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Sumário
- Fatorial de um número natural
- Princípio Fundamental de Contagem
- 2.1 Regra do Produto e Regra da Soma
- 2.2 Formando números...
- 2.3 O princípio da exclusão
- Permutação:
- 3.1 O que é permutação?
- 3.2 Fixando elementos em uma permutação..................................................
- 3.3 Permutação com elementos repetidos
- 3.4 Anagramas
- 3.5 Uma questão interessante...
- 3.6 Permutações com elementos juntos
- 3.7 Permutações com alguns elementos em ordem
- Arranjos versus combinações:
- Combinações
- 5.1. Definição
- 5.2. Generalizando
- 5.3. Um desafio.......................................................................................
- Permutações circulares
- Soluções de uma equação
1. Fatorial de um número natural
Antes de apresentar os conceitos de arranjos , combinações e permutações , vamos conversar sobre o que fatorial de um número inteiro não negativo n , representado por n! (leia n fatorial). O fatorial de um número inteiro não negativo n é definido por
n , se n 2 , se n 1 ,
(n 1) (n 2) 2 1 n 1 se n 0
^ ^ ^ ^ ^
Ou seja, caso o número seja 0 ou 1 , seu fatorial será 1. Caso contrário, multiplicamos seu valor por todos os antecessores até 1. Como exemplo, vejam o cálculo para se obter 6! :
6! 6 5 4 3 2 1 , ou seja 6! 720.
Questão 1.
Qual o valor de x 8! 6!
Solução:
É muito comum, em provas de concursos, problemas que nos propõem o cálculo de expressões numéricas envolvendo fatoriais, como nesta questão na qual vamos determinar o quociente entre 8! e 6!. Para tal, desenvolvemos esses números e realizamos as respectivas simplificações (todos os números de 1 até 6):
x 8! 6! 8 7 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 8 7 56
^ ^ ^ ^ ^ ^
Gabarito: 56.
Aula 02 – Análise Combinatória
Na simplificação de frações, ganhamos tempo ao não desenvolver o fatorial de um número até 1 (um) e isso será muito importante no cálculo de combinações, como veremos adiante. Agora, vamos resolver mais uma questão, desta vez contextualizada na própria matemática ao exigir, também, conhecimentos de álgebra:
Questão 3.
Determine o valor de x na equação (x 2)! 72 x!.
Solução:
A equação (x 2)! 72 x!contém fatorial de duas expressões: x e x + 2. Desenvolveremos o maior, (x + 2)!, até obter o menor, x!. Assim, reescrevemos a equação dada como (x 2) (x 1) x! 72 x!.
Como x! é fator comum aos dois lados da igualdade, dividimos a equação por esse valor e encontramos (x 2) (x 1) 72 , ou seja, uma equação de 2º grau com incógnita x. Desenvolvendo-a para usar a fórmula de Báskara, temos:
x^2 3x 2 72 Ou seja, x^2 3x 70 0 , equação na qual os coeficientes A, B e C são, respectivamente 1, 3 e - 70. Então 2 2
B 4 A C
As soluções são
x B 2A (3) 289 2 1 (^3 17) x 10 ou x 7 2
^ ^ ^
^
^
Uma vez que “fatorial de um número” só existe se esse número não for negativo, concluímos que o único valor correto para a equação é x = 7.
Gabarito: A solução de (x 2)! 72 x!é x = 7.
2. Princípio Fundamental de Contagem
A Análise Combinatória é uma área da matemática que desenvolveu métodos e procedimentos para estudar e resolver problemas relacionados à quantidade de elementos de conjuntos. Surgiu no século XVI, época em que as camadas mais altas da sociedade perdiam ouro, brilhantes, castelos, terras e cavalos de raça nos jogos de azar. Na época, era importante, saber o número de formas de se obter soma igual a 9 num jogo de dados ou 3 valetes num jogo de baralho.
Atualmente, a Análise Combinatória continua ocupando-se, como nos tempos de sua origem, com a resolução de problemas vinculados a jogos de azar, mas esta deixou de ser sua preocupação exclusiva. Hoje em dia, ela atua em diversos outros domínios e fornece fundamentação para a contagem de possibilidades de eventos do cotidiano.
2.1 Regra do Produto e Regra da Soma
Sejam n(A) e n(B) , respectivamente, o número de elementos dos conjuntos disjuntos (ou sem interseção) A e B , conforme representado na figura abaixo:
(1) Regra da Soma:
O número de maneiras de se escolher um elemento de A ou um elemento de B é n(A) + n(B).
