^

⋅^

⋅^

,^

2) ... [

1)]

m r

A

m

m

m

m

r

⋅^

⋅^

⋅^

⋅^

Observemos que a expressão acima possui

r

fatores. Podemos

então completá-la, de modo a possibilitar a utilização da notaçãofatorial. De fato,

,

,

,

(

1. (

2. ... [

(^

1)]

(^

1. (

2. ... (

3. (

) (

1. ... 3 2 1

(^

) (

1. ... 3 2 1 !

(^

)!

m r

m r

m r

A

m

m

m

m

r

m

m

m

m

r

m

r

m

r

A

m

r

m

r m

A

m

r

=

⋅^

−

⋅^

−

⋅^

⋅^

−

−

⋅^

−

⋅^

−

⋅^

⋅^

−

⋅^

−

⋅^

−

−

⋅^

⋅^

⋅^

⋅

=

−

⋅^

−

−

⋅^

⋅^

⋅^

⋅

=

−

Permutações Simples

Seja M um conjunto com m elementos,

Uma

permutação desses m elementos é qualquer sequência ordenadaformada com os m elementos de M. Pode-se também definir umapermutação como todo arranjo no qual r = m. O

número

de

permutações

de

m

elementos

será

indicado

por

1

2

3

{

,^

,^

,...,

} m

M

a

a

a

a

=

m

P

O

número

de

permutações

de

m

elementos

será

indicado

por

Exemplo1: Quantos anagramas podemos formar com as letras dapalavra GIZ?Solução: Um anagrama é qualquer agrupamento formado pelas letrasde uma palavra, que podem ou não ter significado na linguagemcomum. Nesse caso os anagramas são: GIZ, GZI, IGZ, IZG, ZIG, ZGI.Logo,

m

3

6

P

=

Fórmula do número de permutações simples

O número de permutações de m elementos distintos é

dado por:

(

1. (

2. ... 3 2 1

!

m P

m

m

m

m

=

⋅^

−

⋅^

−

⋅^

⋅^

⋅^

⋅^

=

Exemplo

4

: De quantos modos é possível colocar

7

pessoas em fila

indiana

se

duas

delas,

João

e

Maria

devem

ficar

sempre

juntas?

indiana

se

duas

delas,

João

e

Maria

devem

ficar

sempre

juntas?

Solução: Podemos considerar as duas pessoas que devem ficar juntascomo se fossem uma única pessoa. Desta forma teremos

7-2+

elementos, que podem ser permutados de

maneiras distintas.

Neste cálculo João e Maria estão juntos, mas podem trocar de lugarpermanecendo juntos, o que pode ser feito de

. Assim, a resposta

é:

6!.2! = 720.2 = 1440.

6

P

2

P

Permutação com elementos repetidos

Exemplo

: Quantos anagramas distintos podemos formar

com as letras da palavra RIR? Solução: Aqui temos duas letras iguais a R. Vamos denotá-las por R

1

e R

2

Então os anagramas são:

R

IR 1

, R 2

R 1

I, IR 2

R 1

2

, IR

R 2

, R 1

IR 2

, R 1

R 2

I 1

Observemos, entretanto, que os anagramas

R

IR 1

2

e R

IR 2

1

representam a

Observemos, entretanto, que os anagramas

R

IR 1

2

e R

IR 2

1

representam a

mesma palavra, o mesmo acontecendo com os anagramas

R

R 1

2 I e R

R 2

I 1

, e

IR

R 1

2

e IR

2

R

. Portanto, são 1

3

e não

6

anagramas.

Vamos denotar o número de permutações desses

3

elementos, dos quais

dois são a R e um é igual I, por

. Nesse caso,

Observe que,

2,1 3

P

2,1 3

P

2,1 3

3!

3

2 1

3

2! 1!

P

⋅^

⋅

=

=

=

⋅^

2 1

⋅

Fórmula do número de permutações comelementos repetidos

Do que foi exposto acima, vemos que o número de

permutações de n elementos, dos quais n

1

são iguais a a

1

,

n

2

são iguais a a

2

, n

3

são iguais a a

3

,.. ., e n

r

são iguais a

a

é

dado

por

:

a

r^

é

dado

por

:

sendo

.

1

2

3

,^

,^

,^

,

1

2

r

n

n

n

n

n

r

n

P

n

n

n

n

⋅^

⋅^

⋅^

…

1

2

3

...

r

n

n

n

n

n

=

Permutações Circulares

Exemplo

:^

De quantas maneiras 3 pessoas podem senta-se ao

redor de uma mesa circular? Solução: Vamos denotar por P

1

P

2

P

. As possibilidades estão listadas 3

abaixo:

P

1

P

3

P

2

P

1

P

2

P

3

A resposta parece ser 6!. Mas se levarmos em conta que o que importa emuma permutação circular é a vizinhança de cada elemento, vemos queformas distintas de permutar essas pessoas em torno da mesa são apenas 2

. De fato, no sentido anti-horário, as três primeiras são idênticas(P

1

antes de P

2

e P

2

antes de P

), o mesmo ocorrendo com as três últimas (P 3

1

antes de P

3

e P

3

antes de P

2 ). Portanto,

P

3

P

2

P

2

P

1

P

1

P

3

P

2

P

3

P

3

P

1

P

1

P

2

3

PC