Matemática – 2º ano – ensino médio – Prof.: Samuel
Frente 01:
Unidade 01:
Análise combinatória:
Fatorial;
Princípio fundamental da contagem;
Permutações;
Arranjos e combinações;
Agrupamento de combinações;
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Tipologia: Esquemas
2022
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Baixe Análise Combinatória: Exercícios Resolvidos e Conceitos Básicos e outras Esquemas em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Matemática – 2º ano – ensino médio – Prof.: Samuel
Frente 01:
Unidade 01: Análise combinatória: Fatorial; Princípio fundamental da contagem; Permutações; Arranjos e combinações; Agrupamento de combinações; Combinações completas.
Uma moeda não viciada é lançada três vezes
sucessivamente. Quais são as sequências possíveis de faces
obtidas nesse lançamento?
Cara: c e Coroa: k 1º lançamento K C 2º lançamento K C K C K C K C K C K C 3º lançamento sequências (K, K, K) (K, K, C) (K, C, K) (K, C, C) (C, K, K) (C, K, C) (C, C, K) (C, C, C) O número de sequências possíveis: 2. 2. 2 = 8.
Essa parte da Matemática também exige domínio de uma operação específica, que é o fatorial de um número, representado pelo símbolo de exclamação – “! ”.
FATORIAL
Definição: O fatorial de um número natural n , representado por n !, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. Exemplos: a)2! = 2.1 = 2 d) 5! = 5.4.3.2.1 = 120 b)3! = 3.2.1 = 6 e) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 c)4! = 4.3.2.1 = 24 Generalizando: n! = n.(n – 1).(n – 2).(n – 3). .... 3. 2. 1
Observação:
Podemos escrever para qualquer n (n N) e n > 0:
n! = n.(n – 1)!
Assim:
- Simplificar:
3) Calcule o valor da expressão
4) Simplificar a expressão
Casos Especiais:
5) Resolver as seguintes equações n R:
Resolução: a) (n + 4) = 0 ou (n + 4) = 1 n = – 4 ou n = – 3 S = {– 4, – 3} b) (n – 3)! = 4! n – 3 = 4 n = 7 S = {7} c) (2n – 6)! = 100 S = { } ou S = (n + 1).n = 2 n² + n – 2 = 0 n = 1 ou n = – 2 (não serve) S = {1}
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (P.F.C.)
Se um acontecimento ocorre em duas etapas sucessivas e independentes, sendo que a 1ª situação ocorre de a maneiras e a 2ª situação ocorre de b maneiras, então o número total de possibilidades de ocorrência desse acontecimento é dado pelo produto a.b Exemplos:
- Uma loja de roupas vende quatro modelos diferentes de calças jeans. Cada calça pode ter uma das cores: preto, marrom ou azul. Quantas opções de escolha terá uma consumidora interessada em comprar uma calça jeans nessa loja? Resolução: modelo cor 4 3 Pelo P.F.C., o número de escolhas é dado pelo produto 4. 3, ou seja, a consumidora tem 12 opções de escolha
- Num estádio, há 10 portas. Quantas possibilidades existem de uma pessoa entrar e sair desse estádio? Resolução: Entra r Sair 10.10 = 100 possibilidades
- A superfície de um sólido é constituída por apenas vinte faces hexagonais brancas e doze faces pentagonais pretas. Quantas são as faces da superfície desse sólido? Resolução: 20 + 12 = 32 faces
- Quantos anagramas tem a palavra AMOR? Resolução:
- 1 = 24 anagramas
PRINCÍPIO DA PREFERÊNCIA
Exemplos:
- Um grupo de pessoas é formado por 5 crianças e 4 adultos, dos quais 3 possuem habilitação para dirigir automóvel. De quantos modos distintos se pode efetuar a lotação de um carro de 5 lugares (2 na frente e 3 atrás) para uma viagem, sabendo-se que criança não pode viajar no banco da frente? Se uma situação de contagem traz alguma restrição (uma condição especial), a primeira etapa deve sempre procurar satisfazer tal restrição. Resolução: Motorista frente atrás Adultos: A , B , C , D (^3 3 7 6 5) Crianças: e, f, g, h, i Pelo P.F.C., temos: 3. 3. 7. 6. 5 = 1890 modos distintos
- Quantos números de 3 algarismos distintos do sistema decimal são ímpares? Resolução: Sistema de numeração decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 ≠ 0 () 8*
- Um turista, em viagem de férias pela Europa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, havia três rodovias e duas ferrovias e que, para ir de B até uma outra cidade C, havia duas rodovias e duas ferrovias. O número de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, mas em qualquer ordem, é: a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20
A A
BB CC
Resolução: 3 Rodovias 2 Ferrovias 2 Rodovias 2 Ferrovias Rodovia Ferrovia (A para B) (B para C) 3. 2 = 6 (A para B) (B para C) Ferrovia Rodovia
Total: 6 + 4 = 10 () {1, 3, 5, 7, 9}*
. 8. 5 = 320 números
F5. (UFJF – MG) Uma empresa escolherá um chefe para cada uma de suas repartições A e B. Cada chefe deve ser escolhido entre os funcionários das respectivas repartições e não devem ser ambos os mesmo sexo. A seguir é apresentado o quadro de funcionários das repartições A e B. De quantas maneiras é possível ocupar esses dois cargos? a) 12 b) 24 c) 42 d) 54 e) 72 Resolução: Para termos 1 chefe de cada sexo nos dois departamentos só temos as seguintes possibilidades: Para chefe Mulher no departamento "A" Isso implica a escolha de 1 homem para o departamento "B" ..donde resultam as possibilidades dadas por = 4. 3 = 12 possibilidades Para chefe Mulher no departamento "B" Isso implica a escolha de 1 homem para o departamento "A" ..donde resultam as possibilidades dadas por = 7. 6 = 42 possibilidades Logo, o número total de N possibilidades será dado por: N = 12 + 42 = 54 possibilidades