(2) Regra da Produto:
O número de maneiras de se escolher um elemento de A e um elemento de B é n(A) x n(B).
Gabarito : 54 escolhas.
Questão 6.
(CESPE - 2013 - TRT17) Considerando que, na fruteira da casa de Pedro, haja 10 uvas, 2 maçãs, 3 laranjas, 4 bananas e 1 abacaxi, julgue o próximo item.
Se Pedro desejar comer apenas um tipo de fruta, a quantidade de maneiras de escolher frutas para comer será superior a 100.
Solução:
A escolha que Pedro deverá fazer é de apenas 1 (uma) fruta , que pode ser uva , maçã , laranja , banana ou abacaxi , de forma mutuamente exclusiva na qual está implícito o uso do conectivo ou. Diante do exposto, vamos usar a Regra da Soma :
Portanto, a quantidade de maneiras de escolher apenas uma fruta é 22.
Gabarito : Item ERRADO.
Questão 7.
(CESPE - 2014 – MEC) A partir de cinco analistas contábeis, sete analistas educacionais e seis analistas processuais, é possível formar mais de 300 equipes distintas com exatamente um analista de cada especialidade em cada equipe.
Solução:
As escolhas a serem feitas são de três analistas, sendo um contábil (de um total de 5 ), um educacional (de 7 ) e um processual (de 6 ). Em função do uso da Regra do Produto, por se tratar de escolhas simultâneas, multiplicamos os três valores destacados:
Gabarito : Item ERRADO.
Questão 8.
(IOBV - Prefeitura de Chapecó - Engenheiro) Em um restaurante os clientes têm a sua disposição, 6 tipos de carnes, 4 tipos de cereais, 4 tipos de sobremesas e 5 tipos de sucos. Se o cliente quiser pedir 1 tipo carne, 1 tipo de cereal, 1 tipo de sobremesa e 1 tipo de suco, qual o número de opções diferentes com que ele poderia fazer o seu pedido?
Solução:
Cada pedido consiste da escolha de 1 tipo carne ( de 6 ), 1 tipo de cereal ( de 4 ), 1 tipo de sobremesa ( de 4 ) e 1 tipo de suco ( de 5 ). Por se tratar de escolhas simultâneas, multiplicamos as quantidades destacadas:
Gabarito : 480.
2.2 Formando números...
São muito comuns questões de concursos explorando formação de números seguindo diferentes características. Nesta seção, apresentaremos vários exemplos para ilustrar como o uso do PFC (Princípio Fundamental de Contagem) pode ser útil na resolução de problemas de análise combinatória. Vamos lá...
Questão 9.
Considerando-se os números 2, 5, 7, 8 e 9, quantas senhas de 4 dígitos podem ser formadas?
Solução:
Para que o número formado pertença ao intervalo, isto é, esteja entre 2000 e 5000 , podemos escolher, para o algarismo da posição das unidades de milhar, qualquer um dos algarismos 2 , 3 ou 4.
Na escolha dos algarismos para as posições das centenas, dezenas e unidades, a única restrição a ser observada está relacionada à não repetição de algarismo usado em posição anterior. Assim, para a posição das centenas, temos 5 possibilidades de escolha (dos 6 inicialmente disponíveis, 1 foi usado para as unidades de milhar. De forma análoga, nas posições das dezenas e unidades, temos 4 e 3 possibilidades de escolha.
Gabarito : 180 números.
2.3 O princípio da exclusão
Seja A um conjunto contido no conjunto universo U , denominado conjunto universo (em probabilidade, usaremos a denominação espaço amostral para uma situação similar).
O complementar de A em relação a U é representado por A (leia A barra) e é determinado por
A U A onde A A Para determinar a quantidade de elementos de A, muitas vezes vamos recorrer a A (elementos que não pertencem a A) e usando a seguinte fórmula:
n(A) n(U) n(A)
Para ilustrar o uso dessa relação, vejam as próximas questões:
Questão 12.
Quantos números inteiros no intervalo [10, 99] possuem dígitos distintos?
Solução:
Consideraremos, como universo, o conjunto de todos os números inteiros pertencentes ao intervalo [10, 99]. Ou seja, o conjunto de todos os números de dois algarismos, sejam eles distintos ou não e que possui 90 elementos.
