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1- Permutações simples
1. Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.
Exemplo : com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.
- O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2).....
Exemplos:
a) P 6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. P 5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
- Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.
Exemplo:
Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. 2 - Permutações com elementos repetidos Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:
Exemplo: Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)
Solução: Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever: k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200 Resposta: 151200 anagramas.
3 - Permutações circulares Dado um conjunto com n elementos , de quantas formas eles podem ser dispostos segundo uma circunferência? Vamos considerar duas situações distintas:
I - os elementos estão dispostos na circunferência, de acordo com um sentido determinado. Neste caso, o primeiro elemento poderá ocupar qualquer ponto na circunferência. Restam (m – 1) elementos que poderão se acomodar de (m-1)(m-2)(m-3). ... .1 = (m-1)! maneiras possíveis. Então, sendo P'(n) o número de permutações circulares de n elementos, teremos P'(n) = (n - 1)!
Exemplo: De quantas maneiras quatro pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular, considerando-se um único sentido de contagem?
Solução: P'(4) = (4 - 1)! = 3! = 3.2.1 = 6. Portanto, 4 pessoas podem acomodar-se de 6 maneiras distintas ao redor de uma mesa circular, considerando-se um único sentido de contagem. Veja a figura a seguir, que mostra as seis posições possíveis:
II - os elementos estão dispostos na circunferência, e o sentido da contagem é indiferente. Neste caso, teremos que dividir o resultado do item I anterior por 2 pois, existirão posições contadas duas vezes. Veja por exemplo na figura acima que, se o sentido da contagem for indiferente, as posições A e F, B e C e D e E são iguais ou seja: posição A : seqüência 1234 no sentido horário e posição F : mesma seqüência 1234 no sentido anti-horário. Então, se o sentido for indiferente, as posições A e F são iguais; o mesmo poderá se concluir das posições B e C e D e E.
Então, no caso do sentido da contagem ser indiferente (sentido horário ou anti-horário),
n elementos poderão ser distribuídos ao redor de uma mesa circular de P'(n) = (n -
1)! / 2 maneiras distintas
4 - Arranjos simples
- Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos: a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb. b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
- Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a seguinte fórmula:
Obs : é fácil perceber que A (^) n,n = n! = Pn. (Verifique). Exemplo:
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo?
Solução:
As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720. Observe que 720 = A10,
geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:
C r ={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:
Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}
Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por C rep (m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.
Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.
Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças
(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø
(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#
(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ
Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe uma correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são prenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim:
C rep (5,6) = C(5+6-1,6)
Regras gerais sobre a Análise Combinatória
Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.
Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.
Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.