U {10, 11, 12, ..., 98, 99} n(U) 90 Desse conjunto, buscamos a quantidade de elementos que tem os dois algarismos distintos e vamos determinar essa quantidade a partir de seu complementar, isto é, o conjunto dos números inteiros do intervalo [10, 99] que possui algarismos repetidos. Isto é:
A {11, 22, 33, ..., 88, 99} n(A) 9 Portanto, a quantidade de números de dois algarismos distintos, representado por n(A), é dada por
n(A) n(U) n(A) 90 9 81
Gabarito : 81 números.
Questão 13.
Um estádio possui 8 portões. De quantas maneiras esse estádio pode ser aberto ao público?
Solução:
Para que o estádio fique aberto ao público, basta que pelo menos um portão não esteja fechado. Como cada portão pode estar aberto ou fechado , existem 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256 de se deixar portões abertos ou fechados. Dessas, existe apenas uma onde todos os portões estão fechados. Logo, o número de maneiras de o estádio ser aberto ao público é:
n(A) n(U) n(A) 256 1 255
onde Pn representa o número de permutações de n elementos e pode ser deduzida a partir da Regra do Produto , um dos elementos do Princípio Fundamental de Contagem.
Questão 14.
De quantas maneiras três pessoas, Arnaldo, Bernaldo e Cernaldo, podem se dispor em fila?
Solução:
Com o objetivo de simplificar a notação empregada, representaremos os nomes das três pessoas a partir de sua primeira letra, A , B e C. Na ordem em que estão, ABC é apenas uma das diferentes disposições que as três pessoas podem ter. Logo, todas as disposições possíveis são:
a {^ A B C 1 disposição a {^ A CB 2 disposição a^ B A C{ 3 disposição a^ B C A{ 1 disposição a {^ CB A 5 disposição a^ C A B{ 6 disposição Portanto, existem 6 filas diferentes que 3 pessoas poderiam gerar. Por outro lado, como cada fila é uma permutação das 3 pessoas, ou seja, o número de permutações desses três elementos poderia ser calculado a partir da fórmula apresentada:
P 3 3!
Gabarito: 6 maneiras diferentes.
Questão 15.
(QUADRIX – 2016 – CRMV) De quantas maneiras diferentes podemos organizar 6 medicamentos em uma prateleira?
A) 720 maneiras diferentes. B) 360 maneiras diferentes. C) 700 maneiras diferentes D) 300 maneiras diferentes. E) 3 30 maneiras diferentes.
Solução:
Podemos pensar em cada maneira de se organizar os 6 medicamentos em uma prateleira como uma das permutações de um conjunto de 6 elementos , ou seja, igual a
P 6 6!
Portanto, existem 720 maneiras de se organizar 6 medicamentos em uma prateleira.
Gabarito: Alternativa A.
3.2 Fixando elementos em uma permutação
Não são raras as questões em que um elemento ocupará uma posição fixa dentro do conjunto. Nesse caso, esse elemento não é considerado no cálculo das permutações.
Questão 16.
Se forem colocadas 5 pessoas em fila, de quantas maneiras diferentes pode-se formar essa fila de modo que a primeira pessoa da fila seja sempre a mesma?
Solução:
O problema envolve permutações de 5 elementos nas quais a primeira posição será ocupada sempre pela mesma pessoa, ou seja, será sempre fixa.
Como a primeira posição será ocupada sempre pela mesma pessoa, na prática não serão permutações de 5 elementos: serão sim permutações de 4 elementos. Logo, a quantidade de filas que podem ser formadas é P 4 :
P 4 4! 4 3 2 1 24
Portanto, o número de filas é 24.
Gabarito: 24.
Questão 17.
de permutações dos elementos de A com as repetições indicadas acima é igual a: Ocorrências doselementos repetidos nn , n , n , ...^1 2 1 2 3
P n! n! n! n!
6 4 4 7 4 4 8 L
Questão 18.
Quantas maneiras diferentes existem para se dispor, em uma linha de um tabuleiro de xadrez (8 posições), as pesas brancas (2 torres, 2 cavalos, 2 bispos, a rainha e o rei)?
Solução:
Cada disposição que existe para as oito peças se constitui uma permutação dessas peças. Assim, indicando torre por T , cavalo por C , bispo por B , rei por K e rainha por Q , uma disposição possível é
Alterando as posições de duas ou mais peças, obtemos permutações da disposição inicial apresentada:
Repare que, como existem peças iguais, as permutações envolvendo essas peças não gerariam novas sequência e justifica o uso da fórmula de permutação com repetição. Temos 8 elementos, dos quais T se repete 2 vezes, C se repete 2 vezes e B se repete 2 vezes. Então:
2, 2, 2 8 P 8! 2! 2! 2! 8 7 6 5 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 7 6 5 4 3 2 1 1 5040
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
Gabarito: 5040.
Questão 19.
Sobre uma mesa são colocadas em linha 6 moedas idênticas. De quantos modos podemos dispor 2 caras e 4 coroas voltadas para cima?
Solução:
T C B K Q B C T
T T B B Q K C C
A solução do exercício consiste em dispor, em linha 6 elementos, dos quais um ( cara ) apresenta 2 repetições enquanto o outro ( coroa ) apresenta 4 repetições. Usando a fórmula de permutação com repetição, temos:
P 6 2, 4 6! 2! 4! 6 5 4 3 2 1 2 1 4 3 2 1 6 5 2 1 15
^ ^ ^ ^
Gabarito: 15.
3.4 Anagramas
Um anagrama (do grego ana = "voltar" ou "repetir" + graphein = "escrever") é o resultando do rearranjo (ou permutação ) das letras de uma palavra ou frase para produzir outras palavras, utilizando todas as letras originais exatamente uma vez. Um exemplo conhecido é o nome da personagem Iracema, claro anagrama de América, no romance de José de Alencar.
Outro exemplo que podemos apresentar e que não contém a aura romântica da personagem de José de Alencar é ESAF , anagrama direto do substantivo FASE. É importante destacar que um anagrama não precisa ser palavra que tenha algum significado. Dessa forma, podemos citar como exemplos de ESAF as palavras ASEF e FSAE , dentre outras.
O número de anagramas de uma palavra é igual ao número de permutações das letras dessa palavra. Ou seja, (^) Pn n!. Caso a palavra original
tenha apenas letras distintas (permutação sem repetição) e
nn , n , n , ...^1 2 1 2 3
P n! n! n! n!
L
Caso a palavra original tenha letras repetidas.
Questão 20.
caso o deslocamento a ser considerado ocorra na vertical (para cima) ou na horizontal (para direita).
Vejam dois exemplos:
Figura 1 Figura 2 Na figura 1 acima, o caminho AC e CB pode ser representado por VHHHV e VHH , respectivamente. De forma análoga, na figura 2, representamos esses caminhos por HHVHV e HVH. Ou seja, o caminho AC pode ser representado por uma permutação das letras de VHHHV enquanto o caminho CB por permutação das letras de HVH.
Desenvolvendo os cálculos, encontramos: 3, 2 2, 1 5 3
P P 5!^ 3!
^ ^
Gabarito: 30 maneiras.
3.6 Permutações com elementos juntos
Uma variação importante de problemas envolvendo permutações diz respeito à situação na qual alguns elementos do conjunto devem permanecer juntas (não necessariamente na mesma ordem). Nesse caso, consideramos aqueles elementos que devem ficar juntos como um “único” elemento.
Para ilustrar, considere a seguinte questão:
Questão 22.
De quantas formas podemos permutar as letras da palavra ELOGIAR de modo que as letras A e R fiquem juntas em qualquer ordem?
Solução:
A palavra ELOGIAR tem 7 letras e como as letras A e R devem ficar juntas vamos considerar, inicialmente, permutação dos elementos E , L , O , G , I e AR , como destacamos a seguir:
{ { { { { { (1) (2) (3) (4) (5) (6)
E L O G I AR
Ou seja, são seis os elementos para se permutar, sem que existam repetições entre eles. Portanto, o número de permutações é
P 6 6! 6 5 4 3 2 1 720
No entanto, as letras A e R devem permanecer juntas, e não na mesma ordem. O valor encontrado acima, 720 , indica o número de permutações para uma dada ordem entre essas letras. Para encerrar, levamos em consideração todas as ordens possíveis:
A 720 72
R
A 0
R
E L O G I permutações E L O G I permutações permutações
Como as permutações podem conter o AR ou o RA, somamos 720 a 720, e encontramos 1440.
Gabarito: 1440 permutações.
A soma 720 + 720 (ou 720 2 ) é justificada por considerar todas as permutações dos elementos que devem ficar juntos, conforme o enunciado propôs. Assim, poderíamos obter a resposta desenvolvendo o seguinte cálculo:
P 6 P 2 6! 2! 6 5 4 3 2 1 2 1 720 2 1440
